Pour mieux comprendre cette ´etrange structure, il est n´ecessaire de distinguer d’une part, une d´efinition formelle `a partir de la terminologie utilis´ee, et d’autre part, les ca- ract´eristiques du ph´enom`ene qui peuvent ˆetre li´ees aux effets conjugu´es de la discr´etisation des prix et de la corr´elation s´erielle des rendements. Apr`es avoir donn´e une d´efinition d’une rose des vents selon la terminologie propre `a ce contexte, nous pr´esenterons les d´eterminants du ph´enom`ene sur la base des diff´erents articles d´edi´es `a cette structure de d´ependance.
1.2.1.1 D´efinition d’une rose des vents et de ses variantes
La rose des vents peut ˆetre analys´ee ou visualis´ee sous plusieurs angles ; dans un plan (structure classique ou ´eventail) ou dans un espace (explosion d’´etoiles). Nous adop- tons donc ici une d´emarche similaire `a celle de Crack et Ledoit (1996) afin de mettre en ´
evidence les ph´enom`enes de rose des vents, d’´eventail de volatilit´e et d’explosion d’´etoiles.
Rose des vents (Compass Rose)
Quand on repr´esente les rendements (intra-journaliers) `a la p´eriode t, sur l’axe horizontal, contre les rendements `a la p´eriode t + 1, sur l’axe vertical en donn´ees intra-journali`eres, comme le sugg`erent Huang et Stoll (1994), il semble clair qu’il existe peu de relations
entre ces mouvements de prix. Crack et Ledoit (1996) ont montr´e que le simple choix typographique de la croix (+) symbolisant les points et le choix d’une s´erie d’observations `
a court terme pouvait obscurcir une structure pourtant significative avec d’autres choix typographiques. En rempla¸cant les points par des croix et d`es lors que l’on r´eduit un peu la p´eriode d’observation, la structure non-visible du graphique devient claire (voir par exemple la diff´erence entre le graphique 1.2 et le graphique 1.3 suivant). Ce changement est marqu´e par des points plus ´etal´es ((( smudge )), Szpiro, 1998), par des lignes fuyant de l’origine, par des droites ´epaisses et bien orient´ees sur les directions principales d’une boussole, d’o`u le nom de (( rose des vents )).
Fig. 1.2. Diagramme de phases des rentabilit´es du titre Peugeot
Source : Euronext. L’axe horizontal repr´esente les rendements du titre Peugeot `a une p´eriode donn´ee ; l’axe vertical repr´esente les rendements `a la p´eriode pr´ec´edente. Le signe plus (+) est utilis´e pour sym- boliser les points. La p´eriode d’observation s’´etend du 02 janvier au 13 aoˆut 2004 (1 283 125 points). Les axes sont exprim´es en %.
Eventail (Fan-shaped Structure)
En consid´erant le carr´e des rentabilit´es comme un proxy de la volatilit´e instantan´ee (Cf. Chen, 1997), il est possible de mettre en ´evidence une structure particuli`ere dite
Fig. 1.3. Diagramme de phases des rentabilit´es du titre Peugeot avec modification de l’´echelle
Source : Euronext. Ce graphique est similaire au graphique 1.2 ; seule l’´echelle a ´et´e r´eduite et le choix typographique est diff´erent. L’axe horizontal repr´esente les rendements intra-journaliers `a une p´eriode donn´ee. L’axe vertical repr´esente les rendements intra-journaliers de la p´eriode pr´ec´edente. Le symbole point (.) repr´esente les donn´ees qui couvrent la p´eriode d’observation qui s’´etend du 02 janvier au 13 aoˆut 2004 (1 283 125 points). Les axes sont exprim´es en %.
li´e `a celui de la rose des vents, puisque lorsqu’une rose des vents est parfaitement d´efinie, le repliement des quatre quadrants des couples de rendements laisse apparaˆıtre une sorte d’´eventail.
Explosion d’´etoiles (Star Burst)
Comme mentionn´e par Crack et Ledoit (1996), le ph´enom`ene peut avoir une dimension de plongement sup´erieure `a 2. Ainsi dans l’espace d´efini par trois rendements successifs, il est possible de voir apparaˆıtre une structure particuli`ere - appel´ee(( explosion d’´etoiles )) (star
burst en anglais) - qui traduit un ph´enom`ene d’alignement des triplets de rendements le long de droites fuyant `a partir de l’origine comme illustr´e sur le graphique suivant.
Fig. 1.4. Ph´enom`ene de rose des vents pour les rentabilit´es au carr´e (illustration d’un ´
eventail)
Source : Simulation de 30 000 points `a partir d’un mod`ele AR(2)− GARCH(1, 1) ; les param`etres du mod`ele AR(2) et ceux du GARCH(1, 1) sont respectivement de {5, 2.10−4, 0, 12, 0, 053} et
{2, 2.10−5, 0, 11, 0, 83} (param`etres obtenus par Amilon et Bystr¨om, 2000, pour les actions (( Atlas Copco A fria)) sur le march´e financier de Stockholm). La s´erie de rendements arrondis correspondant est ensuite d´etermin´ee par discr´etisation des prix en suivant les proc´edures (1.7) et (1.8) avec un prix initial fix´e `a 80 EUR et un pas d’´echelon de cotation de 1 EUR. L’axe horizontal repr´esente les rendements au carr´e du titre `a une p´eriode donn´ee ; l’axe vertical repr´esente les rendements au carr´e `a la p´eriode pr´ec´edente. Les axes sont exprim´es en %.
Sans perte de g´en´eralit´e, nous ´etudierons dans la suite le ph´enom`ene de rose des vents, sachant que notre analyse se g´en´eralise tr`es facilement aux ph´enom`enes d’´eventail et d’explosion d’´etoiles.
