D´ efinition du jeu d’expansion de r´ eseau

Nous consid`erons un jeu non-coop´eratif d’expansion de r´eseau se d´eroulant simultan´ e-ment entre un ensemble deqagents producteurs, demagents transporteurs et depagents usagers. Ce jeu consiste `a ´etendre la capacit´e d’un r´eseau de transport multi-agent afin de faire circuler des produits depuis leurs centres de production vers les usagers via un r´eseau de transport central. Ce r´eseau multi-agent est assimil´e `a un graphe de flot o`u les arcs sont distribu´es entre des agents ayant diff´erents rˆoles. Les agents usagers et/ou producteurs veulent maximiser leur flot circulant dans le r´eseau et donnent pour cela

une r´ecompense fix´ee pour chaque unit´e de flot suppl´ementaire circulant sur l’un de leurs arcs. Chaque agent transporteur contrˆole la capacit´e de ses arcs qui varie entre sa valeur normale et maximale. Simultan´ement , les agents usagers et/ou producteurs d´ecident de leur politique de partage de r´ecompense et les agents transporteurs d´ecident la capacit´e de leurs arcs respectifs.

Nous consid´erons que maximiser le flot total circulant dans le r´eseau est l’objectif global (ou social) poursuivi par tous les agents. Cet objectif global est une cons´equence directe des objectifs individuels des agents usagers ou producteurs. Les agents transporteurs coop`erent pour satisfaire cet objectif global, `a condition bien sˆur que leurs profits soient am´elior´es.

Le jeu, appel´e Jeu d’Expansion de R´eseau (NEG) (Network Expansion Game), d´ecrit ci-dessus, se d´eroule dans un R´eseau Multi-Agent (RMA), d´efini comme suit :

D´efinition 2.1. R´eseau Multi-Agent.

Un RMAest d´ecrit par un tuple< G,A,I,I,C,Π>o`u :

— G= (V,E) est un graphe de flot.Vest l’ensemble des nœuds o`uS−s, S−t∈ Vsont les nœuds super-source et super-puits du graphe G, respectivement. L’ensemble des arcsE =E^P ∪ E^T ∪ E^U est r´eparti entre les producteursE^P, les transporteurs E^T et les usagersE^U selon la topologie d´ecrite pr´ec´edemment (cf. Section2.2.2).

Notons pare= (i, j) un arceallant du nœud iau nœudj.

— A=A^P∪ A^T ∪ A^U est l’ensemble des agents qui composent le jeu, o`u :

— A^T ={a^T₁, . . . , a^T_x, . . . , a^T_m} est l’ensemble desm agents transporteurs ;

— A^U ={a^U₁, . . . , a^U_y, . . . , a^U_p} est l’ensemble desp agents usagers.

— A^P ={a^P₁, . . . , a^P_z, . . . , a^P_q}est l’ensemble des q agents producteurs ;

— I = (q_i,j)_(i,j)∈ET d´esigne le vecteur de capacit´e normale enti`ere pour les arcs de l’ensemble E^T. Ce vecteur repr´esente la quantit´e de produits qu’un agent peut transporter sur ses arcs sans payer de coˆut suppl´ementaire ;

— I = (q_i,j)_(i,j)∈ET d´esigne le vecteur de capacit´e maximale enti`ere pour les arcs de l’ensemble E^T et repr´esente la quantit´e maximale de produits qu’un agent peut transporter.

— C= (ci,j)_(i,j)∈A^T d´esigne le vecteur de coˆuts unitaires d’expansion pour les trans-porteurs ;

— Π = (π_u)_u∈AU∪A^P est le vecteur de r´ecompenses donn´ees par les agents usagers et/ou producteurs pour chaque unit´e additionnelle de flot qui circule sur un de leurs arcs.

