Activité préparatoire
Déterminez un développement décimal du rationnel (une correction est proposée à la fin de ce cours) Préliminaires
151 C’est-à-dire d’un problème qui n’est pas l’expression, dans le domaine didactique, de problèmes venus de contraintes institutionnelles extérieures à l’institution didactique.
152 D’après Nicolas Bourbaki : nous avons pour l’occasion ajouté l’activité préparatoire et les exercices, l’ensemble fait ainsi un cours abordable sans autre introduction. N. BOURBAKI (1960), Eléments de mathématiques. Hermann. (Fascicule III, Livre III, Chapitre 4, pp. 182-186 de la troisième édition).
Définition 1
Étant donné un nombre réel 0, on dit qu’un nombre réel r est valeur approchée à près d’un nombre réel x, si ≤ ; r est dit valeur approchée par défaut si r ≤ x, par excès si r ≥ x.
Définition 2
A est partout dense dans IR ssi x étant un réel, pour tout
>il existe r dans A tel que r soit valeur approchée de x à près.
Propriété
Étant donnés un réel x et une suite décroissante d’, de limite 0, (n) , soit (rn) une suite correspondante d’éléments r de A, on a : (rn) —> x.
Conséquence
(n) étant dans A, et A étant un sous-groupe additif de IR, à tout x de IR , (n) étant donnée, on peut associer une suite de valeurs approchées par défaut (rn) (de limite x).
En effet, I
R est Archimédien, donc l’ensemble des pn entiers tels que pnn ≤ x est un sous-ensemble de A possédant un plus grand élément, et il existe un entier pn et un seul tel que :
(1) pnn ≤ x < (pn + 1)n , soit 0 ≤ < n. Donc,
pnn est une valeur approchée par défaut de x, à n près : une valeur rn cherchée ; r’n = (pn+1)n est une valeur approchée par excès ; les deux suites (rn) et (r’n) ont pour limite x.
Développements des nombres réels, relatifs à une suite de base
On se borne maintenant au cas où n = ,
(dn) étant une suite strictement croissante d’entiers
tels que d0 = 1 et que pour n≥1, dn soit un multiple de dn-1 : on pose alors andn-1 = dn, où an est un entier supérieur à 1.
Dans ce cas, (rn) est croissante :
En effet, rn = pnn = et pn est le plus grand entier tel que pnn = ≤ x, donc pn ≤ xdn < pn + 1.
On a : rn = pnn = = = ≤ x … et x < r’n = (pn+1)n
= = ;
par suite : rn = ≤ x < ;
soit : an+1pn ≤ xdn+1 < an+1pn+an+1
et par définition de pn+1, le plus grand entier inférieur à xdn+1,
(2) an+1pn ≤ pn+1 ≤ xdn+1 < an+1pn+an+1 . On pose alors :
(3) pn+1 = an+1pn + un+1,
et on tire de (2) : 0 ≤ un+1 < an+1, avec un+1 entier ; on en tire, rn+1 = = .pn + soit, à partir de (3):
rn+1 = rn + = p0 +
et comme x est la limite de rn pour n—>∞, on obtient : (4) x = p0 +
La série qui figure au second membre de (4) et dont x est la somme, est appelée :
« le développement du réel x, relatif à la suite de base (dn) ».
Les coefficients un sont tous positifs ou nuls et p0 est par définition le plus grand entier p tel que p ≤ x, on l’appelle partie entière de x et on le note [x]
Réciproquement
Donnons-nous un entier q0 et une suite (vn) (n≥1) d’entiers tels que 0 ≤ vn ≤ an-1, il existe un nombre réel x, unique, dont le développement soit tel que p0 = q0 et un = vn quel que soit n.
Nous ne ferons pas cette démonstration ici.
Exercice : Étude du cas de la suite dn = n+1!
1) Est-ce une suite de base ?
2) Déterminer le développement factoriel de .
