D´ emonstration du th´ eor` eme 4.1 Strat´ egie

Au ﬁnal :

τ(h) = 1

2C_hln (h)− 1

2C_hln(2)− 1

C_hln(A) +θ

ϕ_τ₁_(h)(m_h) donc pourh→0 on a l’´equivalent suivant :

τ(h)∼ ln (h) 2F(^h₂) et commeF_h

=F(0) +F(0)^h₂+o(h²) avecF(0)= 0, d’o`u pourh→0 l’´equivalentτ(h)∼ _2F^ln(h)(0).

4.3. Démonstration du théorème 4.1 Stratégie

La formule du théorème de Colin de Verdière-Parisse (théorème 3.2) est une équation fonctionnelle implicite ; on va inverser (au sens bijectif) cette fonction de manière à pouvoir expliciter les valeurs propres. Pour celà on va utiliser ce théorème avecE=λh^αoùλ∈[−1,1] etα0 . Par la suite on va voir que si l’on choisitα∈₁

2,1

de sorte qu’on ait l’inclusion ´evidente [−h^α, h^α]⊆

−√ h,√

, on peut montrer assez facilement le théorème 4.1 avec des techniques d’analyse réelle basiques. Afin de comprendre pourquoi on supposeα∈₁

2,1

,plutt qu’´ecrire la preuve directement avecα= ¹₂ on

ecrira toute la preuve avecα∈₁

2,1

(voir aussi la partie 4.4.).

Prologue

On va commencer par des notations :pour alléger l’écriture on définit sur le compact [−1,1] les fonctions :

F_h(E) : =−θ₊(E) +θ₋(E)

2 +π

2 +ε(E)

h ln(h) + arg Γ 1

2 +iε(E) h

f_h(λ) : =F_h(λh^α)

Pour finir avec les notations, sur le compact [−1,1], on définit les deux fonctionsYhet Zhpar

Le théorème 3.2 affirme alors exactement que : h^αλ∈Σ_h(P_h,[−h^α, h^α])⇔ cos (g_h(λ))

L’id´ee pour expliciter le spectre est d’inverser les fonctionsYh et Zh pour avoir une formule explicite. On va d’abord montrer que :

Proposition 4.4. — Pour hassez petit, la fonction Yh (resp. la fonc-tion Zh) r´ealise une bijection strictement d´ecroissante de [−1,1] sur Yh([−1,1])(resp. surZh([−1,1])). En outre, on a uniform´ement sur[−1,1]

Démonstration. — Avec la définition de la fonction Yh, pour tout λ∈

On va estimer, un par un, les quatres ´el´ements de cette somme.

Comme la fonctionE→ −

Θ₊(E) + Θ₋(E)

/2 admet un d´eveloppement asymptotique de −1 `a +∞, avec des coefficients C^∞ par rapport à E, on développement asymptotique de la fonction εet en le dérivant on a :

ε(λh^α) = Par cons´equent nous obtenons :

h^α−1ε(λh^α) ln(h) =h^α⁻¹ln(h)

−V(0)+O(h^2α−1ln(h))+

∞ j=1

ε_j(λh^α)h^j+α−1ln(h).

Estimons maintenant le terme λ → _∂λ^∂ (

sin(gh(λ))g_h(λ) [1 + exp (2πε(λh^α)/h)] +πh^α⁻¹ε(λh^α) cos(gh(λ)) exp (2πε(λh^α)/h)

Ensuite, pour ﬁnir, on va calculer et estimer λ→ ∂

pour toutλ∈[−1,1] on a :

est paire et strictement croissante sur R+,on en d´eduit l’encadrement pour toutλ∈[−1,1] :

on en d´eduit (carα <1) que :

et donc la fonctionYhest bien strictement d´ecroissante sur le compact [−1,1].

De mˆeme pour la fonctionZh.

Existence des deux familles de valeurs propres

Comme les fonctions Yh et Zh sont toutes deux bijectives, consid´erons leurs bijections r´eciproques, que l’on renote par :

Ah:=Y_h⁻¹ : Yh([−1,1])→[−1,1] et Bh:=Z_h⁻¹ : Zh([−1,1])→[−1,1].

Ainsi la condition n´ecessaire et suﬃsante des valeurs propres semi-classique devient :

En r´esumant nous avons alors la :

Proposition 4.5. — L’´equation (P_h−h^αλI_d)u_h = O(h^∞) admet une solution uh ∈L²(R)non triviale avec son microsupport M S(uh) =p⁻¹{0}

si et seulement si : λ∈

k∈Ih

Ah(2πk)

#4! 4

k∈Jh

Bh(2πk)

o`uAh=Y_h⁻¹,Bh=Z_h⁻¹ etI_h=^Y^h^([_2π⁻^1,1])∩Z,J_h= ^Z^h^([_2π⁻^1,1]) ∩Z. Notons bien que les ensemblesI_het J_h ne sont pas vides, en eﬀet : Proposition 4.6. — Pour h assez petit, nous avons les encadrements suivants :

−αh^α−1ln(h) π

−V(0) +O(h^α⁻¹) '

Card(I_h)E

−h^α−1ln(h) π

−V(0)+O(h^α⁻¹) '

+1 où E[x] désigne la partie entière de x. On a le même encadrement pour le cardinal de l’ensemble Jh.