Les arcs du r´eseau multi-agent sont d´efinis comme suit :

— chaque agent transporteur a^T_x poss`ede un ensemble de m<sup>T</sup><sub>x</sub> arcs, que nous no-tons E<sub>x</sub><sup>T</sup>. Chaque arc (i, j) ∈ E<sup>T</sup> appartient `a exactement un et un seul agent

Chapitre 2. R´eseaux de transport multi-agents 30 transporteur : E_x^T ∩ E_x^T0 =∅, ∀(a^T_x, a^T_x0) ∈ A^T × A^T tel que x 6=x⁰. Chaque arc (i, j)∈ E^T est caract´eris´e par une valeur normale et maximale de la capacit´e q_i,j et q_i,j, respectivement. Un agent transporteur peut augmenter la capacit´e d’un arc (i, j)∈ E^T par une unit´e moyennant un coˆutc_i,j.

— chaque agent usager a^U_y poss`ede un ensemble de m<sup>U</sup><sub>y</sub> arcs, que nous notons E<sub>y</sub><sup>U</sup>. Chaque arc (i, j)∈ E<sup>U</sup> appartient `a exactement un seul agent usager :E_y^U∩E_y^U0 =∅ pour chaque paire d’agents usagers (a^U_y, a^U_y0)∈ A^U × A^U tel quey 6=y⁰.

— chaque agent producteura^P_z poss`ede un ensemble dem<sup>P</sup><sub>z</sub> arcs, que nous notonsE<sub>z</sub><sup>P</sup>. Chaque arc (i, j)∈ E<sup>P</sup> appartient `a exactement un seul agent usager :E_z^U∩E_z^U0 =∅ pour chaque paire d’agents usagers (a^P_z, a^P_z0)∈ A^P× A^P tel quez6=z⁰.

D´efinition 2.2. Jeu d’expansion de r´eseau.

Un jeu d’expansion de r´eseau est caract´eris´e par un RMA et un vecteur de strat´egies S = (S^T,S^U,S^P) compos´e :

— des strat´egies des agents transporteurs :S^T = (S₁^T, . . . , S^T_m) o`uS_x^T = (qi,j)(i,j)∈E_x

est la strat´egie de l’agent transporteura^T_x. La capacit´e q_i,j choisie par l’agenta^T_x est un entier qui v´erifieqi,j ∈[q_i,j, q_i,j] pour tout arc (i, j)∈a^T_x ;

— des strat´egies des agents usagers :S^U = (S₁^U, . . . , S_p^U) o`uS_y^U =w^y = (w^yx)x=1,...,m

est la strat´egie de l’agent usager a^U_y et repr´esente sa politique de partage pour chaque unit´e de flot additionnelle circulant sur un de ses arcs (i, j) ∈ E_y^U. Le partage de r´ecompensew^ychoisi par l’agent usagera^U_y est tel que :P

x∈A^T wx^y = 1.

— des strat´egies des agents producteurs : S^P = (S₁^P, . . . , S_q^P) o`u S_z^P = w^z = (w_x^z)_x=1,...,m est la strat´egie de l’agent producteur a^P_z et repr´esente sa politique de partage pour chaque unit´e de flot additionnelle circulant sur un de ses arcs (i, j)∈ E_z^P. Le partage de r´ecompensew^z choisi par l’agent producteura^P_z est tel que :P

x∈A^T w_x^z = 1.

Concernant les agents transporteurs, deux strat´egies particuli`eres peuvent ˆetre caract´ e-ris´ees :

— S^T repr´esente la strat´egie pour laquelle les strat´egies individuelles des agents transporteurs sont minimales : les agents transporteurs fixent leurs capacit´es `a leurs valeurs normales : qi,j =q_i,j, ∀(i, j) ∈ E^T, qu’elle que soit la strat´egie des agents usagers et/ou producteurs ;

— S^T repr´esente la strat´egie pour laquelle les strat´egies individuelles des agents transporteurs sont maximales : les agents transporteurs fixent leurs capacit´es `a leurs valeurs maximales : qi,j =q_i,j,∀(i, j)∈ E^T.

D´efinition 2.3. Flot maximal.

Etant donn´´ ee une strat´egie S, on note F(S) un vecteur de flot maximum compatible avec les valeurs des capacit´es des arcs fix´ees par les agents de transport : 0≤f_i,j ≤q_i,j,

∀(i, j) ∈ E^T. Il est suppos´e positif sur les arcs des agents producteurs (respectivement usagers) : 0≤f_i,j,∀(i, j)∈ E^P (respectivement 0≤f_i,j,∀(i, j)∈ E^U).