1.2.1.2 Caract´erisation du ph´enom`ene
Crack et Ledoit (1996) ont ´et´e les premiers `a d´ecouvrir une telle repr´esentation sur les rendements journaliers. Pour eux, le d´eterminant le plus important pour l’existence d’une rose des vents est la taille effective de l’´echelon de cotation. En effet, ils montrent que
Fig. 1.5. Ph´enom`ene de rose des vents pour des triplets de rentabilit´es successives (ex- plosion d’´etoiles)
Source : simulation de 30 000 points `a partir d’un mod`ele AR(2)− GARCH(1, 1) ; les param`etres du mod`ele AR(2) et ceux du GARCH(1, 1) sont respectivement de {5, 2.10−4, 0, 12, 0, 053} et
{2, 2.10−5, 0, 11, 0, 83} (param`etres obtenus par Amilon et Bystr¨om, 2000, pour les actions (( Atlas Copco A fria )) sur le march´e financier de Stockholm). La s´erie de rendements arrondis correspondante est en- suite d´etermin´ee par discr´etisation des prix en suivant les proc´edures (1.7) et (1.8) avec un prix initial fix´e `a 80 EUR et un pas d’´echelon de cotation de 1 EUR. L’axe horizontal repr´esente les rendements du titre `a une p´eriode t donn´ee ; l’axe horizontal repr´esente les rendements du titre `a une p´eriode t− 1 donn´ee ; l’axe vertical repr´esente les rendements `a la p´eriode t− 2. Les axes sont exprim´es en %.
la taille (( officielle ))4 de l’´echelon de cotation (impos´ee par la bourse) n’est ni n´ecessaire ni suffisante pour l’apparition du ph´enom`ene. Il faut comparer la taille (( effective )) de l’´echelon de cotation (d´etermin´e par les participants du march´e5) aux changements de prix. Ils trouvent aussi que l’existence d’une telle structure est li´ee `a des sauts discrets des prix sur l’ensemble des titres ´echang´es sur le New York Stock Exchange (NYSE). Lee et
alii (1999) dans une ´etude empirique sur le march´e `a terme, arrivent aux mˆemes conclu- sions quant aux d´eterminants, mais pas sur le caract`ere syst´ematique du ph´enom`ene. En effet, leur ´etude montre que la rose des vents survient sur certains contrats `a terme, 4La notion de taille(( officielle )) fait ici r´ef´erence au pas minimum de variation du prix de l’actif (tick
en anglais).
5Cette taille dite(( effective )) de l’´echelon de cotation est principalement li´ee au degr´e de liquidit´e de
sugg´erant ainsi que la taille de l’´echelon de cotation (tick ), diff´erente selon les contrats, peut ˆetre un facteur d´eterminant pour l’existence d’une rose des vents. Par contre, ils d´emontrent que la pr´esence du ph´enom`ene n’est pas effective sur certaines cat´egories de contrats. Par exemple, la structure est totalement absente pour les titres de l’industrie et les contrats mon´etaires, et dominante sur les contrats sur les m´etaux et l’´energie. Ces r´esultats sugg`erent l’existence d’une relation entre les cat´egories sectorielles et l’appa- rition d’une rose des vents. En revanche, pour Szpiro (1998), ce ph´enom`ene apparaˆıt sur tous les titres individuels et aussi sur certains portefeuilles de plus de deux actifs. Sa forme cache en fait une structure plus complexe (nano-structure). Pour lui, seul le changement discret de prix est une condition n´ecessaire et suffisante `a l’apparition d’une rose des vents. Bien que la discr´etisation des prix soit avanc´ee comme ´etant la condition d´eterminante pour l’apparition du ph´enom`ene, des ´etudes r´ecentes (voir par exemple Gleason et alii, 2000) montrent que la volatilit´e des rendements est aussi un facteur essentiel. Plus particuli`erement, le rapport entre la taille de l’´echelon de cotation et la volatilit´e des rendements doit ˆetre au-dessus d’un certain seuil afin qu’une structure de rose des vents puisse apparaˆıtre. Les r´esultats de l’´etude men´ee par Gleason et alii (2000) montrent que pour un ´ecart-type de 0,02%, le seuil du ratio taille de l’´echelon de cotation sur volatilit´e est tr`es petit. Une structure nette apparaˆıt lorsque le ratio est de 1/50. Avec un ´ecart-type de 0,6%, le seuil est de 1/4. Ceci car la volatilit´e des donn´ees intra- journali`eres est plus faible que celle calcul´ee sur des donn´ees journali`eres. Les r´esultats de leurs simulations expliquent pourquoi une rose des vents apparaˆıt sur des s´eries intra- journali`eres et rarement sur celles journali`eres. Ils montrent donc que le ratio taille de l’´echelon de cotation sur la volatilit´e est d´eterminant pour l’apparition du ph´enom`ene. Wang et alii (2000) illustrent l’effet de l’´echelle sur la pr´esence d’une rose des vents. Pour eux, la probabilit´e d’apparition du ph´enom`ene augmente avec l’´echelle : plus la fr´equence d’observation est haute et plus l’existence d’une telle structure est probable.
Nous pouvons donc distinguer deux cat´egories d’effets : un effet(( discr´etisation )) qui est caus´e par la pr´esence d’un pas d’´echelon de cotation important (Crack et Ledoit, 1996 ;
Lee et alii, 1999 et Szpiro, 1998) et un effet(( corr´elation )) qui provient de la d´ependance temporelle qui augmente la probabilit´e d’apparition du ph´enom`ene de rose des vents (Gleason et alii, 2000 et Wang et alii, 2000).