Ddsormais, nous supposerons une /ois pour toutes que l'alg~bre 14 est semisimple

H. Pr~llminalres alg~bri(lmes

16. Ddsormais, nous supposerons une /ois pour toutes que l'alg~bre 14 est semisimple

Nous allons d'abord dnoncer, dans le langage qui nous sera commode, quelques-uns des thdor~mes de structure classiques au sujet de ces alg~bres, et fixer quelques notations.

Une telle alg~bre •, comme on sait. est somme directe d'une famille finie d'alg~bres simples A~(uEN); pour chaque ~, on choisira une lois pour toutes un ~4,-m0dule ~ gauche simple A~, qu'on pourra aussi consid4rer d'une mani~re ~vidente comme A-module (Fan- nulateur de A, dans A Stant la somme des A~ pour tt ~: ~). On notera A la somme directe des A,, considdr~e comme R-module ~ gauche. L ' a n n e a u End(A~) des endomorphismes de A~ consid~r~ comme module ~ gauche, soit sur A,, soit sur A, est une alg~bre s division

28 A. w E ~

sur k (done un corps, commutatif ou non) qu'on notera [~; A, est alors un espace vectoriel droite sur [~, dont la dimension sera horde m~, et A~ n'est pas autre chose que l'anneau des endomorphismes de cet espace vectoriel. Par suite, A~ est isomorphe ~ l'anneau Mm~ (~) des matrices d'ordre m~ sur ~. On ddsignera par B la somme directe des ~; alors les A~, et par suite A, peuvent, d'une manibre dvidente, ~tre considdrds comme B-modules droite; B, opdrant ainsi sur A, n'est autre d'ailleurs que l'aimeau EndA(A ) des endomorphismes de A considdrd comme M-module ~ gauche. Rdciproquement, A, opdrant ~ gauche sur A, est l'anneau Ends(A ) des endomorphismes de A considdrd comme B-module droite. Comme les opdrations de A e t de B sur A sont permutables les unes avec les autres, on peut considdrer A eomme bimodule sur A e t sur B.

Soit X un A-module ~ gauche; il est somme directe de modules simples, dont chacun est isomorphe ~ Fun des Av; on ddsignera par X~ la somme de celles des composantes simples de X qui sont isomorphes ~ A,, et par n, le hombre de ces composantes. La famille d'entiers n = (n~)~ N s'appellera le rang de X; X est ddtermind d'une manibre unique par son rang, un isomorphisme pr6s. S i x fi X, le rang du sons-module Mx de X engendrd par x s'appellera le rang de x; si celui-ei est dgal au rang de X, c'est-h-dire si x engendre X, on conviendra de dire que x est de rang m a x i m a l darts X ; pour qu'il existe de tels dldments dans X, il faut et il suffit que X soit (~ monog~ne ~>.

17. Avec les mSmes notations que ci-dessus, soit encore B = H o m A ( X , A ) ; c'est l'ensemble des applications A-lin~aires de X dans A, ceux-ci ~tant considdr~s comme A- modules h gauche; on consid~rera B comme opdrant ~ droite sur X, et on lui donnera sa structure (~ naturelle ~> de B-module ~ droite. De m~me, soit B~ l'ensemble des applications

~4v-lindaires de X, dans A,; By est (~ naturellement ,> espace vectoriel s droite sur ~, et, comme tel, il a la dimension nv; B est alors somme directe des B~. L'application de X dans A ddfinie par un ~l~ment b de B dtant notre x--> xb, il s'ensuit que, pour tout x E X , b-->xb est une application B-lin~aire de B dans A, ceux-ci dtant consid~rds eomme B-modules droite; et toute application B-lin~aire de B dans A est de cette forme. Autrement dit, on peut identifier X avec l'espace Homs (B, A) de ces applications. Cette identification permet d'~noncer le lemme suivant :

LEMME 8. Soient A , A , X , B comme ci-dessus; soient Xo, x 1 deux dldments de X , et soient No, N 1 leurs noyaux quand on les consid~re comme applications de B daws A . Alors, p o u r que A x o D A x l , il /aut et il su//it que No C N V pour que A x o = X , il /aut et il su//it que N o = {O }.

I1 est clair que .,4x o ~ A x 1 ~quivaut ko x 1 E A x o et entraine No c N 1. Pour d~montrer a rdciproque, on peut se borner au cas off A est une alg~bre simple, le cas gdn~ral r ~ u l t a n t

L A F O R M U L E D E S I E G E L E T L E S G R O U P E S C L A S S I Q U E S 29 t r i v i a l e m e n t de celui-ci. On p e u t d o n c s u p p o s e r que A e t B s o n t des espaces v e c t o r i e l s d r o i t e sur u n corps 3 e t que A = E n d t ( A ) e t

X = H o m t ( B , A ) .

S o i e n t Co, C 1 les i m a g e s de B d a n s A p a r x0, xl; p a r p a s s a g e a u q u o t i e n t , x 0 d d t e r m i n e u n i s o m o r p h i s m e u 0 d e

B I N o

sur Co, et, si N I ~ N 0 , x 1 d d t e r m i n e u n e a p p l i c a t i o n 3-1indaire u 1 d e

B I N o

s u r C 1. I1 e x i s t e alors u n e n d o m o r p h i s m e a de A qui coincide a v e c

ulouo ~

s u r Co; p a r e x e m p l e , on p e u t a c h e v e r de le d d t e r m i n e r en lui i m p o s a n t de s ' a n n u l e r sur u n s u p p l d m e n t a i r e a r b i t r a i r e m e n t choisi de C o d a n s A . On a alors x~ =

axo,

ce qui d d m o n t r e la p r e m i b r e p a r t i e d u l e m m e . L a seconde s ' e n s u i t si on o b s e r v e q u ' ~ t o u t b q B c o r r e s p o n d a u m o i n s u n x fi X tel que

xb # O.

I1 rdsulte en p a r t i c u l i e r d u l e m m e 8 que, si M est une algbbre s i m p l e , le r a n g d ' u n d l d m e n t x d e X , tel q u ' i l a dtd ddfini ci-dessus, n ' e s t a u t r e que le r a n g d e x en r a n t q u ' a p p l i - c a t i o n 3-1indaire de B d a n s A .

