Développement d’un outil d’analyse supplémentaire : un modèle numérique cylindre

L’analyse expérimentale du contact cylindre dans cylindre effectuée auparavant ne permet pas pour des raisons techniques de déterminer certains paramètres importants comme la pression de contact, les contraintes internes au sein des pièces en contact, etc. Dans le but

Zones de concentration d’argent

de pouvoir estimer certains de ces paramètres mécaniques indéterminables expérimentalement un outil numérique, permettant une modélisation du contact cylindre dans cylindre, a été développé en adaptant un code de calcul déjà existant développé par Djamai au cours de sa thèse [DJAM 05]. Cette adaptation a nécessité une modification de la définition du profil de l’indenteur, la géométrie d’étude de la modélisation développée par Djamai étant un contact sphère / plan.

Remarque : Un code de calcul similaire a été développé lors des travaux de thèse de F. Doyen [DOYE 06], néanmoins ces travaux étant mis sous sceaux confidentiel il nous à été nécessaire de re-développer un code pour un contact cylindre-cylindre à partir des travaux de A. Djamai [DJAM 05].

3.1 Modèle initial

La modélisation numérique du contact cylindre dans cylindre présentée ici est issue de celle développée initialement par Djamai [DJAM 05]. A l’origine ce modèle 3D est une simulation numérique utilisant la méthode des éléments de frontière. Cette méthode est très utilisée dans la mécanique des milieux continus car elle nécessite uniquement une discrétisation de l’interface de contact. L’objectif est alors de résoudre la relation qui relie en chaque point la pression de contact et les déplacements. Le modèle est basé sur une formulation directe utilisant la méthode du gradient et s’appuie sur une transformation intégrale de type double transformée de Fourrier permettant la détermination du champ de pression pour un contact lisse ou rugueux dans un premier temps, puis étendu au cas des contraintes dans un revêtement ou dans le massif. Le contact étudié intervient entre un indenteur sphérique infiniment rigide et un revêtement d’épaisseur variable déposé sur une surface plane semi-infini.

A partir du profil des écarts entre les deux surfaces, une relation géométrique, liant le déplacement des points communs des deux surfaces en contact, est utilisée pour déterminer la pénétration δ de l’indenteur. Le calcul du champ de pression s’effectue est réitérant les étapes suivantes :

- fixer une pénétration δ de l’indenteur,

- calculer les déplacements et en déduire le champ de pression grâce à la matrice d’influence, - comparer la force résultante normale F

r

induite par la valeur du champ de pression à la r

3.2 Modification du modèle initial

Notre géométrie d’étude est relativement complexe avec un double contact : butée / butée et cylindre / cylindre, dans cette modélisation nous nous intéresserons à modéliser seulement le contact permanent, cylindre dans cylindre pour simplifier le problème. En partant du code de Djamai décrit auparavant, il est nécessaire d’effectuer une modification de l’indenteur et de définir une équation des écarts entre les surfaces propres au contact cylindre dans cylindre. Ce type de contact étant très étudié en lubrification fluide, nous nous sommes appuyés sur les relations existantes et notamment celles utilisées dans la méthode de développement du contact arbre / palier. Dans l’hypothèse d’un contact conforme c’est à dire où les rayons des cylindres sont suffisamment proches, avec un rapport

arbre arbre palier R R R ) ( − très petit, ce qui est notre cas, la relation définissant l’épaisseur du film fluide dans le cas des paliers développés peut être utilisée. Ainsi il est possible d’obtenir les écarts existants entre les deux cylindres en contact, c'est-à-dire l’épaisseur, h, du film lubrifiant entre les surfaces en contact, que le contact soit aligné [FREN 90] ou mésaligné [NICO 72] avec :

Pour un contact aligné, une épaisseur h ne dépendant que de la position angulaire θ :

h(θ)=C+ecos(θ −ϕ) (5.1) Et pour un contact mésaligné, une épaisseur h fonction de la position angulaire θ et de la position axiale z : ) cos( ) 2 ( ) cos( ) , (θ = + θ −ϕ −δ − θ −β L C L z e C z h (5.2) Avec [BOUY 03] :

- θ, l’angle définisant la position angulaire du point où l’on souhaite calculer h.