3) Donner une technique pour obtenir le développement factoriel d’un rationnel quelconque, tester cette technique pour puis pour la somme +
Correction de l’activité initiale
= 10+ = 10+ = 10+ = 10+ 1 + ce qui s’obtient aisément.
On répète à partir de = . = . ( 9 + ), etc.
La technique standard en est naturellement bien connue :
1 1, 9 3 …
0 5 7 - 2 9 = 0 2 8 2 8 0 - 2 6 1 = 0 1 9
etc.
La solution de l’exercice terminal est donnée plus loin.
Le cours de Nicolas Bourbaki ne comporte pas les calculs de développements de nombres rationnels qui sont le support de cette démonstration didactique : il montre simplement l’existence d’un développement, sans chercher à en calculer effectivement aucun.
Mais un texte d’enseignement définit aussitôt une topogenèse, et à cet effet il donne, avec « le cours », l’espace d’une action possible pour un élève : ce que nous proposons avec l’activité préparatoire et les exercices d’application immédiate du cours. Bien sûr, ce n'est pas la topogenèse que propose Nicolas Bourbaki, dont les enjeux didactiques relatifs à la notion de « développement relatif à une suite de base » ne sont pas ceux que notre cours propose.
A n a l y s e a p r i o r i d u f o n c t i o n n e m e n t d u c o u r s p r o p o s é
C’est lorsque l’on cherche à assurer la gestion didactique de l’activité de l’élève que le problème de la création didactique de l'ignorance se pose, puisqu’il s’agit alors d’observer (ou d'organiser) la formation du rapport institutionnel d’élève à l’objet de savoir enseigné, et le travail nouveau d’un rapport ancien que la formation de ce rapport institutionnel rend nécessaire. C’est pourquoi nous traitons bien encore, dans ce cas particulier, du problème posé en introduction à cette Deuxième Partie. Dans ce but, nous recherchons :
1 — quels sont les objets O2, et O1 - nous pouvons éliminer les solutions triviales en recherchant un couple (O1, O2) dont la relation trophique n’est pas explicitement gérée par le cours ; en particulier, nous montrons comment le fait que O1 outille le travail de O2 implique que le rapport institutionnel à O1 change ;
2 — comment le cours fait vivre à l’enseigné la nécessité de reprendre le rapport institutionnel à la technique de la division entière, support de la technique connue de la division décimale et de la technique sans doute nouvelle de la division complexe.
Première question
O2 est « le développement des réels dans une suite de base », O1 est « la technique de la division », entière ou décimale. Ce dernier objet, auquel le rapport institutionnel était stable (nous avons pu sans autre forme de procès décider que le champ de l’écriture décimale d’un rationnel, et dans ce champ la division entière ou décimale, étaient connue de tous), est un objet pertinent pour l'exercice terminal, alors qu'il n’est pas nommé explicitement dans l’activité préparatoire, et qu'il n’est pas nécessairement cité dans la correction de cet exercice parce qu’il y figure
« naturellement » : on fait la division sans qu'il soit besoin d'en parler. Or la technique ancienne de la division a dû, nécessairement, être travaillée pour que la technique nouvelle se mette en place ; elle devra l’être pour que soit assurée la réussite aux autres exercices de calcul de développements de rationnels dans une suite de base quelconque, si cela n’avait pas encore été fait au moment de la correction du premier exercice. La nécessité didactique où nous sommes, de rendre visible le travail nécessaire, nous a d'ailleurs amené à disposer les divisions que nous avons effectuées de manière non standard, en posant les soustractions, et même les multiplications par le terme de la suite de base153.
C'est ainsi par le corrigé de l'exercice terminal que l'enseignant de notre cours montre l'objet dont le rapport doit être travaillé (la division) et sur quoi doit porter le travail (l'intervention des éléments de la suite de base).