La valeur du flot est not´ee F(S) = P

(s,j)∈Efs,j, o`u s est un nœud fictif qui repr´esente la source du r´eseau de transport.

Nous notonsF la valeur maximale du flot qui peut circuler dans le r´eseau pour la stra-t´egie particuli`ereS<sup>T</sup> :F repr´esente la valeur maximale de flot `a coˆut nul pour les agents de transport.

Remarquons que, pour une strat´egie donn´eeS, trouver un flotF(S) de valeur maximale dans le r´eseau de transport peut se faire en temps polynomial `a l’aide de l’algorithme de Ford-Fulkerson [50]. De plus, les valeurs deq<sub>i,j</sub> ´etant enti`eres, le flot r´esultant est entier.

Nous noterons par la suiteFy(S), respectivementFz(S), le flot maximal re¸cu par l’agent usager a^U_y, respectivement par l’agent producteur a^P_z. Remarquons que ces valeurs d´ e-pendent enti`erement du vecteur de flot maximum F(S) choisi. Par d´efinition F_y(S) = P

(i,j)∈E_y^U(fi,j) et Fz(S) =P

(i,j)∈E_z^P(fi,j).

Nous notons aussi parF_y (respectivementF_z), la valeur maximale de flot re¸cue par un agent usagera^U_y (respectivement par un agent producteura^P_z) `a capacit´e minimale, i.e.,

`

a coˆut nul, pour les agents de transport en supposant que cet agent client (usager ou producteur) soitseul `a recevoir le flot.

D´efinition 2.4. Profit des agents.

Les profits Z = (Z^T,Z^U,Z^P) des diff´erents agents sont d´efinis par rapport `a une stra-t´egie S de la mani`ere suivante :

— pour tout agent de transporta^T_x, son profitZ_x^T(S) repr´esente l’´ecart entre la part de r´ecompense qu’il re¸coit des agents usagers et/ou producteurs et les coˆuts qu’il supporte pour augmenter la capacit´e de ses arcs au del`a de leurs valeurs normales : Z_x^T(S) =P

— pour tout agent usagera^U_y et pour tout agent producteura^P_z, les profits respectifs Z_y^U(S) et Z_z^P(S) correspondent `a la valeur de flot qui circulent sur leurs arcs respectifs : Z_y^U(S) =P

(i,j)∈E_y^U(fi,j) et Z_z^P(S) =P

(i,j)∈E_z^P(fi,j).

D´efinition 2.5. Objectif social.

En compl´ement du profit des diff´erents agents, on consid`ere pour toute strat´egie S, un objectif global Z(S), ou objectif social, correspondant au flot total circulant dans le r´eseau. Cet objectif social correspond `a la somme des profits individuels des agents usagers (respectivement producteurs) :Z(S) =P

a^U_y∈A^UZ_y^U(S) =P

a^P_z∈A^PZ_z^P(S).

Chapitre 2. R´eseaux de transport multi-agents 32 2.3.2 Strat´egies remarquables

Dans cette section, nous allons caract´eriser diff´erentes strat´egies remarquables.

D´efinition 2.6. Strat´egie profitable.

Une strat´egie S est profitable si et seulement si les profits des agents sont tous non n´egatifs :Z_x^T ≥0,∀a^T_x ∈ A^T,Z_y^U ≥0,∀a^U_y ∈ A^U et Z_z^P ≥0,∀a^P_x ∈ A^P

Pour les agents de transport, la strat´egieS^T est profitable dans la mesure o`u elle caract´ e-rise une circulation de flot `a coˆut nul pour les agents de transport et pour laquelle aucune r´ecompense n’est attribu´ee. Elle est ´egalement profitable pour les agents producteurs et usagers dans la mesure o`u elle correspond `a un flot positif ou nul.

La r´esolution du probl`eme MaxProfitable d´efini ci-dessous permet de caract´eriser des strat´egies profitables maximisant le flot circulant dans le r´eseau.

D´efinition 2.7. Probl`eme MaxProfitable.

Etant donn´´ ee une instance du jeu NEG, le probl`eme MaxProfitable consiste `a trouver une strat´egieS^∗ telle que :

F(S^∗) = max{F(S) :S est une strat´egie profitable}.

