Le profil de paramètres géométriques est une donnée importante sur laquelle repose la préci- sion des modèles. Les paramètres géométriques retenus dans ce projet ne sont certainement pas les plus exhaustifs que l’on pourrait imaginer ; on pourrait élargir ceux-ci en tenant compte par exemple du gradient d’expansion du volume des OARs (vessie, rectum). En effet, en curiethérapie, les volumes contourés des OARs (vessie, rectum) ne chevauchent pas avec la prostate, mais la mesure de la vitesse avec laquelle un chevauchement aurait lieu (gradient de chevauchement) si une expansion homogène autour de la vessie et le rectum était réalisée pourrait avoir un impact sur la précision des modèles. D’autre part, la distance de Hausdorff prise en compte dans le registre des paramètres géométriques dans cette étude est la distance maximale ; on pourrait tester l’impact sur les modèles avec la distance minimale, ou moyenne. 2.7.2 Ordre des paramètres géométrique
L’impact de chaque paramètre géométrique du modèle à 𝑛 paramètres par rapport au modèle à 𝑛 − 1 paramètres a été évalué par le biais du calcul de la p-value, mais dans un ordre bien déterminé (voir la section 2.5.3). Une étude sur les différentes permutations possibles en gardant le volume du CTV comme modèle de base, pourrait révéler des informations exploi- tables dans le sens de l’amélioration des modèles. Cependant, une telle étude va nécessiter une puissance de calcul, car pour le modèle de CTV à 8 paramètres géométriques, cela re- présente 5040 frontières à optimiser, le modèle de base restant fixe (volume du CTV). En ce qui concerne le coût en temps de calcul, l’optimisation du modèle du CTV à 8 paramètres géométriques a nécessité environ 12 minutes sur un ordinateur portable doté d’un processeur
Intel Core i7 bicœur - 2,3 GHz/8 GB de mémoire vive. Le modèle optimisé pour la couverture du CTV en tenant compte de la permutation des différents paramètres géométriques repré- sentera donc un temps de calcul minimum de 42 jours avec les caractéristiques de l’ordinateur mentionné précédemment, en supposant que le temps de calcul restera le même pour chacune des permutations.
2.7.3 Hypothèse de normalité et hétéroscédasticité
•
Hypothèse de normalitéLes résultats présentés dans ce projet reposent sur plusieurs hypothèses dont l’impact sur la précision des modèles mérite d’être évalué. En effet, les modèles sont construits sur l’hypothèse de normalité sur la composante de la variable aléatoire 𝜖 qui mesure l’ef- ficience technique, c’est-à-dire, 𝑢 est distribuée selon une loi normale tronquée positive, 𝑁+(0, 𝜎2
𝑢). Bien que cette hypothèse soit largement la plus utilisée dans la littérature, il
convient de souligner que d’autres distributions pourraient être testées afin d’évaluer la précision des modèles avec le choix de la distribution de 𝑢, exemple d’une distribution normale tronquée positive de mode 𝜇 [97], une distribution Gamma [98] ou exponen- tielle [87,99].
•
HétéroscédasticitéL’analyse de la figure 2.6qui présente les modèles de régressions linéaires pour la cou- verture du CTV en fonction de son volume, ou la couverture du CTV en fonction du volume du rectum, laisse soupçonner la présence de l’effet d’hétéroscédasticité dans ces modèles par rapport aux variables explicatives, c’est-à-dire, le volume du CTV et du rectum. En effet, on observe que la dispersion des résidus ne semble pas constante avec ces deux variables. Les résultats du test de Breusch-Pagan (test de khi-deux avec un seuil de signification 𝛼 = 5%) réalisé sur ces données sont résumés dans le tableau 2.9
pour les deux variables explicatives. La colonne deux présente la p-value pour le test d’hétéroscédasticité, alors que la troisième colonne présente la p-value pour le test de la constance de la variance.
Tableau 2.9 – Valeurs de la p-value sur le test d’hétéroscédasticité et celui de la constance de la variance des modèles de régression présentés à la figure2.6,
c’est-à-dire, la couverture du volume du CTV (V100) en fonction de son volume, ou celui du rectum. L’évidence de l’absence d’hétéroscédasticité dans les données est plus importante pour le volume du CTV que pour celui du rectum.
Paramètres géométriques Test d’hétéroscédasticité Test de variance
Volume du CTV 0,6525 0,6092
Les résultats dans le tableau 2.9ci-dessus ne corroborent pas la présomption de l’hété- roscédasticité dans les données et vont donc en faveur du rejet de l’hypothèse alternative (H𝑎), au profit de l’hypothèse nulle (H0), avec H0 : les résidus sont homoscédastiques (variance constante) et H𝑎: les résidus sont hétéroscédastiques (variance non constante).
Ces résultats suggèrent donc que la présence de l’hétéroscédasticité sur les modèles de FS présentés à la figure 2.7 par rapport au terme d’erreur symétrique (𝑣𝑖) n’est pas statistiquement significative pour introduire des erreurs sur les estimateurs de ces der- niers. L’hétéroscédasticité apparante observée sur la figure 2.6et qui pourrait avoir un impact sur les modèles de FS présentés à la figure 2.7 pourrait cependant provenir du terme d’erreur assymétrique (𝑢𝑖).