Démonstration. — On va faire la preuve uniquement pour l’ensembleI_h. Comme la fonction Yh est strictement décroissante sur le compact [−1,1], le diamètre du compact Yh([−1,1]) est simplement donné par la relation :

diam (Yh([−1,1])) =Yh(−1)− Yh(1).

Par le théorème des accroissements finis il existeξ∈]−1,1[ tels que : Yh(−1)− Yh(1) =−2Yh(ξ)>0.

On obtient donc l’encadrement suivant :

−2αh^α−1ln(h)

−V(0)+O(h^α⁻¹)diam (Yh([−1,1])) −2h^α−1ln(h)

−V(0) +O(h^α⁻¹).

La suite de la preuve est alors directe.

Quinconce et interstice

Comme on l’a vu, dans le compact [−h^α, h^α] (avec α ¹₂) le spectre semi-classique de l’op´erateur :

P_h=−h² 2

d² dx² +V

est constitu´e de deux familles :d’abord la famille αk(h) : =h^αAh(2πk), k∈Ih

puis la famille

β_l(h) : =h^αBh(2πl), l∈J_h. Donnons les propri´et´es importantes de ces deux familles.

Proposition 4.7. — Pour h assez petit, les deux familles de r´eels (αk(h))_k_∈_I_h et(βl(h))_l_∈_J_h sont strictements d´ecroissantes.

D´emonstration. — Cel`a tient juste du fait que les fonctionsYh et Zh

sontC¹et strictement d´ecroissantes, donc leurs bijections r´eciproques le sont

aussi.

Lemme 4.8. — La famille

(αn(h))_n_∈_I_h,(βl(h))_l_∈_J_h

est une famille de r´eels deux `a deux bien distincts.

Démonstration. — Les familles {αn(h)}_n∈I_h et {βl(h)}_l∈J_h étant des familles de réels strictements décroissantes, il suffit juste de vérifier que ces deux familles n’ont pas de valeur commune. Raisonnons par l’absurde : supposons qu’il existent (k, l) ∈ Ih ×Jh tels que αk(h) = βl(h), ie : Ah(2πk) =Bh(2πl). En notant parλcette valeur commune, c’est-à-dire :

λ:=Ah(2πk) =Bh(2πl)

puis en appliquant les fonctionsYhet Zhsur le r´eelλ, on a que Yh(λ) = 2πk∈2πZ et Zh(λ) = 2πl∈2πZ et par cons´equent :

Yh(λ)− Zh(λ)∈2πZ donc par d´eﬁnition des fonctionsYh etZh nous avons

−2 arccos

cos (gh(λ)) 1 + exp (2πε(λh^α)/h)

∈2πZ

d’o`u :

arccos

cos (gh(λ)) 1 + exp (2πε(λh^α)/h)

∈πZ

ainsi n´ecessairement on a

cos (gh(λ))

1 + exp (2πε(λh^α)/h)∈ {−1,1}. Ce qui implique finalement l’égalité :

cos²(g_h(λ))

* +,

= 1 + exp (2πε(λh^α)/h)

* +,

->1

qui est absurde, d’o`u le lemme propos´e.

On va maintenant s’intéresser à comparer ces deux familles entre elles, pour cela il faut prendre des indices appartenant à Ih ∩Jh. On va donc d’abord s’assurer queIh∩Jh⊂Zest non vide.

Proposition 4.9. — Pour h assez petit, nous avons

α(ξ−1)h^α−1ln(h) π

−V(0) +O(h^α⁻¹) '

Card(I_h∩J_h)

(ξ−1)h^α⁻¹ln(h) π

−V(0) +O(h^α−1) '

+ 1 o`uξ∈]−1,1[.

D´emonstration. — Ecrivons juste la diﬀ´´ erence entre les fonctionsYh et Zh , pour toutλ∈[−1,1] nous avons donc que

Yh(λ)− Zh(λ) =−2 arccos

cos (g_h(λ)) 1 + exp (2πε(λh^α)/h)

* +,

-∈[−2π,0]

donc en particulier

Yh(−1)− Zh(−1)<0 et Yh(1)− Zh(1)<0

(pour le strict dans les inégalités, voir la démonstration du précédent lemme).

Ensuite comme d’apr`es la preuve de la proposition 4.6 on a l’encadrement :

−2αh^α−1ln(h)

−V(0)+O(h^α⁻¹)diam(Yh([−1,1])) −2h^α−1ln(h)

−V(0) +O(h^α⁻¹)

et en utilisant aussi que pour toutλ∈[−1,1]

|Yh(λ)− Zh(λ)|2π

on voit immédiatement que pourhassez petitYh([−1,1])∩Zh([−1,1])=∅; et on a même mieux, en effet comme :

diam (Yh([−1,1])∩ Zh([−1,1])) =Yh(−1)− Zh(1) puis que

Zh(1)Yh(−1)Zh(−1)

par le théorème des valeurs intermédiaires il existe ξ∈[−1,1] tels que Yh(−1) =Zh(ξ)

par cons´equent nous avons

diam (Yh([−1,1])∩ Zh([−1,1])) =Zh(ξ)− Zh(1)

=Z_h(θ)(ξ−1)

où θ ∈ ]ξ,1[ est donné par le théorème des accroissements finis, d’où au final :

αh^α−1ln(h)(ξ−1)

−V(0) +O(h^α⁻¹)diam (Yh([−1,1])∩ Zh([−1,1]))

h^α−1ln(h)(ξ−1)

−V(0) +O(h^α⁻¹) et on en d´eduit alors la proposition.