La mise en place de la technique de la division complexe (ou de toute autre technique de production de développements de réels) n'est pas, en ce point de son exposé, un des enjeux du travail de Nicolas Bourbaki, et il se garde bien de tout exercice de calcul d'un développement. Lui, montre d'abord qu'un nombre rationnel est caractérisé par son développement propre, puis « qu'à toute suite s dont le premier terme est un entier quelconque, et dont le terme vn (n≥1) est tel que 0 ≤ vn ≤ an - 1, correspond154 un nombre réel égal à q0 + ; si In désigne l'intervalle [0,an-1] de IN, on définit ainsi une applicationde E = Z sur la droite numérique IR ; en outre l'équation (s) = x, où x IR, est donné, a une solution si x n'est pas une fraction de dénominateur dn (pour un n convenable) et deux solutions dont une est impropre dans le cas contraire. » …avant d'engager un travail sur ces développements et de démontrer, en considérant les développements dyadiques des nombres compris entre 0 et 1, le théorème de Cantor :
L'ensemble des nombres réels est équipotent à l'ensemble des parties d'un ensemble infini dénombrable, dont le corollaire
153 Sur la question du travail de la sémioticité d'une écriture et des relations de la sémioticité à l'instrumentalité, on se réfère ici à Marianna Bosch. BOSCH i CASABÒ M. (1991) El semiòtic i l'instrumental en el tractament clàssic de les situacions de proporcionalitat. Treball de Recerca, Departament de matematiques, Universitat Autonòma de Barcelona.
154 d0 = 1 et (dn) est la suite de base, telle que an entier, an>1 et an = pour n ≥ 1.
immédiat est que IR a une puissance strictement supérieure à celle d'un ensemble dénombrable.
Les exercices de ce paragraphe vont de la démonstration de ce que, « étant donnée une suite (n) strictement décroissante de nombres finis >0 tendant vers 0 ; afin que, pour tout x IR, la suite (rn(x)) (la suite des multiples rn(x) de n, qui sont valeur approchée de x à n près par défaut) soit croissante, il faut et il suffit que pour tout n, n soit multiple entier de n+1 », ou la démonstration de « la rationalité d'un nombre réel équivaut à la périodicité de son développement de base a » (exercice 1) à la démonstration de ce que « l'ensemble des fonctions numériques continues dans E (un espace topologique contenant une partie dénombrable partout dense) a la puissance du continu » (exercice 17) en passant pas celle-ci : « Pour tout nombre réel x ]0,1], il existe une suite infinie croissante et une seule (qn) formée d'entiers >0,
telle que x = . Pour que x soit rationnel, il suffit que qn+1 = qn à partir d'un certain rang. » (exercice 5).
Les problèmes techniques posés ne sont pas de l'ordre du calcul numérique immédiat, et le type de résultats que l'on cherche est de l'ordre des savoirs fondamentaux, non de l'ordre des savoirs opératoires. C'est encore la suite du cours, mais surtout la suite des exercices, qui montre le domaine où le rapport à l'objet enseigné (les développements dans une suite de base) doit produire des résultats. Ici, les savoirs enseignés ne sont plus opératoires, mais fondamentaux, et les résultats ne sont plus les développements de réels ou de rationnels particuliers mais des théorèmes sur les ensembles de réels et en général la topologie des ensembles qui ont la puissance du continu (en particulier l'étude de l'ensemble triadique de Cantor et des théorèmes qui se fondent sur ses propriétés, menée dans les exercices 9 à 17).