La présence de l’hétéroscédasticité sur les modèles globaux n’a pas été examinée ; une telle étude pourrait révéler un biais introduit dans l’estimation des paramètres des mo- dèles globaux présentés à la figure2.10puisqu’une des hypothèses de l’AFS repose aussi sur l’homoscédasticité sur l’erreur asymétrique (𝑢𝑖), c’est-à-dire, la variance des 𝑢𝑖, V(𝑢𝑖) = (1 − 2/𝜋) 𝜎2
𝑢. Les études Monte-Carlo présentées dans la littéraure [100,101]
sur l’effet de l’hétéroscédasticité (termes d’erreurs symétrique et asymétrique) sur les paramètres du modèle de FS optimisés par la méthode du maximum de vraisemblance, démontrent clairement que la présence de l’hétéroscédasticité introduit un biais sur les estimateurs des paramètres du modèle, biais qui est d’autant plus important que le degré d’hétéroscédasticité est élevé.
Plusieurs méthodes sont présentées dans la littérature pour la correction d’hétéroscé- dasticité telles que la correction de White ou la méthode des moindres carrés pondérés, mais l’approche qui pourrait bien convenir dans notre contexte serait de procéder à un l’échantillonnage stratifié, c’est-à-dire, diviser l’échantillon en sous-populations homo- gènes, le critère d’homogénéité restera à définir ; mais ça pourrait introduire un biais lié à la taille des sous-populations.
2.7.4 Forme fonctionnelle de 𝑓(x𝑖; 𝛽)
Les modèles ont été construits en prenant la fonction de Cobb-Douglas comme forme analy- tique de 𝑓(x𝑖; 𝛽). Bien que ce soit la fonction la plus utilisée dans la littérature, le caractère adéquat de ce choix pour les applications en curiethérapie reste à investiguer. On pourrait tester la fonction Translog également utilisée en économie, ou toutes autres formes de fonc- tion telle que celle proposée par More et al. [102] pour prédire la dose minimale possible à atteindre pour les OARs lors des traitements ORL et la prostate en radiothérapie externe, ou celle proposée Marie-Chantal Gagné dans ses travaux [74]. Une telle investigation pourrait permettre de statuer sur la forme fonctionnelle adaptée pour les applications en curiethérapie.
2.7.5 Validation clinique
Les modèles finaux après un éventuel réajustement au niveau des paramètres géométriques, se doivent d’être validés cliniquement. Cette validation peut se faire de deux façons : (1) replanifier les plans de l’échantillon test qui ont été identifiés comme améliorables (section
2.6), ou (2) confronter les modèles lors de la planification des nouveaux patients. Quel que soit le cas de figure, une analyse doit être faite afin d’évaluer le degré par lequel les valeurs prédites par les modèles sont atteintes ou approchées, et procéder à des ajustements au besoin.
Chapitre 3
A stochastic frontier analysis for
enhanced treatment quality of
high-dose-rate brachytherapy plans
3.1
Résumé
L’objectif du présent travail est de développer des modèles de contrôle de qualité non biaisés en curiethérapie haute débit de dose (HDR) sur la base des paramètres géométriques spé- cifiques à chaque patient, en utilisant le formalisme de l’analyse de frontière stochastique, une méthode de modélisation utilisée en économie. Les modèles servent comme un outil de contrôle de qualité en prédisant à l’avance (au début du processus de planification du trai- tement) la dosimétrie finale qu’il est possible de réaliser pour un plan en curiethérapie de la prostate HDR. Les paramètres géométriques considérés dans le processus de modélisation sont les volumes des structures contouré telles que : le volume cible clinique (CTV), le volume des OARs, la distance de Hausdorff entre le CTV et les OARs, ainsi qu’un quatrième paramètre mesurant le degré de non-parallélisme des cathéters dans le volume cible. Les paramètres dosimétriques ayant fait l’objet de la modélisation sont : V100 pour le CTV, V75 (vessie, rectum) et D 10 (urètre). Les résultats globaux montrent que les modèles construits peuvent fournir des informations fiables sur la personnalisation du processus d’optimisation des plans en fonction des paramètres géométriques de chaque patient. L’impact sur la qualité du plan dû au jugement et l’expérience du planificateur peut être réduit en utilisant ces modèles, puisque le planificateur essaiera d’atteindre les paramètres dosimétriques prédits par ces der- niers. En outre, les modèles fournissent des informations sur le meilleur compromis qu’il est possible d’atteindre entre la couverture du CTV et la limitation de la dose aux OARs, indé- pendamment de l’expérience du planificateur ; ce dernier étant obtenu en déplaçant chaque plan sur ou au voisinage des différentes frontières, V100, V75 et D10. L’écart des valeurs des paramètres dosimétriques calculés par le système de planification de traitement (TPS) par
rapport à celles prédites par les modèles pour une proportion de plans dans l’échantillon de données, révèle que les plans optimisés à partir d’un TPS, même s’ils sont cliniquement ac- ceptables, ne sont pas nécessairement les plus optimaux qu’il soit possible d’obtenir. Ceux-ci représentent 83% des plans dans l’échantillon sur laquelle les modèles sont construits pour la couverture du CTV (V100), ~50% pour la vessie (V75) et ~72% pour l’urètre (D10).
Mots-clés : Analyse de frontière stochastique, curiethérapie, paramètres géométriques, contrôle
de qualité.