Une strat´egie est dite stable si aucun agent n’a int´erˆet `a modifier sa strat´egie afin d’am´eliorer son profit au d´etriment des autres agents. Cette notion de stabilit´e est li´ee

`

a la notion d’´equilibre de Nash dans les jeux non-coop´eratifs (cf. [78], [79], [82] et [90]).

Par la suite, nous assimilons la notion de strat´egie stable `a celle d’´equilibre de Nash.

La stabilit´e d’une strat´egie est importante du fait qu’elle garantit que les agents peuvent se faire mutuellement confiance. Une strat´egie id´eale serait `a la fois stable et efficiente au sens de Pareto. D´esignons par S<sub>−u</sub> la strat´egie globale de tous les agents, except´e celle de l’agentau. Nous distinguons trois cas possibles pour cette strat´egie particuli`ere S_−u selon la nature de l’agent a_u :

— sia^T_x ∈ A^T,S−x= (S^P,S_−x^T ,S^U) avecS_−x^T = (S₁^T, . . . , S_x−1^T , S_x+1^T , . . . , S_m^T) ;

— sia^U_y ∈ A^U,S_−y = (S^P,S^T,S_−y^U ) avecS_−y^U = (S₁^U, . . . , S_y−1^U , S_y+1^U , . . . , S_p^U).

— sia^P_z ∈ A^P,S_−z = (S_−z^P ,S^T,S^U) avec S_−z^P = (S₁^P, . . . , S_z−1^P , S_z+1^P , . . . , S_p^P) ; Une strat´egie pour laquelle un seul agent quelconqueau modifie sa strat´egieSu est d´ esi-gn´ee parS= (S_u,S_−u). Le profit r´esultant d’une telle strat´egie est not´e parZ_z^P(S_z^P,S_−z) pour un producteura^P_z,Z_x^T(S^T_x,S−x) pour un transporteura^T_x et parZ_y^U(S_y^U,S−y) pour un usager a^U_y.

D´efinition 2.8. Equilibre de Nash.´

Etant donn´´ ee une instance du jeu NEG, la strat´egie S = (S^T,S^U,S^P) est un ´equilibre

de Nash si et seulement si pour tout agent quelconque au (transporteurs, usagers ou producteurs), ayant une strat´egie donn´eeS_u, il n’est pas possible d’am´eliorer son profit en choisissant une autre strat´egieS_u⁰. Ce qui signifie formellement que les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :

— ∀a^T_x ∈ A^T,∀S_x^0T 6=S_x^T, Z_x^T(S_x^T,S−x)≥Z_x^T(S_x^0T,S−x) ;

— ∀a^U_y ∈ A^U,∀S_y^0U 6=S_y^U, Z_y^U(S_y^U,S_−y)≥Z_y^U(S_y^0U,S_−y) ;

— ∀a^P_z ∈ A^P,∀S_z^0P 6=S_z^P, Z_z^P(S_z^P,S_−z)≥Z_z^P(S_z^0P,S_−z).

L’ensemble des strat´egies ´equilibres de Nash est not´e S^N.

La r´esolution du probl`emeMinNashd´efini ci-dessous permet de caract´eriser une strat´egie stable minimisant le flot circulant dans le r´eseau.

D´efinition 2.9. Probl`eme MinNash.

Etant donn´´ ee une instance du jeu NEG, le probl`eme MinNash consiste `a trouver une strat´egieS^∗ telle que :

F(S^∗) = min{F(S) :S est un ´equilibre de Nash}.

De fa¸con sym´etrique, la r´esolution du probl`eme MaxNash d´efini ci-dessous permet de caract´eriser des strat´egies stables maximisant le flot circulant dans le r´eseau.

D´efinition 2.10. Probl`eme MaxNash.

Etant donn´´ ee une instance du jeu NEG, le probl`eme MaxNash consiste `a trouver une strat´egieS^∗ telle que :

F(S^∗) = max{F(S) :S est un ´equilibre de Nash}.

R´esoudre les probl`emes MinNashetMaxNash est n´ecessaire pour pouvoir d´eterminer les prix de l’anarchie et de la stabilit´e, tels que d´efinis au chapitre1, dans le cas o`u l’objectif social est la valeur du flot total circulant dans le r´eseau de transport.

