Développement moulien des matrices de connexion

5.1. Introduction

Le but de ce chapitre est de donner une formule sous la forme d'une série formelle (à variables non commutatives) pour les matrices de connexion Ci,j reliant le pôle aj

au pôle ai avec i, j P I, pour une connexion fuchsienne ∇ :“ d ´^ÿ

iPI

Ai

z ´ ai

dz

sur un bré trivial V ˆ P1 Ñ P¹ et d'utiliser ce résultat ensuite dans le chapitre 6 pour donner un développement en série des matrices de Stokes d'un connexion de type 2 ` 1(en utilisant les résultats du chapitre 3 qui nous ont permis de relier les matrices de Stokes aux matrices de connexions de connexions fuchsiennes). En généralisant les résultats ci-dessous et tout particulièrement le corollaire 5.6.3 p.109 pour les matrices de connexion entre les pôles d'une connexion du type 2 ` 1 ` ¨ ¨ ¨ ` 1, on peut fournir des résultats analogues à ceux du chapitre 6 en utilisant les développements eectués dans le chapitre 4 proposition 4.5.1.

Donnons ci-dessous la formule en question. Dans cette section, on considère les données suivantes :

(1) une coordonnée z : P1 ´ t8u Ñ C.

(2) un C-espace vectoriel V de dimension nie. On note G “ GLpV q et g “ EndpV q.

(3) les nombres complexes ai (i P I) deux à deux distincts. (4) des éléments Ai P g pour tout i P I.

On considère alors la connexion méromorphe ∇ ci-dessus sur le bré trivial V ˆ P1 Ñ P¹. On notera S :“ tai : i P Iu Y t8u l'ensemble des pôles de ∇. On peut dénir un certain nombre d'invariant pour la connexion ∇. Par exemple, pour toute classe d'homotopie de lacet γ1 à valeurs dans P1 ´ S reliant le point régulier p au point régulier q, on peut dénir la monodromie Mγ1 de la connexion ∇ par

M_γ1 :“ Ψ´1

ppqΨpqq P G,

où Ψ est une base de solution de ∇ au voisinage de p que l'on prolonge à q le long de γ1.

On suppose dans la suite que les résidus Ai (i P I) de ∇ en chaque pôle sont non résonants, c'est-à-dire que la diérence de deux quelconque de leurs valeurs propres n'est jamais un entier non nul. On peut alors dénir la matrice de connexion Cγ

pour tout chemin γ reliant un pôle simple p à un pôle simple q modulo le choix d'une branche du logarithme logpp¨ ´ pqen p et logqp¨ ´ qqen q. Brièvement, pour ces choix il existe deux bases préférées Ψp et Ψq sur un voisinage sectoriel issu de p et q respectivement telles que Ψppzqsoit asymptotique à eRespp∇q¨log_ppz´pq (et la formule analogue pour Ψq). Alors on a par dénition

C_γ :“ Ψ´1

q pzqΨppzq P G

et cette dénition est indépendante du choix de z dans l'image du chemin γ par simple connexité. La matrice de connexion Cγ peut aussi s'écrire comme une limite normalisée des matrices de monodromie Mγu,v où γu,v : ru ; vs Ñ P1 ´ S désigne la restriction de γ sur l'intervalle ru ; vs pour 0 ă u ă v ă 1 (voir la proposition 5.3.9).

On dénit l'alphabet Ω :“ tAi : i P Iu en les résidus de ∇ et on notera Ω˚

l'ensemble des mots écrits dans l'alphabet Ω. Remarquez que cet alphabet est en bijection avec I, et on notera abusivement aω :“ ai P C le pôle correspondant à une lettre ω “ Ai P Ω.

On rappelle qu'un moule scalaire est une application I‚ : Ω˚ Ñ C. En suivant les conventions de J. Écalle, on note Iω :“ I‚

pωq P C l'image du mot ω P Ω˚ du moule I‚. Au langage près (et à la structure algébrique de l'ensemble des moules rappelée en appendice B), un moule est simplement un ensemble de coecients universels pour chaque mot écrit dans l'alphabet Ω.

On dénit le moule classique des hyperlogarithmes Iγ1 pour tout chemin γ1 à valeurs dans les points réguliers Gr1

´S de ∇ par I_γ^ω1 :“ ż 0ăt1﨨¨ďtră1 dz1 z₁´ aω1 ¨ ¨ ¨ dzr z_r´ aωr , pour tout mot ω “ ω1¨ ¨ ¨ ωr, où zk:“ γptkq pour tout 1 ď k ď r.

