D´ecison multicrit`ere

Le champ de la d´ecision multicrit`ere est un champ de l’informatique qui trouve ´echo dans un grand nombre d’applications r´eelles, particuli`erement dans le domaine du management et de la gestion de ressources o`u les processus de d´ecision automatiques abondent. Ce domaine, tr`es ancien

4.1. ETAT DE L’ART 143

(on peut remonter aux travaux de Condorcet, en 1785, sur le syst`eme de vote qui portera son nom), s’int´eresse `a la recherche de solutions pour des probl`emes contenant plusieurs variables. En ce sens il rejoint l’agr´egation de classifieurs qui peut ˆetre vue comme la recherche d’un moyen pour ob- tenir le ou les objets (assimilables `a des solutions) les plus proches de la classe d’int´erˆet, compte tenu des r´esultats des classifieurs (assimilables `a des crit`eres). Concr`etement, on dispose de k crit`eres d’int´erˆet et x solu- tions comportant des valeurs pour ces crit`eres, l’objectif ´etant de trouver la meilleure solution, c’est `a dire celle qui r´epond le mieux aux k crit`eres si- multan´ement. La difficult´e r´eside dans le fait qu’il n’y existe g´en´eralement aucune solution qui maximise simultan´ement les k crit`eres, il faut alors s´electionner une solution sous-optimale, mais sup´erieure aux autres. Plu- sieurs strat´egies s’offrent alors.

Classement par importance des crit`eres

Une id´ee intuitive consiste simplement `a ordonner les crit`eres par im- portance puis `a classer les solutions selon le nombre et l’importance des crit`eres qu’elles v´erifient. Une solution sera d’autant mieux class´ee qu’elle v´erifie un grand nombre de crit`eres importants. Cette approche a pour prin- cipale faiblesse la n´ecessit´e de classer les crit`eres par ordre d’importance et l’attribution `a chacun d’un poids relatif `a son importance.

Ensemble de Pareto

Ce concept, d´evelopp´e par Vilfredo Pareto `a la fin du XIX`eme sci`ecle, tente d’apporter une r´eponse rationnelle `a la question du choix d’une ou plusieurs solutions parmi un ensemble lorsqu’une d´ecision est bas´ee sur de multiples crit`eres. Une pr´esentation de cette notion peut ˆetre trouv´ee entre autre dans [62].

Pour expliciter ce concept, il faut d’abord d´efinir celui de la dominance d’une solution sur une autre. Une solution X est dite dominante sur une solution Y si et seulement si

∀i ∈ (1, . . . , n), Xi > Yi

o`u Xi et Yi d´esignent la valeur du crit`ere i pour les solutions X et Y

respectivement et n d´esigne le nombre de crit`eres consid´er´es. Une fois ce socle pos´e, il est possible de d´efinir l’ensemble de Pareto comme l’ensemble des solutions non-domin´ees, c’est `a dire qu’elles dominent ou sont ´egales `a toutes les autres solutions pour au moins un crit`ere. L’ensemble de Pa- reto est rarement compos´e d’une seule solution, dominant toutes les autres mais dans le cas d’une d´ecision multicrit`ere, cet ensemble a la propri´et´e de contenir la solution optimale en permettant en g´en´eral une r´eduction de l’espace de recherche. Il est toutefois n´ecessaire d’utiliser d’autres m´ethodes pour identifier cette solution optimale.

Le vote

Une proc´edure classique en d´ecision, largement utilis´ee ne serait-ce que dans les syst`emes politiques, est le vote. Un vote peut ˆetre d´efinit comme l’ordonnancement des solutions selon le nombre de voix accord´e par les vo- tants `a chaque solution existante. Il existe un grand nombre de proc´edures de vote, chacune poss´edant des propri´et´es propres. Pour illustrer cette mul- titude, je citerai simplement [14] o`u les auteurs mentionnent l’existence de 27 syst`emes d´emocratiques dans le monde o`u 70 proc´edures diff´erentes de vote ont ´et´e appliqu´ees entre 1945 et 1990. Comme exemples de syst`eme de vote, on peut citer :

– le vote par majorit´e : le cas le plus simple de vote o`u les solutions sont class´ees selon le nombre de voix qu’elles ont obtenues.

– le vote `a majorit´e absolue : une seule solution est retenue : celle qui re¸coit la moiti´e des voix plus une.

– le vote par simple transf´erabilit´e : les solutions obtenant un certain nombre de voix sont retenues. Les voix leur permettant de d´epasser ce seuil sont transf´er´ees aux autres solutions en fonction d’un vote de ”seconde main” des votants. La proc´edure est r´ep´et´ee jusqu’`a ce qu’il n’y ait plus de voix `a redistribuer.

4.1. ETAT DE L’ART 145

– le vote cumulatif : On d´etermine un nombre de solutions `a retenir et chaque votant dispose d’autant de voix. Ils peuvent les distribuer comme bon leur semble entre les solutions, y compris en les cumulant sur certaines d’entre-elles, les solutions retenues ´etant celles disposant du plus grand nombre de voix.

Ces quelques exemples permettent d’illustrer les diff´erentes configurations de vote existantes, c’est `a dire le classement des solutions ou la d´esignation d’une ou plusieurs d’entre elles. Dans le probl`eme qui nous occupe les m´ethodes aboutissant `a un classement sont celles qui nous int´eressent, bien que les m´ethodes capables de d´esigner plusieurs candidats soient ´egalement applicables si le nombre de candidats `a retenir est fix´e a priori par le biologiste. Il faut toutefois noter que pour pouvoir classer un grand nombre de solutions selon le total des voix recueillies par chacune, il est n´ecessaire de disposer d’un grand nombre de votants. Si ce nombre est trop faible, la granularit´e du classement ne sera pas suffisante pour d´epartager les candidats.

La principale limite de ces m´ethodes de vote est qu’une mauvaise solution peut ˆetre favoris´ee par plusieurs votants commettant le mˆeme type d’erreur. A contrario un classifieur peut ˆetre particuli`erement efficace mais isol´e par rapport aux autres votants, donc incapable de favoriser suffisamment les bonnes solutions. La s´election et la pond´eration de chaque votant est donc un probl`eme cl´e dans les processus de vote.

4.1.4 Agr´egation par structuration/s´election de classifieurs