Proposition 4.10. — Pour h assez petit et pour tout k∈ ^Y^h^([⁻^1,1])_2π^∩Z^h^([⁻^1,1])∩Z, on a que

αk(h)< βk(h).

Démonstration. — On sait déjà que pour toutλ∈[−1,1]

Yh(λ)− Zh(λ) =−2 arccos

cos (gh(λ)) 1 + exp (2πε(λh^α)/h)

* +,

-∈[−2π,0]

Le lemme 4.8 nous informe de plus que la précédente inégalité est stricte : pour toutλ∈[−1,1]

Yh(λ)<Zh(λ).

De l`a on d´eduit que pour toutk∈ ^Y^h^{([−1,1])∩Z}_2π ^h^([−1,1])∩Z Yh(Ah(2πk))<Zh(Ah(2πk)) ie :

2πk <Zh(Ah(2πk)).

Comme 2πk∈ Zh([−1,1]) et queBh : Zh([−1,1])→[−1,1] en appliquant la fonctionBh (qui est strictement décroissante) sur la dernière inégalité on arrive a :

Bh(2πk)>Ah(2πk) et donc

αk(h)< βk(h).

Ce qui ﬁnit la preuve.

Ensuite on a la :

Proposition 4.11. — Pour h assez petit et pour tout k∈^Y^h^{([−1,1])∩Z}_2π ^h^([−1,1])∩Z nous avons :

βk(h)< α_k−1(h).

Démonstration. — Pour toutk ∈ ^Y^h^([⁻^1,1])_2π^∩Z^h^([⁻^1,1])∩Z, considérons les deux réels :

θ_k:=Bh(2πk)∈[−1,1]

ζk:=Ah(2πk)− Ah(2π(k−1))<0.

Alors comme :

Yh(θ_k+ζ_k)− Zh(θ_k)

=f_h(θ_k+ζ_k)−f_h(θ_k)−arccos

cos (g_h(θ_k+ζ_k)) 1 + exp (2πε(λh^α)/h)

−arccos

cos (g_h(θ_k)) 1 + exp (2πε(λh^α)/h)

=f_h(θ_k+ζ_k)−f_h(θ_k) +O(1)

=f_h(τk)ζk+O(1)

* +,

->0 (carζk<0)

oùτ_k est donné par le théorème des accroissement finis, on a que : Yh(θk+ζk)>Zh(θk)

ie :

Yh(Bh(2πk) +ζk)>2πk.

D’o`u en appliquant la fonction Ah (qui est strictement d´ecroissante) nous obtenons alors :

Bh(2πk) +ζk <Ah(2πk) ie :

Bh(2πk) +Ah(2πk)− Ah(2π(k−1))<Ah(2πk) soit encore

β_k(h)< α_k−1(h).

Ce qui montre l’inégalité proposée dans l’énoncé.

Pour ﬁnir, estimons la distance entre les valeurs propres :

Proposition 4.12. — Il existe C etC deux nombres r´eels strictement positifs et ind´ependant dehtels que :

|ln(h)| |αk+1(h)−αk(h)| Ch

|ln(h)|. De mˆeme pour la distance|βl+1(h)−βl(h)|.

D´emonstration. — Or pour tout indicek∈ ^Y^h^([⁻^1,1])_2π^∩Z^h^([⁻^1,1]) ∩Z, on a :

|αk+1(h)−αk(h)|=h^α|Ah(2π(k+ 1))− Ah(2πk)|

=h^α|A_h(ξk)2π|

oùξk∈]k, k+ 1[ est donné par le théorème des accroissements finis. Il reste alors à écrire simplement que :

|A_h(ξk)|= 1

Y_h(Ah(ξk))

pour avoir l’encadrement suivant : 2πh^α

h√^α⁻¹|ln(h)|

−V(0) +O(h^α⁻¹) |αk+1(h)−αk(h)| 2πh^α

αh√^α⁻¹|ln(h)|

−V(0) +O(h^α⁻¹). Ensuite il reste juste a noter que :

h^α

h^α⁻¹|ln(h)|+O(h^α⁻¹) = h

|ln(h)|+O(1)

= h

|ln(h)|

1 1 +O

|ln(h)|

= h

|ln(h)| 1 +O 1

|ln(h)|

et comme pourhassez petith/ln(h)²'h/|ln(h)|on d´emontre la

proposi-tion.

En résumant toute cette partie 4, on a bien montré le théorème 4.1.

Dans le document Sur le spectre semi-classique d’un système intégrable de dimension 1 autour d’une singularité hyperbolique (Page 22-36)