18. Si on s ' e s t d o n n d de p l u s u n e i n v o l u t i o n t sur A , celle-ci d d t e r m i n e sur l ' e n s e m b l e N des c o m p o s a n t e s simples A~ de M une p e r m u t a t i o n v--> v' d ' o r d r e 2. L a d d t e r m i n a t i o n de 14, en r a n t q u ' a l g ~ b r e ~ i n v o l u t i o n , se r a m ~ n e alors ~ celle des (~ algbbres s i n v o l u t i o n simples }~ M, (pour v = v') e t Mr Q A , (pour v' = # # v). C o m m e on s a l t (el. p. ex. [1], Chap. X), celles-ci s o n t n d c e s s a i r e m e n t , s u n i s o m o r p h i s m e pros, de l ' u n des t y p e s s u i v a n t s :

(I) v = v ' ; z4, est l ' a l g b b r e de m a t r i c e s

Mm(3 )

s u r une alg~bre ~ d i v i s i o n ~ m u n i e d ' u n e i n v o l u t i o n ~ - + ~ ' , e t t e s t l ' i n v o l u t i o n

x-->h -1. tx'.h,

off h est u n e m a t r i c e i n v e r s i b l e satis- f a i s a n t s

th' =~h,

a v e c ~ = _ 1;

( I I ) v' = f t # v; M~ est l ' a l g ~ b r e de m a t r i c e s

Mz(3)

sur une alg~bre ~ d i v i s i o n 3; J4, est l ' a l g b b r e

Mm(3'),

off 3' est telle q u ' i l e x i s t e u n a n t i - i s o m o r p h i s m e ~ de 3 s u r 3'; e t t e s t 1 ' i n v o l u t i o n

(x,y) __>(ty~-', tx~, )

Mm(3)OMm(~').

P o u r des r a i s o n s dvidentes, la p l u p a r t des p r o b l 6 m e s q u ' o n p e u t se p o s e r a u s u j e t des algbbres s e m i s i m p l e s s i n v o l u t i o n se r a m b n e n t a u x p r o b l b m e s c o r r e s p o n d a n t s d a n s les cas (( simples ~) (I) e t (II). N o u s allons m a i n t e n a n t a c h e v e r de fixer les n o t a t i o n s en ce qui concerne ceux-ci e t d d m o n t r e r d i v e r s r d s u l t a t s a u x i l i a i r e s .

Dans le cas

(I), on se d o n n e d o n c u n e a l g b b r e & d i v i s i o n 3 s u r k, m u n i e d ' u n e i n v o l u - t i o n ~-->~', On n o t e r a 3 le c e n t r e d e ~, e t 3o le sous-corps de 3 formd des dldments de 3 in- v a r i a n t s p a r l ' a u t o m o r p h i s m e i n d u i t s u r 3 p a r ~-->~'; s u i v a n t que ce d e r n i e r est ou n o n l ' a u t o m o r p h i s m e i d e n t i q u e , on a 3=30, ou b i e n 3 est une e x t e n s i o n q u a d r a t i q u e d e 30.

Si V e s t u n espace v e c t o r i e l sur k, o n d t e n d r a ~-->$' ~ u n e a p p l i c a t i o n k-lindaire de V(~) k 3 sur l u i - m 6 m e en p o s a n t ( v @ ~ ) ' = v ( ~ ) ~ ' p o u r

v E V , ~E3.

E n p a r t i c u l i e r , si V est l ' e s p a c e

Mm.n(k )

des m a t r i c e s ~ m lignes e t n colonnes s u r k, V(~)k3 s e r a l ' e s p a c e a n a l o g u e

Mm.n(3 )

sur 3, et, si

xEMm.n(3), x'

sera l a m a t r i c e o b t e n u e en a p p l i q u a n t ~ c h a q u e d l d m e n t de la

30 ~. w ~

matrice x l'involution ~ - - ~ ' . On derira Mm(k), Mm(~ ) au lieu de Mm.m(k), Mm.,,(t). P o u r t o u t m, u-->tu ' est u n e involution de M~(~). On n o t e r a ~a la trace rdduite prise dans Mm(~) sur 3o consid~r~ contrae corps de base.

Soit h u n 61dment inversible de Ma([) tel que th' =~h avee ~ = + 1. On p r e n d alors p o u r M l'alg~bre Mz([) munie de l'involution t ddfinie p a r u'= h -~. tu'. h. On vdrifie facile- m e n t que, si 2 est une forme k-lindaire sur 30, v = 2 o v a est une fonction trace sur M p o u r v u que 2 # 0, et que rdciproquement t o u t e fonetion trace sur M est de cette forme.

C o n f o r m d m e n t a u x conventions du n ~ 16, on posera ici A =Ma.l(~); M opdrant sur A p a r m u l t i p h c a t i o n matricielle, A est bien u n M-module simple ~ gauche. De m~me, p o u r t o u t n, Mm.n(~) est, p o u r M o p d r a n t k g a u c h e p a r multiplication matrieielle, u n M- module de r a n g n. Quels que soient n e t p, t o u t e application M-lindaire de Mm.n(~ ) clans Mz.v(~) est de la forme x --> xzr avec u ~ M,.v([). E n partieulier, si on pose X ⁼

M m,n(~)

et, c o m m e au n ~ 17, B = H o m , 4 ( X , A ) , on p e u t identifier B avec Mn.x(~), puis X avec H o m t ( B , A), c'est-~-dire avec l'espace des applications ~-lindaires de B dans A lorsque Ceux-ci sont considdrds c o m m e espaees veetoriels ~ droite sur ~. C o m m e on l'a ddjk observd, le r a n g d ' u n dldment x de X au sens du n ~ 16 coincide avee son r a n g en t a n t que matriee ~ m lignes et n eolonnes sur f. On n o t e r a que l ' a n n e a u End~ (X) des e n d o m o r p h i s m e s de X eonsiddrd c o m m e M-module k gauche, et l ' a n n e a u E n d t (B) des e n d o m o r p h i s m e s de B eonsid4rd eomme espaee veetoriel ~ droite sur ~, s'identifient tous deux ~ M~ (~) et s'identifient done l ' u n avee l'autre.

19. Si X = M m . n ( f ) , Y=Mm.v([), on v o i t ais~ment que t o u t e forme sesquilindaire F sur X • Y p e u t s'~crire F ( x , y ) = x . w . t(hy)', avec wEMn.~([); l'espaee de ces formes, e'est- m-dire, d'apr~s le n ~ 15, le dual de X~), Y, p e u t done alors s'identifier avec Mn.v(~) au m o y e n de cette formule; si l'on fair cette identification, (15) s'dcrit

[xQ, y,w] =~(xw. t(hy)') =2@,(w. t(hy)'.x)).

Mais (wl,w~)-->2(vn(w 1. twO)) est une forme bilin4aire n o n d4gdn~rde sur M~.p(~)•

si on identifie M~.~(t[) avec son dual au m o y e n de cette forme, on voit que X(~), Y s'identifie aussi avec Mn.v(~), au m o y e n de la formule x Q , y = t x ' . h 9 y. E n particulier, p o u r X = Y, c'est-~-dire p o u r n = p , on voit qne l ' a u t o m o r p h i s m e s de X Q , X ddfini p a r s ( x ~ , y ) = y Q , x devient l ' a u t o m o r p h i s m e w -->7 tw' de M~(~); I ( X ) est l'espace des w E Mn(~) tels que w = ~ tw', et i x est l'application x --> tx'. h. x de X dans I(X).