- z, la position axiale du point où l’on souhaite calculer h.

- L, la longueur du palier.

- C, le jeu radial défini par C = Rpalier – Rarbre.

- e, l’excentricité dans le plan médian du palier (distance entre le centre du palier O0

et celui de l’arbre C0).

- φ, l’angle de calage représentant l’angle entre la ligne des centres (O0 C0) et la direction de la charge N.

- δ, le mésalignement relatif, avec

C d

=

δ où d est l’amplitude du mésalignement caractérisé par le module de la projection du segment C1C2 dans une section droite du palier. C1 etC2 sont les positions du centre de l’arbre aux deux extrémités du palier (Fig. 5.10).

- β, l’angle de mésalignement entre la ligne des centres C1C2 et la direction de la charge N.

Fig. 5.10 Configuration d’un palier mésaligné [BOUY 03]

Dans notre configuration, le mésalignement ayant lieu dans le plan contenant l’effort normal N

r

et l’axe (O0, z ) du palier : β = φ = 0. L’angle α de mésalignement de l’arbre dans le palier dans le plan XZ est défini par construction géométrique comme le montre la figure 5.11.

L’amplitude du mésalignement peut alors être défini par la relation d = |C1C2| = L tan (α) et la valeur de l’excentricité par e = O0C0 = RPalier – A – B. On obtient ensuite par calcul trigonométrique : α α cos tan 2 arbre palier R L R e= − − .

Z

N

Fig. 5.11 Contact entre cylindre dans cylindre dans le plan YZ

Dans nos configurations géométriques, l’angle α étant proche de zéro pour des pièces neuves (Annexe D), en utilisant un développement limité on obtient :

2 α L C e= − et d = L α d’où δ =α L C (5.3) La formulation de l’épaisseur du film peut alors être écrite sous la forme :

h (θ,z) = C + (cos(θ))(C-αz) (5.4)

La géométrie de contact étant différente de celle du modèle initial : bille / plan, il est nécessaire d’effectuer un changement de repère pour placer l’origine du repère sur une extrémité du contact arbre / palier, avec :

θ' = θ + π (5.5) et z’ = z – Rc (5.6) où Rc est la demi longueur du domaine (carré de coté 2 Rc) sur lequel le champ de pression est évalué, pour un contact arbre / palier Rc = L/2. De plus le modèle initial imposant un domaine de définition carré, il est nécessaire de se limiter aux intervalles :

−Rc ≤z'≤Rc (5.7) et Palier c Palier c R R R R ≤ ≤ −

θ

A partir de cette formulation il est alors possible de déterminer le profil des écarts entre les surfaces en contact. Ce profil définit alors dans le modèle, le contour de l’indenteur (associé à une longueur finie) qui vient pénétrer le palier développé en plan (semi-infini). Cette définition de l’indenteur et du plan nécessite de s’assurer pour les champs de pression obtenus à l’aide du modèle que l’amplitude du contact suivant θ’ reste modérée par rapport au 360° d’ouverture totale du palier développé.

Le modèle numérique permet au final de déterminer des grandeurs telles que les champs de pression de contact, les champs de contraintes dans le palier par résolution de l’équation d’équilibre (contraintes principales, contrainte de Von Mises), etc. Ces grandeurs pouvant être déterminées en fonction de paramètres tels que la nature des matériaux (module d’Young, coefficient de Poisson.), la géométrie du contact (jeu radiale de fonctionnement, angle de mésalignement), etc. Il se limite néanmoins à des contrefaces brutes et ne prend pas en compte la nitruration des arbres.