Deuxième question
Le cours que nous proposons, pour sa part, fait vivre à des élèves155, dans l’espace et le temps limités qui vont de l’activité introductive à l’exercice final (deux heures au moins, dont une est consacrée à l'exposé magistral), la difficulté de l’utilisation de la division euclidienne et de la technique de la division entière ou décimale - savoirs théorique et technique pourtant disponibles en principe - dans une action de fabrication de développements factoriels, qu’ils devraient outiller « naturellement ». L'aspect
« naturel » de l'intervention d'un outil dont les élèves du cours n'imaginent pas, en
155 Nous l'avons proposé à titre expérimental dans une assemblée d'une vingtaine de mathématiciens, composée pour moitié d'enseignants de mathématiques de lycée et d'enseignants universitaires. Deux
« élèves » seulement n'ont pas été embarrassées lors de l'exercice terminal et ont pensé que la technique efficace de production de la suite des fractions de base du développement était la division : l'une, parce qu'elle avait anticipé la suite de base factorielle, et qu'elle avait enseigné récemment l’algorithme de la division euclidienne - qu'elle avait reconnu dans l'écriture du développement en série -, l'autre, parce qu'elle avait écouté distraitement et s'était contentée de penser que, puisqu'au début on trouvait un exercice dont la solution technique était une division, il en était de même à la fin, à la base près.
général, la pertinence, sera créé par la manière dont l'enseignant va corriger l'exercice (il va en effet mettre en œuvre l'outil en montrant l'usage qu'il en fait, sans tenir aucun discours à son sujet. Le travail de la sémioticité qu'il réalise à cette occasion fonctionne comme la démonstration de l'emploi ordinaire d'un appareil technique : il se passe de commentaire. La division restera à l'issue de la correction, tout comme la « division complexe », un objet préconstruit.
L’outil technique achevé (la « division des nombres complexes »), dont nous avons démontré le fonctionnement, avait, dans l’ancien cursus de l’Enseignement Primaire, un usage traditionnel et un nom. On l’utilisait pour les problèmes de partage du temps, car on appelait « nombres complexes » les mesures d’une grandeur dans une suite d’unités de compte non décimale. Ces « nombres » de l’enseignement primaire supérieur qui a disparu à la fin des années soixante sont en effet des « nombres concrets » (qui rendent compte d’une mesure) correspondant à des mesures dans un système de numération où la « suite de base » - selon la dénomination de Nicolas Bourbaki - n’est pas constante : les systèmes d’unités de ce type ont disparu depuis longtemps en France (légalement, depuis plus d’un siècle), les problèmes ont suivi, les nombres complexes et leurs divisions aussi (définitivement semble-t-il avec le Certificat d’Études …et la « réforme des mathématiques modernes »).
Imaginer ici l’intervention nécessaire de la technique de la division entière comme le moyen de résoudre avec une grande fiabilité la suite des divisions euclidiennes rencontrées est une opération difficile pour qui ne reconnaît pas immédiatement l'algorithme de la division dans l'écriture de la série, sauf à suivre à la lettre ce que l’on peut comprendre en se fondant sur le contrat didactique passé en début de séance et à chercher immédiatement « la suite des divisions à faire » : ce sont les deux moyens auxquels les deux élèves expérimentaux qui ont donné sans peine une solution ont, au cours d'un entretien ultérieur, dit qu'ils avaient fait appel. Faute de l’outil technique pertinent, il faut en effet un temps non négligeable pour acquérir la certitude de ce qu’il y a à faire : la pertinence maintenue, « à un aménagement près », de la technique de la division et par exemple de la disposition des calculs ; la régulation de la juste sémioticité des écritures (les calculs qu'il faut écrire et ceux qui peuvent être faits de tête, l'endroit où ils doivent être écrits, etc.) n’est pas donnée avec le problème.
Enfin, l’aménagement de la technique est, pour la plupart des personnes qui peuvent rencontrer un tel problème, délicat ; il faut plus de temps encore pour s’assurer d’une technique opératoire économique et fiable (la division des nombres complexes, n’est pas un acquis dont il suffirait de « reconnaître » la pertinence). Il n’est pas possible, semble-t-il, de donner une technique de résolution des exercices en faisant l’économie du travail de reprise de l’ancien rapport : sauf à se fonder sur le contrat didactique c'est-à-dire, sauf à agir sans se poser de questions mathématiques et à éviter de s'affronter à l'ignorance que crée la situation, le rapport personnel à la division de tous ceux qui ne disposent pas d'avance d'un rapport idoine doit, impérativement, changer pour devenir idoine au rapport institutionnel établi dans la nouvelle situation,
où ce rapport institutionnel à la division s'est enrichi d'une technique peu commune.