S u i v a n t l'usage, si V e t W sont des espaces vectoriels s droite sur ~, ~ une application

~-lindaire de V dans W, et / une forme sesquilin~aire (par exemple ~-hermitienne) sur W • W, on n o t e r a / [ ~ ] la forme sesquilin~aire )r ~) sur V • V, off (~,~0) d~signe l'applica-

LA FORMULE DE SIEGEL ET LES GROUPES CLASSIQUES 31 tion

(V1,Vg.)-+(~9(Vl), ~9(V9))

de V x V dans W x W. Les espaees A, X, B ~tant c o m m e ei-dessus, consid~rons alors sur A x A la forme ~-hermitienne d~finie p a r (al, a~)-->ta~ 9 h. a~, eb eonvenons de la ddsigner aussi p a r h; de m~me, 5, t o u t w E Mn([) tel que w = ~ tw', raisons eorrespondre la forme ~7-hermitienne (bi, b2) ~ tb'~. w . b~ sur B x B, et identifions I ( X ) avee l'espace des formes r]-hermitiennes sur B x B au m o y e n de cette correspondanee. I1 r~sulte alors de ce qui prgc~de que, si on identifie X avec H o m ~ ( B , A ) c o m m e plus haut, i x n ' e s t a u t r e que l'application x-*h[x] de ee dernier espaee dans l'espace des formes ~7-hermitiennes sur B x B.

L ~ M M v . 9. Soient respectivement (5 et ~' les dimensions, sur k, de ~ et de l'espace des dldments ~ de ~ tels que ~' =r/~, et soit e = 8 ' / ~ . Alors, si X est u n .,4-module de rang n, I ( X ) a la dimension ~ n ( n + 2 e - 1 ) / 2 sur k. De plus, pour que i x soit submersive en u n point x de X , il /aut et il su//it que x soit de rang n ou bien que e = 0 et que x soit de rang n - 1.

L a premiere assertion rgsulte de ee qui pr6e~de; la seconde suit de 1~, d u lemme 7 du n ~ 15, et d u fair que, s i x est de r a n g r, X/,,4x est de r a n g n - r .

20. N o u s plagant toujours dans le eas (I), nous allons, avee les n o t a t i o n s ci-dessus, prdciser la structure du groupe Ps(X/.,4) q u a n d X est u n A - m o d u l e de r a n g n.

Soit ~ u n isomorphisme de X sur Mm.~(~ ). Comme X* a m~me dimension que X sur k, ~ savoir ~mn, X * est aussi de r a n g n. A u m o y e n des rdsultats d u n ~ 19, on v o i t imm~- d i a t e m e n t alors q u ' o n p e u t choisir, d ' u n e mani~re et d ' u n e seule, un isomorphisme y) de X* sur M~.~(~) de mani~re ~ avoir

(z, x* ) = (zq). t(x*v;)' 9 h.

Ddsignons p a r eo l'isomorphisme (x,x*)-*(x~o,x*yO de X @ X * sur Mm.n([)(~Mm.n(~ ), ou, ee qui revient au mgme, sur Mm.2~(~)- D ' a p r b s le n ~ 14, p o u r q u ' u n a u t o m o r p h i s m e a de X @ X * soit sympleetique, il f a u t et fl suffit qu'il laisse i n v a r i a n t e la forme sesquilindaire

((~1,~), (z~,~Z))-~{~l,z~ }- {~,~ }'

sur ( X | x ( X $ X * ) . C o m m e le m o n t r e u n caleul facile, il revient a u m 6 m e de dire que l ' a u t o m o r p h i s m e s =eoa~o - i de Mm.~n(~ ) laisse invariante la forme

(ul, u~)-~ ul" e. tu~. h

sur Mm.2n(~) x Mm.zn(t), oCa e d4signe la matrice ( - ~ ) - h e r m i t i e n n e donn~e p a r

o ,16,

e = ( - r / . In

32 ~. w ~ m

Mais c e t t e c o n d i t i o n 6 q u i v a u t 6 v i d e m m e n t h s. e. ~s' = e. A u t r e m e n t dit, l ' a p p l i c a t i o n (a,/) -->

mg~o -~ e s t u n i s o m o r p h i s m e d e

Ps(X/.,4)

s u r le g r o u p e des 6ldments s d e M ~ ( ~ ) qui s a t i s f o n t s. e- tsf = e. D e plus, il est clair que l ' i m a g e de

P(X/.,4)

p a r cet i s o m o r p h i s m e est l ' e n s e m b l e des 616ments de ce d e r n i e r g r o u p e qui s o n t de la f o r m e

a v e c a,

b, d

a p p a r t e n a n t h M.(~).

21.

Darts le cas

(II), on p r o c ~ d e r a d e m ~ m e en se d o n n a n t d ' a b o r d u n e algbbre d i v i s i o n ~ s u r k, d o n t le c e n t r e sera n o t 6 30- On d d s i g n e r a p a r r' l ' a l g ~ b r e ~ opposde }) ~ k, e t p a r ~-->~' r a n t i a u t o m o r p h i s m e (~ c a n o n i q u e )) de [ s u r [', ainsi que son inverse, d e sorte q u ' o n a (~')' = ~ e t que ~-->~' i n d u i t l ' i d e n t i t 6 sur 30 (qui est d o n e le c e n t r e c o m m u n de ~ e t d e ~[').

P o u r simplifier les n o t a t i o n s , on c o n v i e n d r a , d a n s c e n ~ d ' d c r i r e M . . . . M~n.~ a u lieu d e Mm.~(r),

Mm.n(~'),

e t d e m 6 m e Mm, M~n a u lieu de Mm(~), M a ( t ' ) . On p r e n d r a A

=Mm|

l ' i n v o l u t i o n t sur t4 g r a n t donn6e p a r ( u , v ) ' =

(tv', tu').

On n o t e r a Vm la t r a c e r d d u i t e prise, soit d a n s

Mm,

soit d a n s M~n, sur 30 considdrd c o m m e corps de base. L a f o n c t i o n t r a c e v s u r A sera alors d o n n d e p a r

~(u,v)

=~(~m(U) + ~(V)), off 2 est une f o r m e k-lin~aire sur 30, e t 2 4 0.