2.3.3 Exemple

Consid´erons le r´eseau dans la Figure 2.3 avec deux agents transporteurs a^T₁ et a^T₂ un agent usager et un agent producteur souhaitant transporter la plus grande valeur de flot de produit du nœud S −s vers le nœud S−t et offrant chacun une r´ecompense

Chapitre 2. R´eseaux de transport multi-agents 34 π= 60, partag´ee selon la politiqueS_y^U =S_z^P = (w1, w2). Le premier et le dernier arcs re-pr´esentent l’agent producteur et l’agent usager, respectivement. Ils sont caract´eris´es par un intervalle de capacit´e non born´e et une r´ecompense ´egale `a 60 pour chacun des deux agents. Le premier arc relie la super sourceS−savec le nœudA(i.e., la source fictive du r´eseau T) alors que le dernier arc relie le nœudD(i.e., le puits ficitif du r´eseau T) avec le super puits S−t. Les arcs appartenant `a chaque agent transporteur dans le r´eseau T sont E₁^T = {b = (A, C), c = (B, C), d = (B, D)} et E₂^T = {a = (A, B), e = (C, D)}, repr´esent´es par les arcs simples et pointill´es, respectivement. Les intervalles de capaci-t´es normales et maximales ([q_i,j, q_i,j]), et les coˆuts d’expansion (c_i,j) apparaissent sur chaque arc du graphe. Par exemple, consid´erons l’arc aallant de A vers B, l’intervalle de capacit´e est [0,2] et le coˆut d’expansion unitaire est ´egal `a 50.

Figure 2.3 –Exemple d’une instance du jeu 1/m/1

Si les agents producteurs et usagers choisissent tous les deux une politique de partage

´

egalitaire, la part de chaque agent de transport pour une augmentation du flot d’une unit´e est ´egale `a 60 (30 en provenance de l’agent producteur et 30 en provenance de l’agent usager).

Figure 2.4 –Exemple d’une strat´egie profitable

Dans la Figure2.4, les deux agents transporteurs d´ecident de fixer les capacit´es de leurs arcs respectifs (A, B) et (B, D) `a la valeur 1. Ces d´ecisions permettent de faire circuler une unit´e de flot dans le r´eseau. Cette strat´egie est profitable puisque chaque agent transporteur aura un gain Z₁^T = Z₂^T = 10 et que chaque agent producteur et usager aura une unit´e de flot : Z^P =Z^U = 1.

2.4 Le cas mono-producteur ou mono-usager

Dans cette section, nous pr´esentons des propri´et´es sp´ecifiques au cas o`u un seul agent, producteur ou usager, distribue une r´ecompense aux agents de transport. Dans ce cas particulier, l’objectif social est donc confondu avec l’objectif de l’unique agent (produc-teur ou usager) fournissant la r´ecompense. Ce cas mono-producteur ou mono-usager sera

´

etudi´e en d´etails dans les chapitres suivants (chapitres3,4 et5).

2.4.1 Profit des agents et strat´egies pauvres

Pour une strat´egie S, lorsqu’un unique agent, usager a^U_y (respectivement producteur a^P_z), d´elivre la r´ecompense, son profit est ´egal au flot maximum circulant dans le r´eseau : Z_y^U(S) =F(S) (respectivementZ_z^P(S) =F(S)).

Le profit d’un agent de transport a^T_x d´epend alors de la valeur du flot maximal qui circule auquel il faut soustraire ses coˆuts d’expansion :Z_x^T(S) =P

u∈A^U∪A^P(w^u_x×π_u)× (F(S)−F)−P

(i,j)∈E^Tc_i,j×(q_i,j−q

i,j).

Nous d´efinissons alors la notion de strat´egie pauvre. Ce concept sera utile pour caract´ e-riser plus pr´ecis´ement la notion d’´equilibre de Nash.

D´efinition 2.11. Strat´egie pauvre.

Une strat´egieS ayant une valeur de flot maximal F(S)> F est dite pauvres’il existe un agent quelconquea_u ayant une strat´egie alternativeS_u⁰ produisant une valeur de flot maximaleF(S_u⁰,S−u) =F(S) tel que Z_u(S_u⁰,S−u)> Z_u(S).