Cela nécessiterait, dans un enseignement effectif, que le premier exercice que nous avons donné soit suivi d'un nombre respectable d'exercices du même type. Jusqu'au point où, par exemple, une autre technique de production de développements de nombres réels pourrait venir proposer ses services, parce que l'on cherche à sortir du domaine d'emploi de la technique de la division : par exemple, une technique d'extraction de racines carrées. Ou encore, jusqu'au point où l'on retrouverait des questions théoriques, parce que l'on chercherait à démontrer que les développements de rationnels dans la suite de base factorielle sont limités156, ou que les réels non rationnels, ainsi que les rationnels dont le dénominateur n'est pas un diviseur de l'un des dn, ont un développement unique.
Correction de l’exercice terminal
1) Oui : dn est une suite croissante d’entiers.
2) = p0 + + ( - ) = 0 + + ( - - ) = 0 + + + ( - )
= 0 + + + + ( - - ) etc.
3) C’est la « division des nombres complexes », que l’on avait oubliée avec le Certificat d’Études Primaires :
0 , 0 2 3 1 7 x 2 = 1 4
1 4 - 0 x 1 5 = 1 4 1 4 x 3 = 4 2
4 2 - 2 x 1 5 = 1 2 1 2 x 4 = 4 8
4 8 - 3 x 1 5 = 3 3 x 5 = 1 5
1 5 - 1 x 1 5 = 0 de même, = 0,022
156 Ce que N. Bourbaki. démontre « en passant », dans une note. N. BOURBAKI, op. cit. page 185.
alors, + = + = = 0,1211
(et 0,1211 = 0,0231 + 0,022 …nous ne sommes pas dans une suite de base décimale).
C o n c l u s i o n
On ne peut donc assurer a priori l’existence, pour un « mathématicien » actuel, d’un rapport idoine « à la division qui outille le calcul de développements de réels dans une suite de base, dans le cas particulier du développement des rationnels », mais on connaît maintenant un procédé pour, si cela était nécessaire, en produire l'évolution sans que cela n'impose un cours explicite sur l'algorithme d'Euclide. Alors même que la possibilité de gérer l’émergence d’un tel rapport tout en maintenant l'algorithme de la division dans le domaine des objets préconstruits aurait semblé a priori hors du domaine des réalisations institutionnellement possibles.
Une tradition bien établie d’enseignement de la notion de développement d'un nombre réel, à un moment donné et stable du cursus, pourrait nous assurer de l’existence d’une suite traditionnelle d’exercices gradués dont l’effet serait celui-là même que décrit la théorie des situations : première rencontre du problème et création d’un rapport en situation d’action ; travail des solutions apparues pour le réinvestissement dans une série de problèmes dont les différentes variantes font apparaître la nécessité d’une réflexion sur le savoir-faire premier ; mise en place d’une technique d’attaque de la classe de problèmes ainsi repérée et validation de cette technique dans le cadre d’un problème de synthèse où les variantes techniques sont étudiées ensemble et démontrées comme produits possibles de la théorie mathématique ; enfin, réemploi de la technique dans un cadre nouveau, afin d’assurer le travail de l’objectivation du rapport personnel au savoir ainsi construit.
Faute de cela, le tout est laissé aux aléas de l'enseignement de ce cours et de l’étude que feront alors les élèves - ou qu'ils ne feront pas. A moins que la rencontre du problème ne se fasse à l'occasion de l'étude d'un des exercices que pose Nicolas Bourbaki, et que le temps de travail qui va prendre place alors n'apparaisse que comme un épiphénomène : « l'exercice n'était pas vraiment difficile, mais il était atypique, et j'ai longuement cherché à côté » pensera-t-on. L'existence d'une relation autodidactique sur ce point n'aura sans doute pas été ressentie… jusqu'à ce que la recherche d'épisodes didactiques typiques ne rappelle l'incident à la mémoire.