On p o s e r a

A =Ao|

a v e c A 0 = M m . a e t A~ = M ~ . t ; o n n o t e r a que A0 p e u t s ' i d e n t i f i e r t

d ' u n e m a n i b r e ~ v i d e n t e a v e c le d u a l d e A 0 s u r r . T o u t ~4-module d e r a n g

(p,q)

est i s o m o r p h e a u m o d u l e

M,n.p| q, .,4

o p 6 r a n t s u r celui-ci p a r m u l t i p l i c a t i o n m a t r i c i e l l e d a n s e h a q u e c o m p o s a n t e . T o u t e a p p l i c a t i o n ~4-1in6aire de

Mm.~,| q

d a n s

Mm. r| M:n. s

est d e ]a f o r m e (x,y)-->(xzr y~), a v e c

a E M~.r, fl E M'q.s.

E n p a r t i e u l i e r , si on p o s e d e n o u v e a u B = H o m ~ ( X , A), e t q u ' o n p r e n n e

X = X o | ~

a v e c

Xo=Mm.~,, Xo=M~.q,

on a u r a

B = B o | o

a v e c B 0 = / p . i , B0 = / q . i , p u i s

Xo=Itom~(Bo, Ao)

e t X 0 = H o m t ,

(B~,Ao).

Si X est c o m m e ci-dessus, e t si

Z=M,,.r@M~.s,

r o u t e f o r m e sesquilin6aire s u r X x Z s ' d c r i t :

((x,y), (z,t))-->(x.v. tt',y, w. tz')

a v e c

vEMp.s

e t

wEM'q.r;

cela p e r m e t d ' i d e n t i f i e r le d u a l d e X Q , Y a v e c

Mp.s|

R a i s o n n a n t c o m m e a u n ~ 19, on en c o n c l u t q n ' o n p e u t i d e n t i f i e r

X Q , X

a v e c

Mq.~|

p u i s q u ' o n p e u t i d e n t i f i e r

I(X)

^{a v e c}

Mq.p

d e m a n i ~ r e ~ a v o i r

ix(x,y ) = ty, .x.

Cela d o n n e en p a r t i c u l i e r :

L A F O R M U L E D E S I E G E L E T L E S G R O U P E S C L A S S I Q U E S 33 L E ~ E 10.

Soit ~ la dimension de ~ sur k. Alors, si X est un .,~.module de rang (p,q), I ( X ) a la dimension 8pq sur k; et, pour que ix soit submersive en un point x de rang (p', q') dans X , il ]aut et il su//it qu'on air p =p' ou q =q'.

Toujours avec les m~mes notations, on pourra identifier le dual X* de X avec

Mm.q~M'~.~

de mani~re b, avoir

((x,y),(x ,y ) } - ( x " (y ) , y . (x ) ).

Le dual d ' u n module de rang (p,q) est donc de rang (q,p). En posant

n = p + q , X @ X *

s'identifie d'une mani~re ~vidente ~

M,n.n|

d'apr~s ce qu'on a vu, l'anneau des endomorphismes de ce dernier module s'identifie a M~| M~. P o u r q u ' u n automorphisme a=(2,/u) de

X G X *

soit symplectique, il f a u t et il suffit qu'il laisse invariante la forme sesquilin~aire

{(XI,

y~), (x*, y~)} - {(x~, y.), (x~, y~)}'.

Un caleul facile montre que, si on pose 0

cette condition dquivaut s # = e -1.

~/--1.

e. I1 s'ensuit qu'avee ces notations l'application (a,/)-->2 est un isomorphisme de

Ps(X/.,4)

sur

GL(n,][).

On v4rifie facilement alors que l'image de

P(X/.,4)

par cet isomorphisme est le sous-groupe de

GL(n, ~)

form~ des ~l~ments de la forme

avec ~1

GL(p,

~),

~2 E My.q( [), ~3 E GL(q, ~).

22. R e v e n a n t au cas gdn~ral des n ~ 16-17, nous ddsignerons p a r G le groupe des

~l~ments u de • tels que u. u ~= 1. I1 est clair que G est le produit direct des groupes ana- logues relatifs a u x composantes (~ simples )> de A, celles-ci p o u v a n t ~tre de t y p e (I) ou (II).

I)ans le cas (I), avec les notations d u n ~ 18, G est le groupe des dldments u de Mm(~ ) qui satisfont ~

tu'. h. u = h,

c'est-s ~

h[u]

= h; a u t r e m e n t dit, si Aut (A) =

GL(m, ~)

d~signe le groupe des automorphismes de l'espace vectoriel ~ droite A =Mm.l(~) sur ~, G est le sous-groupe Aut(A,h) de Aut(A) formd des dldments de Aut(A) qui laissent invariante la forme r~-hermitienne h. Dans le cas (II), avec les notations d u n ~ 21, (~ est le groupe des

~14ments de ,-4 de la forme (u, tu'-l) avec u E Aut (A0)=

GL(m, ~),

e t e s t donc isomorphe s ce dernier groupe. Dans le cas g4n~ral, 6 / e s t donc uu produit de (~ groupes classiques ~).

La d~finition de

ix

montre qu'on a, quels que soient

xEX~ rE.,4 :

3 -- 652922. Acta mathematica. 113. I m p r i m 4 le 26 f 4 v r i e r 1965.

34 ~. w ~ m

i . ( t x ) = ( t x ) | (tx) = x | t'(tx).

I1 s ' e n s u i t que, p o u r u EG, o n a ix(ux)=ix(X) quel que s o i t x EX. E n d ' a u t r e s t e r m e s , ix e s t i n v a r i a n t p a r G o p 6 r a n t ~ g a u c h e sur X .

I ) a n s les e h a p i t r e s s u i v a n t s , o n a u r a b e s o i n d e d i v e r s r 6 s u l t a t s s u r les o r b i t e s d e G, e t d e c e r t a i n s g r o u p e s a p p a r e n t 6 s g G, clans X; ces r 6 s u l t a t s v e n t 8tre 6tablis d a n s les n ~ 22-25. I ) a n s le eas oh ~4 est d e t y p e (I), e t off X est d e r a n g 1 s u r ~ , ils s e n t en s u b s t a n c e e o n t e n u s d a n s le th6or~me d e W i t t ; le l e e t e u r qui n ' a que ce cas en r u e (cf. l ' I n t r o d u c t i o n ) p o u r r a d o n e se d i s p e n s e r d e life la p l u s g r a n d e p a t t i e des d 6 m o n s t r a t i o n s qui v e n t suivre.