En d’autres termes, puisqu’un agent usager et/ou producteur ne peut pas am´eliorer son profit ´etant donn´e que F(S⁰) = F(S), une strat´egie est pauvre quand un agent trans-porteur est capable de trouver une strat´egie am´eliorant son profit `a flot constant.

Nous notons l’ensemble des strat´egies non pauvres par S^np. ´Evidemment, une strat´egie pauvre ne peut pas ˆetre un ´equilibre de Nash, i.e.,S^N ⊆ S^np.

Une strat´egie pauvre S = (S_u,S_−u) peut ˆetre transform´ee en une strat´egie non pauvre S⁰ = (S⁰_u,S−u) en adaptant la strat´egieS_u de l’agenta_utout en maintenant les strat´egies S_−u des autres agents fix´ees.

Etant donn´´ ee une valeur de flot F(S⁰) une strat´egie non pauvreS⁰ peut ˆetre la solution

Chapitre 2. R´eseaux de transport multi-agents 36 du programme non lin´eaire suivant :

max P

Le programme math´ematique 2.1peut ˆetre utilis´e `a la fois pour v´erifier si une strat´egie est pauvre et pour am´eliorer la strat´egie afin de rem´edier `a sa pauvret´e. Dans le premier cas, si on fixe les strat´egies de tous les agents sauf un seul et qu’il existe une solution au probl`eme2.1alorsS est pauvre. Dans le deuxi`eme cas, le programme math´ematique2.1 donne une solution non pauvre S⁰ si on l’applique pour tous les agentsau∈ A.

Proposition 2.12. Toute solution du programme math´ematique 2.1est non pauvre.

D´emonstration. Soit S^0∗ une solution optimale du programme math´ematique2.1. Si un agent au ´etait capable d’augmenter son profit en adoptant une nouvelle strat´egie Su, cela sans modifier la valeur du flot, alors la strat´egie (S_u,S⁰∗_−u) serait meilleure queS^0∗, d’o`u une contradiction.

2.4.2 Propri´et´es basiques

Dans cette section, nous montrons que l’ agent usagera^U_y (resp. producteura^P_z) ne peut jamais am´eliorer unilat´eralement son profit Z_y^U (resp. Z_z^P).

Proposition 2.13. Etant donn´´ ees une strat´egie non pauvre S ∈ S^np et une valeur de flot maximal F(S), l’agent usager a^U_y et/ou producteur a^P_z ne peut pas seul am´eliorer unilat´eralement son profit Z_y^U ou Z_z^P.

D´emonstration. Raisonnons pour un agent usager (le cas de l’agent producteur ´etant sym´etrique). Le seul moyen pour un agent usagera^U_y d’augmenter son profitZ_y^U est de trouver une strat´egie alternativeS_y^0U tel queF(S−y, S_y⁰)> F(S). Supposons qu’une telle strat´egie existe. Les strat´egies des agents transporteurs ´etant inchang´ees, cela signifie

que, sous la strat´egieS, il existe au moins un arc (i, j) tel quefi,j < qi,j (i.e., le flot peut ˆ

etre augment´e). Par cons´equent, l’agent transporteur qui poss`ede l’arc (i, j) est capable d’augmenter unilat´eralement son profit sous la strat´egie S et ce, en diminuant qi,j, ce qui contredit le fait queS est une strat´egie non pauvre.

En cons´equence, nous pouvons simplifier la D´efinition 2.8 d’un ´equilibre de Nash en consid´erant uniquement les agents transporteurs.

Corollaire 2.14. Etant donn´´ ee une instance du jeuNEG, une strat´egieS = (S^P,S^T,S^U) est un ´equilibre de Nash si et seulement si S ∈ S^np et, pour tout agent transporteur a^T_x ∈ A^T, ayant une strat´egieS_x^T, la condition suivante est v´erifi´ee :

Z_x^T(S_x^T,S_−x)≥Zx(S_x^0T,S_−x),∀a^T_x ∈ A^T,∀S_x^0T 6=S_x^T (2.2) D´emonstration. D’une part, puisque S^N ⊆ S^np, seule une strat´egie non pauvre peut ˆ

etre stable. D’autre part, la Proposition 2.13, stipule qu’un agent a^U_y ou a^P_z ne peut jamais am´eliorer seul son profitZ_y^U ouZ_z^P. Par cons´equent, siS est stable, alors aucun agent transporteura^T_x n’est capable de modifier profitablement sa strat´egieS_x^T. Ceci est exactement ce que l’In´equation2.2 implique.

