1.4 Norme stable des graphes
1.4.1 D´emonstration du th´eor`eme I.B
La d´emonstration du th´eor`eme I.B est une cons´equence imm´ediate des lemmes suivants.
Lemme I.C1 Tout circuit simple orient´e de Γ, identifi´e au vecteur corres-pondant de C(Γ,R), est proportionnel `a un sommet de Bst(Γ, w). Le facteur de proportionnalit´e est exactement la longueur de ce circuit.
D´emonstration. Notons Bw,1 la boule unit´e pour la norme (1.17) dans C(Γ,R). Comme
Bst(Γ, w) =Bw,1\
H1(Γ,R),
les sommets deBst(Γ, w) sont donn´es par les points d’intersection deH1(Γ,R) avec l’int´erieur des faces deBw,1 de codimension plus grande ou ´egale `abdans le cas o`u cette intersection est r´eduite `a un point. Pour C un circuit simple orient´e, on note
On consid`ere la face |I(C)| −1 dimensionnelle F(C) de Bw,1 contenant les convexe d’un ensemble fini de points A et int(B) d´esigne l’int´erieur affine d’un ensemble B.
On montre alors que l’intersection H1(Γ,R)T
int(F(C)) est r´eduite `a ce point. En effet, si v est un autre point de H1(Γ,R)T
int(F(C)), les points v et X d´efinissent un segment contenu dans l’intersection. Ceci implique qu’il existe des points d’intersection entre H1(Γ,R) et F(C) dans un voi-sinage arbitraire de X. Autrement dit, il existe des points d’intersection (diff´erents de X) appartenant `a l’enveloppe convexe des {w(eεii)ei, i ∈ I(C)}. Si u est un tel point, on peut ´ecrire u comme une combinaison lin´eaire des {w(eεii)ei, i∈I(C)} dont les coefficents sont tous non nuls :
On compl`ete alors le vecteur C en une base de H1(Γ,R) form´ee de circuits simples {C1 = C, C2, . . . , Cb} de sorte que, pour chaque i dans {1, . . . , b}, il existe une arˆetefi contenue dansCi et n’appartenant pas auxCj pourj 6=i.
L’analyse de la d´ecomposition du vecteur udans cette base nous montre que le vecteur u est n´ecessairement proportionnel `a C. D’o`u une contradiction.
Maintenant, comme dim(F(C))≤k−b, le vecteur C/kCkw est bien un sommet de Bst(Γ, w). Ceci ach`eve la d´emonstration.
Lemme I.C2 Soient C1 et C2 deux circuits simples orient´es. Alors il existe des circuits simples orient´es {Dj}j∈J (non uniquement d´efinis) pour lesquels chaque arˆete n’est parcourue que dans un seul sens et tels que dansH1(Γ,R):
[C1+C2] =X
j∈J
[Dj].
D´emonstration. On note {ei}i∈I les arˆetes de Γ figurant dans C1 et C2 avec des directions oppos´ees. On ˆote les arˆetes {ei}i∈I de la reunion C1S
C2. Notons C la courbe obtenue. Elle poss`ede une orientation induite par celles de C1 et de C2. En suivant cette orientation, C se s´epare naturellement en quelques courbes ferm´ees et orient´ees {Pl}l∈L. Cette repr´esentation pr´eserve la classe d’homologie :
[C1+C2] =X
l∈L
[Pl].
Chaque courbe Pl n’est pas, en g´en´eral, un circuit simple car elle peut avoir des auto-intersections : des sommets, ou bien des arˆetes parcourues plu-sieurs fois dans la mˆeme direction. On part d’un point d’auto-intersection et on parcourt Pl en suivant l’orientation. En revenant au point de d´epart pour la premi`ere fois, nous coupons Pl en deux courbes ferm´ees et orient´ees.
Chacune de ces deux nouvelles courbes a moins d’auto-intersections que la courbe initiale Pl. En r´ep´etant suffisamment ce proc´ed´e, nous obtenons un certain nombre de circuits simples qui engendrent la classe [Pl]. On applique ce proc´ed´e pour chaque Pl, l ∈ L. L’ensemble des circuits simples obtenus est not´e {Dj}j∈J. Pour achever la d´emonstration, il reste `a remarquer que, par construction, les circuits simples orient´es construits n’ont pas d’arˆete
commune parcourue dans des directions oppos´ees.
Lemme I.C3 Pour chaque classe enti`ere a∈H1(Γ,Z), il existe des circuits simples {Cs}s∈S (non uniquement d´efinis) tels que
a=X
s∈S
[Cs] et kakw =X
s∈S
kCskw.
D´emonstration. Comme les circuits simples orient´es engendrent H1(Γ,Z), nous pouvons pr´esenter une classe fix´ee a ∈H1(Γ,Z) comme une somme de circuits simples orient´es :
a=X
r∈R
[Dr]. (1.21)
Remarquons que la repr´esentation (1.21) n’est pas uniquement d´efinie et que certains circuits figurent, en g´en´eral, plusieurs fois dans cette somme.
En appliquant syst´ematiquement le lemme I.C2 sur chaque paire de cir-cuits (Dr1, Dr2) ayant des arˆetes en commun parcourues dans des direc-tions oppos´ees, nous arrivons au bout de ce proc´ed´e it´eratif sur une nouvelle
repr´esentation par des circuits {Cs}s∈S v´erifiant le lemme.
Lemme I.C4 Soit (Γ, w) un graphe pond´er´e dont la fonction poids w est `a valeurs rationnelles. Alors chaque sommet de Bst(Γ, w) est proportionnel `a un circuit simple orient´e de Γ.
D´emonstration.On consid`ere un sommet Xde Bst(Γ, w). On sait que c’est l’unique point d’intersection deH1(Γ,R) et d’une face deBw,1de codimension plus grande ou ´egale `a b. Comme les poids {w(ei), 1≤ i ≤ k} sont ration-nels, les coordonn´ees des sommets de Bw,1 sont rationnelles. Le sous-espace H1(Γ,R) est engendr´e par des vecteurs dont les coordonn´ees sont enti`eres.
Ceci implique que les coordonn´ees de X sont rationnelles. On constate donc que X = λa, o`u a ∈ H1(Γ,Z) est un vecteur indivisible et λ est un facteur rationnel positif. On a ´egalement
1 = kXkw =λkakw. (1.22) D´ecomposons a en circuits simples orient´es selon le lemme I.C3 :
a =X
s∈S
[Cs].
On tire alors du lemme I.C3 et de (1.22) l’´egalit´e suivante :
X = 1 l’enveloppe convexe de ces points. Comme Xest un sommet, on obtient donc que S contient un seul circuit (la r´ep´etition d’un unique circuit n’´etant pas possible, puisqueaa ´et´e choisi indivisible). La d´emonstration est achev´ee.
Les lemmes I.C1 et I.C4 impliquent le th´eor`eme I.B pour tout graphe pond´er´e dont la fonction poids est `a valeurs rationnelles. D’autre part, ces lemmes montrent ´egalement que les directions des sommets de Bst(Γ, w) (w
´etant `a valeurs rationnelles) sont uniquement d´efinies et ne d´ependent que des circuit simples. Ceci, par continuit´e, implique le r´esultat pour des poids quelconques.