P R O P O S I T I O N 3. Pour tout i E I ( X ) , soit U(i) l'ensemble des dldments de

iX 1 ({$}) qui

sent de rang maximal dans X ; alors, si U(i) n'est pas vide, c'est une orbite de G dans X . S o i t XoE U(i), ce qui v e u t d i r e q u ' o n a ix(Xo) = i e t .~x o = X . I1 est clair que, s i x 1 = u x o a v e c u E G, on a x~ E U(i). P o u r d ~ m o n t r e r la r~eiproque, il suffit d v i d e m m e n t d e t r a i t e r les cas (I) e t (II). I ) a n s le cas (I), a v e c les n o t a t i o n s des n ~ 18-19, l ' h y p o t h ~ s e signifie que h[x0] = h [ x i ] = i e t que xo, x 1 s e n t de r a n g m a x i m a l , c ' e s t - h - d i r e ( d ' a p r ~ s le l e m m e 8 d u n ~ 17) q u ' i l s s e n t de n o y a u (0} si on les consid~re c o m m e a p p l i c a t i o n s de B d a n s A . A l o r s x0, x 1 d ~ t e r m i n e n t des i s o m o r p h i s m e s xo, x 1 de B s u r des sous-espaees Lo, L 1 d e A , e t z = ~ 1 est u n i s o m o r p h i s m e de L o s u r L 1. S o i e n t he, h 1 les f o r m e s ~ - h e r m i t i e n n e s i n d u i t e s p a r h s u r L o • 0 e t s u r L 1 • r e s p e c t i v e m e n t . L ' h y p o t h ~ s e h[xo] =h[Xl] ~ q u i v a u t ~ ho=hl[z], c ' e s t - h - d i r e que z, en u n sens d v i d e n t , est u n i s o m o r p h i s m e d e (Lo, ho) sur (Ll,hl). L e th~o- r~me de W i t t d i t alors que z p e u t ~tre prolong~ h u n a u t o m o r p h i s m e u de (A,h), e'est-h- dire h u n ~Idment de G; e t on a b i e n x 1 = u x 0.

D a n s le cas (II), r e p r e n o n s les n o t a t i o n s d u n ~ 21, e t consid~rons d e u x dldments (xo, Yo), (xl,yl) de U(i). On volt, c o m m e p l u s h a u t , que Yo, Yl d ~ t e r m i n e n t des i s o m o r p h i s m e s Yo, Yl de B~ s u r des sous-espaces Lo, L~ de A~, e t ~ 1 ~ 1 est u n i s o m o r p h i s m e de L 0 s u r L1, q u ' o n p e u t p r o l o n g e r ~ u n a u t o m o r p h i s m e v d e A0, d e s o r t e q u ' o n a Yl =vYo. E n r e m p l a ~ a n t (xo,yo) p a r (tv'-l.Xo, Vyo), on est d o n e r a m e n d & t r a i t e r le cas oh Yo=Yl. S o i t alors zo=tyo, de s o r t e q u ' o n a zox o = zox 1. C o m m e z o E Mq.m(~), on p e u t eonsid~rer z 0 c o m m e a p p l i c a t i o n

~-lindaire de Ao=Mm.l(r ) d a n s / q . l ( ~ ) ; soit N O le n o y a u d e c e t t e a p p l i c a t i o n . D ' a u t r e p a r t , Xo, x I d d t e r m i n e n t des i s o m o r p h i s m e s Xo, Xl d e B o s u r des sous-espaees L0, L~ d e Ao, d e s o r t e que U=XlXO 1 est u n i s o m o r p h i s m e d e L 0 sur L 1. C o m m e on a Zo(Xl-Xo)=O, on a

~ a - a ~ N o quel que soit a~Lo, et d e m ~ m e 4 - S a - a ~ N o quel que s o i t a~L~; o n e n c o n c l u t a u s s i t S t que L 0 + N O =L~ + No, e t aussi que ~ i n d u i t s u r L 0 N N0 u n i s o m o r p h i s m e d e L o 0 N o sur L1 ~ No; o n p e u t alors p r o l o n g e r ce d e r n i e r i s o m o r p h i s m e h u n a u t o m o r p h i s m o v d e N o. C o m m e ~ e t v c o i n c i d e n t sur L o ~ N o, fl e x i s t e u n e n d o m o r p h i s m e u 0 de L o + N o e t u n seul qui coincide a v e c ~ s u r L 0 e t a v e c v s u r N0; d e m~me, il e x i s t e u n e n d o m o r p h i s m e u 1 d e

L A F O R M U L E D E S I E G E L E T L E S G R O U P E S C L A S S I Q U E S 35 L o § o e t u n seul qui coincide a v e c ~-1 sur L 1 e t a v e c v -1 s u r N o. O n a d o n c U o U l : I , d e s o r t e que u 0 est u n a u t o m o r p h i s m e d e L o + No. S o i e n t enfin L ' u n s u p p l ~ m e n t a i r e d e L o + N 0 d a n s Ao, e t u l ' a u t o m o r p h i s m e d e A o qui coincide a v e c u o s u r L o § o e t a v e c l ' i d e n t i t $ s u r L ' , On a alors x 1 =ux0; e t u - 1 a p p l i q u e A o d a n s No, d e sorte q u ' o n a ZoU =zo, ou e n c o r e Yo = ~u'-i'yo. Cela a c h ~ v e la d g m o n s t r a t i o n d e l a p r o p o s i t i o n 3.

COROLLAIRE. P o u r que deux points xo, x 1 de X appartiennent ~ une mdme orbite pour G, il ]aut et il su//it qu' on air ix(Xo) = ix(x1) et A x o = A x 1.

Ces c o n d i t i o n s s o n t ~ v i d e m m e n t n~cessaires. S u p p o s o n s - l e s satisfaites, e t soit X ' = A x 0. C o m m e A est s e m i s i m p l e , X ' a u n s u p p l ~ m e n t a i r e clans X; p a r suite, d ' a p r ~ s le n ~ 15, o n p e u t i d e n t i f i e r I ( X ' ) a v e c le sous-espace de I ( X ) e n g e n d r d p a r les dl~ments iz(x') p o u r x ' E X ' , e t ix, a v e c l ' a p p l i c a t i o n d e X ' d a n s ce sous-espace d e I ( X ) qui e s t i n d u i t e p a r ix.

A l o r s x 0 e t x I s o n t des ~ldments de X ' de r a n g m a x i m a l d a n s X ' , e t o n a i z , ( x o ) = i x , ( x l ) ; d ' a p r ~ s la p r o p o s i t i o n 3, ils a p p a r t i e n n e n t d o n c s u n e m ~ m e o r b i t e de G d a n s X ' .

23. L a p r o p o s i t i o n 3 m o n t r e que, si U(i) n ' e s t p a s vide, c ' e s t u n e s p a c e h o m o g ~ n e p a r r a p p o r t a u g r o u p e G. P o u r d 6 t e r m i n e r c o m p l ~ t e m e n t sa s t r u c t u r e , il f a u t c o n n a l t r e le g r o u p e de s t a b i l i t 6 go, clans G, d ' u n ~16ment x o de U(i).