Ainsi, dans unNEGimpliquant plusieurs agents, seuls les agents transporteursa^T_x peuvent augmenter (ou diminuer) unilat´eralement les capacit´es de leurs arcs pour am´eliorer leurs profitsZ_x^T.

Ces agents jouent donc un rˆole central dans lesNEG´etudi´es dans cette th`ese.

Remarquons ´egalement qu’en vertu de la propri´et´e 2.13, l’hypoth`ese de simultan´eit´e des jeux n’est pas indispensable. En effet, l’agent producteur ou usager pourrait fixer d’abord sa politique de partage, et les agents transporteurs pourraient ensuite d´efinir leurs capacit´es.

2.5 Synth` ese des jeux

Dans cette section, nous pr´esentons une synth`ese des jeux d’expansion de r´eseaux consi-d´er´es. Le tableau 2.1r´esume les diff´erents jeux et leurs notations respectives.

Les probl`emes impliquant un unique agent transporteur et un unique agent usager ou producteur, not´es respectivement 0/1/1 et 1/1/0 seront trait´es dans le chapitre3.

Les jeux impliquant un ensemble d’agents transporteurs et un unique agent client (pro-ducteur ou usager), not´es respectivement 1/m/0 et 0/m/1 ainsi que leurs complexit´es

Chapitre 2. R´eseaux de transport multi-agents 38 Producteurs Transporteurs Usagers

0/1/1 0 1 1

1/1/0 1 1 0

0/m/1 0 m 1

1/m/0 1 m 0

0/m/p 0 m p

q/m/0 q m 0

q/m/p q m p

Table 2.1 – Notation des jeux d’expansion consid´er´es



F



F

P T U

(a)



F F



T U P

(b)

 

F F

P T U

(c)

Figure 2.5 –Autres sc´enarios du jeuq/m/p

seront discut´es dans les chapitres 4 et 5. Puis, les chapitres 7 et 8 pr´esentent une m´ e-thode de r´esolution du jeu 0/m/1 ainsi que les r´esultats exp´erimentaux. Les probl`emes g´en´eralis´es avec un r´eseau de transport et un r´eseau de producteurs et/ou transporteurs, not´esq/m/0, 0/m/petq/m/p seront `a leur tour ´etudi´es dans le chapitre 6.

Notons que le probl`eme q/m/ppeut couvrir d’autres sc´enarios de jeu, autres que ceux d´ecrits par la Figure (2.1) et pr´esent´es dans ce chapitre.

Par exemple, dans le sc´enario de la Figure2.5(a), les agents usagers donnent une r´ ecom-pense partag´ee entre les agents transporteurs et producteurs. Ici, l’objectif d’un agent

usager serait de r´ecompenser les producteurs pour les inciter `a augmenter la quantit´e de produits distribu´es `a travers le r´eseau de transport. Selon le mˆeme principe, les agents usagers pourraient donner la totalit´e de la r´ecompense aux agents producteurs , comme illustr´e dans le sc´enario de la Figure2.5(b)pour augmenter la quantit´e produite. Dans le sc´enario de la Figure2.5(c), un autre cas est illustr´e o`u un usager donne la r´ecompense aux agents transporteurs, qui `a leur tour la distribuent aux agents producteurs pour les

usager serait de r´ecompenser les producteurs pour les inciter `a augmenter la quantit´e de produits distribu´es `a travers le r´eseau de transport. Selon le mˆeme principe, les agents usagers pourraient donner la totalit´e de la r´ecompense aux agents producteurs , comme illustr´e dans le sc´enario de la Figure2.5(b)pour augmenter la quantit´e produite. Dans le sc´enario de la Figure2.5(c), un autre cas est illustr´e o`u un usager donne la r´ecompense aux agents transporteurs, qui `a leur tour la distribuent aux agents producteurs pour les

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