I n d e x d e s n o t i o n s u t i l i s é e s d a n s l a d e u x i è m e p a r t i e
Les termes apparaissant en note sont indexés “nY”. Les numéros de page “Z” renvoient au texte. Un terme apparaissant plusieurs fois dans une page n’est cité qu’une fois. Une définition de la notion est donnée à la page ou dans la note indiquée par des caractères gras.
Adéquat, n124.
Adéquation (jugement d’), pages 103, 108.
Adidactique, n113, n121, n129, n131, pages 82, 84, 106, 107, 108, 110, 112, 115, 124.
Apprendre, n105, n106, n107, n115, pages 75, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 93, 97, 102, 109, 120.
Apprentissage (sur le tas), pages 114, 118, 121, 122.
Apprentissage (de l’élève), n121, n123, n124, n131, pages 70, 72, 73, 78, 84, 86, 94, 96, 97, 98, 109, 120, 124.
Assujettissement (institutionnel), n98, n131, pages 68, 72, 105.
Biographie didactique, pages 70, 71, 72, 74, 79, 101, 106, 124, 126.
Connaissance, n106, n107, pages 82, 85, 101, 120, 121, 122, 127.
Contextualisation fondamentale
Contrat didactique, n101, pages 72, 84, 93, 97, 99, 100, 104, 114, 115, 116, 127, 134.
Didactique des mathématiques (la), n114, page 72.
Didactique (le), n103, n151, pages 68, 75, 76, 78, 79.
Dispositif (didactique), pages 71, 72, 74, 75, 82, 85, 121.
Dispositif (technique)
Enseignant (lieu), n122, n143, pages 71, 73, 79, 81, 90, 99, 103, 104, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 132, 133.
Enseigner, pages 75, 108.
Enseigné (lieu), n131, n143, pages 68, 71, 72, 73, 74, 77, 79, 81, 84, 85, 86, 89, 90, 100, 102, 104, 105, 108, 115, 116, 117, 118, 119, 126, 131.
Episode didactique, pages 82, 83, 85, 86, 88, 94, 95, 97, 101, 104, 106.
Forclos, pages 73, 104, 105.
Geste n89, n93, n101, n120, pages 73, 74, 80, 81, 93, 96, 97, 106, 108, 110, 111, 124.
Idoine, pages 73, 81, 83, 108, 110, 112, 134, 136.
Idonéité (jugement d’), n130.
Ignare
Ignorance, n105, n107, pages 68, 79, 80, 81, 82, 84, 96, 95, 104, 110, 112, 117, 123, 124, 126, 131, 134.
Ignorance institutionnelle, n105, pages 80, 84, 86, 110, 124.
Ignorance personnelle, page 124.
Ignorant, pages 79, 80, 85, 99, 100, 105, 126.
Ingénierie (didactique), n103, page 126.
Injonction didactique, n108, n130, pages 75, 81, 93, 97, 101, 108, 110, 112, 123.
Injonction instrumentale, n102, page 108.
Institutionnalisation, page 77.
Instrumental (et instrumentalité), n101, n108, pages 70, 75, 76, 77, 81, 82, 93, 108.
Intention d’apprendre, pages 75, 80.
Intention d’enseigner, page 80.
Lieu (institutionnel), pages 68, 71, 73, 80, 90, 104, 110, 119.
Maternage, page 76.
Milieu, n117, n121, n131, n151, page 80, 104, 108, 126.
Objet de savoir, n95, n110, n125, pages 73, 92, 93, 109, 117, 126, 131.
Objet (institutionnel), n121, pages 73, 83, 84, 97, 109.
Objet (didactiquement) forclos, pages 73, 104, 105.
Objet (institutionnellement) latent, pages 73, 105.
Objet manquant, page 73, 108, 118.
Objet paramathématique, n93, n119.
Objet pertinent, pages 73, 74, 84, 85, 96, 100, 101, 102, 111, 121, 131, 134.