I c i encore, o n p e u t se b o r n e r a u x cas (I) e t (II). D a n s le cas (I), consid6rons i c o m m e f o r m e ~ - h e r m i t i e n n e sur B x B; soit B ' le s o u s - e s p a c e d e B qui, p a r r a p p o r t ~ i, est o r t h o - g o n a l s t o u s l e s v e c t e u r s de B, e t s o i t B" u n s u p p l 6 m e n t a i r e de B ' d a n s B; alors la f o r m e

~ - h e r m i t i e n n e i n d u R e p a r i sur B" x B" est non-d~g4ndr~e. S o i t r le r a n g d e i; alors B ' , B "

s o n t d e d i m e n s i o n s n - r e t r, r e s p e c t i v e m e n t . S o i t x 0 E U(i); c o m m e x o est de r a n g m a x i m a l , il d d f i n i t u n i s o m o r p h i s m e 5 o de B s u r u n s o u s - e s p a c e L o d e A ; c o m m e on a i =h[xo], l a f o r m e i n d u i t e p a r h sur L o x L 0 est celle qui se d 6 d u i t de i p a r 0~ o. P a r suite, si L ' , L" s o n t les i m a g e s d e B ' , B" p a r x0, la f o r m e i n d u i t e p a r h s u r L" x L ~ est non-ddg6ndr~e, e t L ' e s t l ' i n t e r s e c t i o n de L o a v e c l ' o r t h o g o n a l de L o p a r r a p p o r t ~ h d a n s A . Soit M l ' o r t h o g o n a l d e L" p a r r a p p o r t h h d a n s A ; la f o r m e i n d u i t e p a r h sur M x M est non-d6g4n4rde; c o m m e L ' est u n sous-espace (( t o t a l e m e n t i s o t r o p e ~> d e M , on s a i t ([5], p. 21) q u ' i l e x i s t e u n sous- e s p a c e t o t a l e m e n t i s o t r o p e L ~ d e M , s u p p l d m e n t a i r e d a n s M d e l ' o r t h o g o n a l d e L ' d a n s M . Soit enfin L i l ' o r t h o g o n a l de L" § +L~ d a n s A . I1 est facile de v~rffier que A est s o m m e d i r e c t e d e L ", L ' , 51, L1; d o n c L 1 est d e d i m e n s i o n m - 2 n + r , ce qui i m p l i q u e m > ~ 2 n - r . D e plus, la f o r m e h i i n d u i t e p a r h s u r L 1 • L i est non-d6gdndr6e. Alors, si o n p r o l o n g e t o u t dlgment de A u t ( L l , h i ) ~ u n a u t o m o r p h i s m e d e A en lui i m p o s a n t d ' i n d u i r e l ' i d e n t i t 6 s u r L o +L~, on o b t i e n t u n s o u s - g r o u p e gi d u g r o u p e de s t a b i l i t 6 go d e x o d a n s G, qui est 6vi- d e m m e n t i s o m o r p h e ~ A u t (L1, hi); de plus, o n v o i t f a c i l e m e n t que go est p r o d u i t s e m i d i r e c t de gi et d ' u n g r o u p e go qui i n d n i t l ' i d e n t i t ~ sur L " e t sur L ' , qui laisse i n v a r i a n t s les e s p a c e s

36 A. wE•

L ' + L 1 et

L' + L 1 + L~ =M,

et qui induit l'identit~ sur

(L' +L1)/L'

et sur

M/(L'

+Lx); go est done unipotent, de sorte qu'en d6finitive go est isomorphe ~ un produit semidirect de A u t (Lx, hi) et d ' u n groupe unipotent. E n particulier, si i est non-d6g6n6r6, done de rang n, L ' et L~ se r~luisent s (0}, L 1 est de dimension m - n , et go est isomorphe ~ Aut(Ll,hl).

Dans le cas (II), soit

iEMq.p(~),

et soit r le rang de i;

U(i)

est l'ensemble des couples (x, tz ') avee x de rang p dans Mm.~(~), z de rang q dans Mq.m(~), et

zx=i.

Soit (Xo,~Zo) un tel couple, et soit go son groupe de stabilit6 dans G; quand on identifie G avee

GL(m, l)

comme au n ~ 22, go s'identifie au groupe des

uEGL(m, ~)

tels que

uxo=x oet ZoU=Z o.

Soit L o l'image de

Bo=M~a(~ )

par x o dans

Ao=M,~a(~); L o

est de dimension p. Soit N 0 le noyau de z o eonsid6r6 eomme application de A o dans Ma.I(~); N 0 est de dimension m - q . Comme i est de rang r, % induit sur L 0 une application de rang r de L o clans Ma.I(~), de sorte que L o N N o a la dimension p - r . Posons

L' =L o

N No; soient L", L 1 des suppl6mentaires de

L'

dans L 0 et dans No, respeetivement; L 1 est de dimension

m - p - q §

ce qui entraine m ~>p + q - r : Soit encore L~ un suppl6mentaire de L 0 + N o dans Ao, et soit

M =L' § 1 +L~.

Si on prolonge tout automorphisme de L 1 ~ un automorphisme de A o en lui imposant d'induire l'identit~ sur Lo§ on obtient un sous-groupe gl de go, isomorphe ~ Aut(L1).

Soit g~ le sous-groupe de G qui induit l'identit6 sur

L"

et sur

L',

qui laisse invariants les espaees

L' § 1

et M, et qui induit l'identit6 sur

(L' +JLI)/L'

et sur

M/(L' § Alors go

est produit semidireet de gl et du groupe unipotent go. S i p = q = r,

L'

et L~ se r6duisent

(0}, L 1 est de dimension m - p , et go est isomorphe ~ A u t (L1). Enfin, on notera que, dana le eas (II), la condition

m > ~ p §

est, non seulement n6eessaire, mais anssi suffisante pour que

U(i)

ne soit pas vide.

24. E n m6me temps que G, on fera op6rer sur X, mais ~ droite, l'anneau End~ (X) des endomorphismes de X consid6r6 eomme ,~-module & gauche, et en particulier le groupe des 616ments inversibles de cet anneau, c'est-s des automorphismes de X, groupe q u ' o n notera simplement Aut(X). Si B e s t d6fini comme au n ~ 17, il est imm6diat que End~ (X) s'identifie ~ l'anneau End~ (B) des endomorphismes de B eonsid6r6 eomme B- module s droite; par suite, A u t (X) s'identifie au groupe Aut (B) des automorphismes de B.

Par transport de structure, tout automorphisme v de X d6termine un automorphisme de

I(X)

qu'on notera ~, de sorte q u ' o n aura

ix(xv)=ix(x)~.

