Développement théorique

La poutre curviligne est supposée être relativement mince avec une aire de section constante avec une charge répartie appliquée de façon normale à la poutre. Sur la poutre, à partir de la poutre à droite de la Figure 3-3, deux modèles de poutre courbées peuvent être développés pour l'évaluation de la contrainte maximale à l’extrémité de la poutre au niveau du bord de fuite.

Le premier modèle est une poutre courbée de rayon R qui est rigidement fixée aux deux extrémités comme indiqué. Dans ce cas, il est supposé que les moments de flexion sont égaux aux deux extrémités (MA = MB).

Le deuxième modèle est similaire au premier, mais il est supposé que le moment de flexion au point B est égale à la moitié du moment de flexion au point A (MA = 2MB). Il fut suggéré par Saeed également pour modéliser la différence en valeur des moments sur les jonctions couronne pale et ceinture-pale. En pratique, l’hypothèse du premier modèle est suffisante.

3.5.1.1 Étude des forces internes

La force interne, le moment de flexion et de la force axiale sont développés dans une poutre sous charge. Lorsque le moment de flexion est superposé sur la poutre courbée, les contraintes longitudinales sont directement mises en place, et d'autres contraintes longitudinales sont induites par les forces axiales. La contrainte maximale est ainsi calculée à partir de la combinaison des trois chargements. La poutre est considérée comme mince si son épaisseur est faible par rapport au rayon de courbure.

Les réactions aux points A et B sont décomposées en composantes verticales et horizontales. Vu que la charge externe w est répartie uniformément selon la normale le long de l'arc de cercle (AB), les réactions horizontales et verticales aux points A et B sont égales.

Le moment de flexion est déterminé par la méthode de la section (voir Figure 3-16b). En tout point P, la force de cisaillement F est normale à l'axe et la force axiale T est tangentielle à l'axe. Considérant l'équilibre de la poutre courbée AP, le moment de flexion est donnée sur toute la poutre par l'équation suivante :

(3-5)

Avec :

 : le moment de flexion sur une poutre horizontale non encastrée supportant les mêmes charges;

 , : les moments aux extrémités A et B ;  H : la réaction horizontale ;

 X : l’abscisse du point de calcul du moment de flexion ;  L : longueur de la poutre.

On considère un élément de longueur effectuant une rotation d’un angle : si le point A est fixé, le point B effectuera un déplacement au point B’ (voir Figure 3-17). Le calcul du déplacement est donné par :

;

et

Prenons en compte que

on trouve :

Avec E et I respectivement le module de Young et le moment d’inertie de la poutre

Figure 3-17 : Notation pour le calcul d’équilibre de la poutre courbe

À partir des équations précédentes et l’équation (3-5), on calcule les inconnues MA, MB et H en supposant les hypothèses suivantes :

 Le total des changements sur toute la longueur de l'arc est nul lorsque les extrémités sont solidement fixées.

(3-6)

 Si A et B sont fixes

(3-7)

 Si A et B demeurent au même niveau

(3-8)

Les équations (3-6 à 3-8) sont suffisantes pour déterminer les trois inconnues MA, MB et H. En cas de chargement symétrique (MA=MB), l’équation (3-8) devient non nécessaire. Dans le cas de ce premier modèle, (3-6) et (3-7) deviennent :

(3-9)

(3-10)

Où on suppose que le module de Young E et le moment d’inertie I sont constants. Les réactions au point A sont les suivantes :

(3-11)

où les paramètres α et β sont des coefficients de réactions en fonctions des rapports de la flèche f par rapport à la longueur L de la poutre (voir Figure 3-18)

En substituant l’équation (3-11) dans l’équation (3-5), et pour on trouve le moment de flexion:

(3-12) Pour le deuxième modèle, et le moment de flexion est donné par :

(3-13)

où est la courbure de la poutre au point A.

Figure 3-18 : coefficient de réaction d’une poutre encastrée-encastrée27

On considère le cas ( ) pour calculer le moment de flexion au point A et B :  1er

modèle :

 2ème

modèle :

La force axiale interne est donnée par :

(3-14) Pour le calcul de la pression répartie, on suppose que le modèle de la roue de turbine tourne à une vitesse angulaire constante ω qui coïncide avec la direction du débit d'eau. La vitesse de l'eau V est la différence de la vitesse périphérique de l’eau v et la vitesse de la roue . La pression d'eau P est calculée à partir de l'équation de l'énergie entre la surface du réservoir libre, où la pression est atmosphérique, et la pression d'eau sur le modèle simplifié:

(3-15) Où ρ est la densité de l’eau et g l’accélération de la gravité.

La pression de l’eau sert à calculer le chargement réparti sur la pale de la roue pour tous les modes d’opération : (w=pb). Ce développement mathématique suppose que la pression est constante sur tout le bord de fuite.

3.5.1.2 Calcul des contraintes

Pour les deux modèles développés, la pale, assimilée à une poutre, est soumise à une combinaison d’un moment de flexion et d’une force axiale. La contrainte maximale est trouvée en superposant les charges :

Où : I est le moment d’inertie de la surface A et u la distance maximale par rapport à l’axe de cisaillement. Théoriquement, la contrainte maximale se situe au bout de la poutre courbée qui correspond à la zone de transition entre la pale et la couronne.