Objet (institutionnellement) présent, pages 73, 74, 84, 85, 104, 114.
Objet protomathématique, n93, n119.
Objet (didactiquement) sensible, n122, n125, pages 73, 74, 84, 85, 97, 99, 101, 104, 105, 126.
Objet technique, page 122.
Personne (et personnel), n98, n105, n110, n122, n124, n130, n131, pages 68, 69, 70, ,71, 72, 74, 76, 79, 80, 84, 85, 88, 101, 103, 104, 107, 108, 114, 115, 116, 120, 124, 126, 127, 134, 136.
Préconstruit (objet de savoir), n119, n122, n144, pages 94, 106, 113, 114, 115, 118, 120, 121, 122, 123, 134, 136.
Rapport de connaissance, pages 71,127.
Rapport institutionnel, n95, 131, 134, pages 71, 73, 83, 84, 88, 92, 99, 100, 102, 103, 104, 107, 108, 109, 111, 114, 121, 122, 123, 131, 134.
Rapport à un objet, pages 71, 73, 83, 107, 110.
Rapport à un objet de savoir
Rapport officiel, n95, n 124, pages 81, 83, 100, 111.
Rapport personnel (d’une personne, à un objet), n110, n124, n130, n131, pages 74, 75, 84, 88, 101, 103, 104, 107, 108, 114, 134, 136.
Relation didactique, n116, n134, pages 71, 76, 80, 85, 108, 109, 110, 121.
Relation trophique, n120, pages 83, 100, 131.
Savoir fondamental Savoir opératoire
Sémioticité, pages 107, 123, 134.
Situation didactique, pages 82, 84, 108.
Situation adidactique, pages 74, 106, 110, 112, 124.
Système didactique, n 131, pages 71, 72, 73, 74, 77, 79, 86, 88, 101, 109, 115, 118, 119, 121, 126.
Système d’enseignement, page 81.
Sujet didactique (ou sujet d’une institution didactique), pages 72, 85.
Technique, n121, n123, n124, n128, n133, n148, page 86, 89, 96, 97, 98, 101, 103, 106, 107, 109, 110, 111, 112, 118, 119, 122, 123, 124, 130, 131, 132, 134, 135, 136.
Temps didactique, n95, pages 68, 71, 72, 73, 74, 77, 79, 80, 98, 104, 115, 117, 118, 120.
Texte (du savoir), n91, n124, pages 68, 69, 70, 71, 72, 73, 80, 88, 110, 114, 116, 117, 118, 131.
Topogenèse, pages 73, 102, 116, 118, 119, 131.
Tout structuré, n88, n90, page 69.
Transposition didactique
T r o i s i è m e P a r t i e
L a c o n s t r u c t i o n d i d a c t i q u e d e l ’ é l è v e e t l a c l a s s e d e m a t h é m a t i q u e s
L e s r a p p o r t s d e s é l è v e s a u x o b j e t s i n s t i t u t i o n n e l s e t l e s m o d a l i t é s d e l e u r s r e n c o n t r e s d e l a n é c e s s i t é d e c h a n g e r l e u r
r a p p o r t à c e s o b j e t s
I n t r o d u c t i o n
Nous avons terminé la Deuxième Partie de notre étude en nous appuyant sur les exercices « d’application directe du cours » pour organiser la gestion didactique du rapport personnel des élèves à des objets de savoir qui n’étaient pas les enjeux officiels de l’enseignement. Nous avons montré, dans un cas particulier, que nous savions créer un épisode didactique apte à produire des effets biographiques sensibles. Mais nous
Nous avons terminé la Deuxième Partie de notre étude en nous appuyant sur les exercices « d’application directe du cours » pour organiser la gestion didactique du rapport personnel des élèves à des objets de savoir qui n’étaient pas les enjeux officiels de l’enseignement. Nous avons montré, dans un cas particulier, que nous savions créer un épisode didactique apte à produire des effets biographiques sensibles. Mais nous