Pour tout

iEI(X),

on notera Aut (X,i) le sons-groupe de Aut (X) qui laisse i invariant, e'est-~-dire le groupe des v ~ Aut(X) tels que

i~=i.

On eonviendra d'autre part de faire op6rer le groupe G • sur X au moyen de la formule

(u,v).x=uxv -~

(ueG,

xGX,

v GAut(X)).

Dans ces conditions, il est clair que l'ensemble i ~ ( ( i } ) est invariant par le groupe

LA FORMULE DE SIEGEL ET LES GROUPES CLASSIQUES 37 G • A u t ( X , i ) . On v a m a i n t e n a n t d 4 m o n t r e r q u e l q u e s r 4 s u l t a t s a u x i l i a i r e s , qui s e r v i r o n t a u C h a p i t r e I I I , a u s u j e t des o r b i t e s d e ce d e r n i e r g r o u p e et d e c e r t a i n s de ses s o u s - g r o u p e s d a n s i x l ( { i } ) ; d a n s le cas oh • est de t y p e (I) e t X d e r a n g 1, ces r ~ s u l t a t s s o n t t r i v i a u x o u s o n t des consequences t r i v i a l e s d e ce qui precede.

R e p r e n a n t les n o t a t i o n s d u n ~ 17, consid~rons d ' a b o r d l ' e s p a c e B * = H o m A

(X,A)*

a t t a e h ~ ~

X*

c o m m e B l ' e s t / ~ X; s u p p o s a n t c h a q u e c o m p o s a n t e (~ s i m p l e ~) de A raise sous la f o r m e d4crite a u n ~ 18, e t les c o m p o s a n t e s c o r r e s p o n d a n t e s d e X mises sous la f o r m e d d c r i t e a u x n ~ 19 e t 21, n o u s allons ddfinir u n i s o m o r p h i s m e de

X @ , X

sur l ' e s p a c e Hom~

(B, B)*

des m o r p h i s m e s d e B clans B* p o u r leurs s t r u c t u r e s de B - m o d u l e s ~ d r o i t e ; p o u r cela, il suffira d v i d e m m e n t de d4crire cet i s o m o r p h i s m e s 4 p a r 4 m e n t d a n s les cas (I) e t (II); p o u r abrdger, n o u s ne n o u s o c c u p e r o n s p a s de s a v o i r d a n s quel m e s u r e il est (~ canoni- que ~). D a n s le cas (I), n o u s i d e n t i f i o n s X a v e c Mm.~(~ ) e t

X @ , X

a v e c M~(t[) c o m m e a u n ~ 19, c e t t e derni~re i d e n t i f i c a t i o n se f a i s a n t a u m o y e n d e l a f o r m u l e

x @ , y = t x ' . h . y .

C o m m e a u n ~ 20, i d e n t i f i o n s

X*

a v e c M~.n([ ) a u m o y e n d e l a f o r m u l e {x,x*}

=x.

t(x*)'.h;

p u i s i d e n t i f i o n s B e t

B*

a v e c M~,l(f ) c o m m e a u n ~ 18. D a n s ces c o n d i t i o n s , s t o u t ~l~ment w d e

X @ , X ,

o n f e r a c o r r e s p o n d r e le m o r p h i s m e 2w de B d a n s

B*

donn~ p a r 2w ( b ) = w . b p o u r t o u t

b EB.

E n p a r t i c u l i e r , p o u r

i ~ I ( X ) , 2~

sera d o n c le m o r p h i s m e

b-->i.b;

d ' a u t r e p a r t , d ' a p r ~ s le n ~ 19, i s a t i s f a i t alors

~ ti' =~i,

e t e s t la m a t r i c e de la f o r m e ~ - h e r m i t i e n n e (bl, b~)-->tb'~.i.b2 s u r B x B; fl s ' e n s u i t que le n o y a u d e )t, d a n s B e s t le s o u s - e s p a c e B ' d e B qui est o r t h o g o n a l , p a r r a p p o r t s i, s t o u s les v e c t e u r s de B. D e plus, p o u r

x ~ X

e t

i=ix(x),

a i = tx'.h.x,

de sorte que le n o y a u d e x d a n s B e s t c o n t e n u d a n s celui de 2,.

D e mSme, d a n s le cas (II), o n i d e n t i f i e r a d e n o u v e a u X a v e c

Mm.~@M',n.q

e t

X @ , X

a v e c

Mqoz~M'p. q

c o m m e a u n ~ 21, c e t t e derni~re i d e n t i f i c a t i o n se f a i s a n t a u m o y e n d e la f o r m u l e

(x,y)@,(z,t)=(T'x, tz '" y)

p o u r x e t z d a n s

Mm. p e t

y e t t d a n s

M~.q.

O n i d e n t i f i e r a X* a v e c

Mm.q~M',,.~

e t B

a v e c M ~ . I ( ~ . 1 c o m m e a u n ~ 21, e t d e m ~ m e B* a v e c

Mq.IQM'p.1

Alors, p o u r t o u t

(u,v) E X @ , X ,

o n d4finira le m o r p h i s m e 2(u.v) de B d a n s B* en p o s a n t , p o u r t o u t 41~- m e r i t

(b,c)

d e B :

2(u. ~) (b,c) = (ub, vc).

E n p a r t i c u l i e r , p o u r

(x,y)EX

e t

i=iz(x,y), ,~

s e r a donn~, d ' a p r ~ s le n ~ 21, p a r la f o r m u l e

~t~Cb, c) =

Cry,. x. b, tx' .y.

c),

d ' o h il rdsulte que le n o y a u d e

(x,y)

d a n s B est c o n t e n u d a n s celui d e )it, c o m m e d a n s le cas (I).

38 A. w ~ m

25. Ces ddfinitions d t a n t dtendues d ' u n e manibre dvidente, c o m p o s a n t e p a r compo- sante, au eas gdndral oh M est seulement supposde semisimple, on v o i t q u ' o n fair ainsi correspondre h t o u t i E I ( X ) u n m o r p h i s m e 2~ de B dans B* a y a n t les propridtds qui rdsultent de ce qui prdc~de. E n particulier, p o u r i=ix(x), le n o y a u de Jl~ contient toujours celui de x q u a n d x est considdrd c o m m e application de B dans A.

On dira q u ' u n dldment i de I ( X ) est non-ddgdndrg si le n o y a u de 2t se rdduit ~ (0};

les formules d u n ~ 24 m o n t r e n t i m m d d i a t e m e n t dans les cas (I) et (II) qu'alors 2~ est un isomorphisme de B sur B*, et p a r suite qu'alors X est isomorphe ~ son dual X*; il s'ensuit que cette conclusion reste valable darts le cas gdndral. P o u r qu'il existe des dldments non- ddgdndrds darts I(X), il est done ndcessaire que X soit isomorphe h X*; mais eela n ' e s t pas suffisant. S i x fiX et que ix(x) soit non-ddgdndrd, le n o y a u de x dans B doit ~tre {0}; d'aprbs le lemme 8 d u n ~ 17, eela revient ~ dire que x est de r a n g maximal. A u t r e m e n t dit, si i est non-ddgdndrd, on a U(i) =ixl({i}); p a r suite, d'apr~s la proposition 3 d u n ~ 22, le g r o u p e G op~re alors t r a n s i t i v e m e n t sur ix~({i}).

D ' a u t r e part, soit i E I ( X ) ; soit B ' le n o y a u de 2~; soit B" u n suppldmentaire de B ' dans B. Ddsignons p a r g' le sous-groupe de A u t ( B ) formd des a u t o m o r p h i s m e s de B qui laissent B ' et B" invariants et induisent l'identitd sur B ". On vdrifie immddiatement, darts le cas (I) et dans le cas (II), que g' laisse i invariant; identifiant A u t ( B ) avec A u t ( X ) c o m m e au n ~ 24, on p e u t done considdrer g' c o m m e u n sous-groupe de A u t ( X , i ) ; et cette conclusion, une lois vdrifide dans les cas (I) et (II), reste d v i d e m m e n t valable dans le cas gdndral. Avec ces notations, on a alors le rdsultat s u i v a n t :

P R O P O S I T I O N 4. Pour que deux dldments de ixl({i}) appartiennent h une mdme orbite de G x g', il /aut et il su/]it qu'ils aient mgme rang.

L a condition est d v i d e m m e n t ndcessaire. 1%dciproquement, soient x 0 et x 1 d e u x dld- m e n t s de ix 1 ({i}), et soient N o e t N 1 leurs n o y a u x dans B; d'apr~s ce qui prdc~de, N o e t N 1 sont des sous-modules du n o y a u B' de 2t p o u r la s t r u c t u r e de B-module ~ droite de B.

Mais B e s t s o m m e directe des corps ~; si on ddcompose B, B ' , N O et N 1 en leurs c o m p o s a n t e s relatives a u x ~, ces c o m p o s a n t e s sont des espaces vectoriels ~ droite sur les ~, et l ' h y p o - th~se q u ' o n a faite sur les rangs de x 0 et x 1 dquivaut ~ dire que, p o u r c h a q u e v, les composantes de N O et de N 1 relatives ~ ~ sont des espaces de m~me dimension sur ~, contenus tous d e u x dans la e o m p o s a n t e correspondante de B ' . I1 y a done un a u t o m o r p h i s m e v' de B' qui t r a n s i o r m e N 1 en N 0. Alors l ' a u t o m o r p h i s m e v de B qui coincide avec v' sur B ' et avec l'identitd sur B" a p p a r t i e n t ~ g' et laisse done i invariant, de sorte que xov a p p a r t i e n t e n c o r e / r i x I ({i}); et XoV a m~me n o y a u N 1 que x 1, ce qui implique, d'apr~s le l e m m e 8 d u n ~ 17 et la proposition 3 du n ~ 22, que XoV et x 1 appartierment h une m~me orbite de G.

LA FORMULE DE SIEGEL ET LES GROUI~ES CLASSIQUES 3 9

CO~OLLAII~E. P o u r que deux dlgments de i x 1 ({i}) appartiennent ~ une mdme orbite de G • A u t ( X , i ) , il /aut et il su//it qu'ils aient mdme rang.

L a condition est d v i d e m m e n t n4cessaire, et la proposition 4 m o n t r e qu'elle est suffisante.

L a proposition 4 et son corollaire m o n t r e n t en particulier que les groupes G • 9' et G • A u t (X, i) n ' o n t q u ' u n n o m b r e fini d'orbites dans ix ~ ({i }). On observera que la condition qui y intervient es t e n gdndral plus faible que celle du corollaire de la proposition 3 d u n ~ 22, mais est dquivalente s celle-ci dans certains cas. Soient en effet n = (n~) et n' = (n:) les rangs de X et d ' u n point x 0 de X, et supposons que, p o u r t o u t v, on ait, soit n: =n~, soit n: = 0 (ce qui a u r a lieu p a r exemple s i x 0 est de r a n g m a x i m a l dans X, mais aussi chaque fois que n~ ~< 1 quel que soit ~). I1 est clair qu'alors on a u r a A x o = Ax~ ehaque fois que x~ a m~me rang que x 0.

26. Supposons A a b s o l u m e n t semisimple, ce qui revient b~ dire que, p o u r t o u t v, le centre de t~ est sdparable sur k; il en sera toujours ainsi lorsque k est de earaetdristique 0.

Alors, si on dtend A p a r u n corps K ~ k, l'algbbre dtendue A ~ est encore semisimple; si en m g m e temps, c o m m e il a dt4 dit a u n ~ 14, on dtend p a r K l'involution t, la trace 3, et les modules sur A, on p o u r r a leur appliquer t o u t ce qui a dtd dit ei-dessus. On v a m a i n t e n a n t ddcrire les c h a n g e m e n t s de s t r u c t u r e que p e u t entralner une telle extension; il suffira p o u r eela de se placer suecessivement darts les cas (I) et (II). P o u r simplifier, on supposera dans les d e u x cas que 30=k, le cas g~ndral se r a m e n a n t b, celui-ci p o u r des raisons bien connues;

rappelons que 30 a dtd ddfini, dans le cas (I), e o m m e 4 t a n t l'ensemble des dldments du centre de T qui sont invariants p a r t, et, dans le cas (II), c o m m e dtant le centre e o m m u n de et de T'. I1 s'ensuit, dans le cas (I), que le centre 3 de ~ est, soit k, soit de degrd 2 sur k.

Plagons-nous d ' a b o r d dans le cas (I). Supposons d ' a b o r d q u ' o n ait 34 = k et K ~ ; alors 3~ est s o m m e direete de d e u x corps isomorphes h K, et AK est somme directe de d e u x alg~bres simples de centre K, dchangdes p a r l'involution t; l'extension p a r K fait done passer du t y p e (I) au t y p e (II). De plus, {K est alors somme directe de d e u x alg~bres simples, anti-isomorphes l'une s l'autre, q u ' o n p o u r r a dcrire M , (~) et M~ (~'), off ~ et K' sont d e u x alg~bres ~ division de centre K, anti-isomorphes l'une ~ l'autre, de sorte que AK sera isomorphe ~ la somme directe de MmK(~ ) et de Mm~(K'), avee mK = m y . Si (~ ddsigne c o m m e

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