Notons A‚ le comoule canonique à valeurs dans l'algèbre enveloppante Ug de l'algèbre de Lie g. On rappelle que cela signie que A‚ est l'application Ω˚ Ñ Ug dénie par

Aω :“ A‚pωq “ Aωr¨ ¨ ¨ Aω1,

pour tout mot ω “ ω1¨ ¨ ¨ ωr. On fera attention à l'inversion des indices.

Le point de départ de la formule pour les matrices de connexion est la proposition suivante. Proposition (5.4.3). On a l'égalité M_γ1 “ ÿ ωPΩ˚ I_γ^ω1A_ω

où Mγ1 est la monodromie de ∇ le long du chemin γ1 (à valeurs dans les points régulier) et où le membre de droite est une somme absolument convergente.

Cette formule est une conséquence de la résolution des équations diérentielle avec la méthode de Picard et a été montrée dans le mémoire de J. A. Lappo-Danilevskij [LD53].

Pour obtenir une formule pour la matrice de connexion Ci,j reliant le pôle aj au pôle ai le long d'un chemin γ, on doit dénir le bimoule d'extension symétrale

ssa^‚_i,j : pΩ ˆ Ωq^˚ Ñ C. Les indices i et j joue ici un rôle spécial et le bimoule ssa‚

i,j dépend de ces indices. La dénition explicite intrinsèque du bimoule ssa‚ est donnée dans la section 5.5.2. En gros, les ssap^ω1_ωq

i,j s'expriment comme des sommes de produits de coecients binomiaux dépendant des mots ω, ω1

P Ω^˚.

Remarque 5.1.1. Ce bimoule a beaucoup de termes nuls. En particulier, on peut montrer que ssap^ω1_ωq

i,j ‰ 0 implique que les mots ω et ω1 sont de même longueur (même que leurs lettres sont en bijection). Un programme informatique a été donné en appendice B pour calculer les premiers termes de ce bimoule.

On peut alors donner un développement moulien de la matrice de connexion Ci,j

5.1. INTRODUCTION 91

Théorème. On a l'égalité C_{i,j “ e}´ log_ipaj´aiqAi

˜ ÿ ω,ω1PΩ˚ ssa^p ω1 ωq i,j I_i,j^ω1A_ω ¸ e^logjpai´ajqAj, où Iω

i,j est égal à la limite des Iω

γu,v pour pu, vq Ñ p0, 1q lorsque cette limite existe et 0 sinon. De plus, la somme de droite est absolument convergente.

Notons Ω˚

i,j Ď Ω^˚ l'ensemble des mots dans l'alphabet Ω ne commençant pas par Aj et ne nissant pas par Ai. De la dénition du bimoule ssa‚, on montre immédia-tement que pour tout ω1

P Ω^˚_i,j, on a ssap^ω1_ωq

i,j “ 1 si ω “ ω1

P Ω^˚_i,j et 0 dans tous les autres cas. On peut donc écrire le développement précédent sous la forme

C_i,j “ e^{´ log}ipaj´aiqAi

¨ ˚ ˚ ˚ ˝ ÿ ω1PΩ^˚_i,j I_i,j^ω1A_ω1` ^ÿ ω,ω1PΩ˚ ωRΩ˚ i,j ssa^p ω1 ωq i,j I_i,j^ω1A_ω ˛ ‹ ‹ ‹ ‚ e^logjpai´ajqAj.

Le terme de droite entre les parenthèses peut être vu comme un terme de régularisa-tion. En développant les exponentielles, on obtient alors la forme simpliée

C_i,j “ ^ÿ

ω1PΩ^˚_i,j

I_i,j^ω1A_ω1 ` termes de régularisation. De plus, remarquez que les coecients Iω1

i,j sont tous convergents pour ω1

P Ω^˚_i,j, c'est-à-dire que l'on a exactement

I_i,j^ω1 “ ż 0ăt1﨨¨ďtră1 dz1 z₁´ aω1 ¨ ¨ ¨ dzr z_r´ aωr , où zk “ γptkq pour tout 1 ď k ď r pour tout mot ω1

“ ω1. . . ω_{r P Ω}˚

i,j. On a ainsi obtenu un développement moulien de la matrice de connexion Ci,jà partir d'intégrales itérées, qui sont ici des hyperlogarithmes (voir [Eca02] Ÿ4.3).

Cette section est organisée comme suit. Dans la partie 5.2, on commence par faire le lien entre la formulation vectoriel ci-dessus et une variante formelle. Ensuite dans la partie 5.3, on donne quelques pré-requis pour les développements mouliens à proprement dit en reliant les matrices de connexion aux matrices de monodromie. Les parties 5.4 et 5.5 sont les parties centrales de cette section où l'on montre les développements mouliens pour la monodromie et les matrices de connexions. Pour les matrices de connexion, on procède en trois étapes :

(1) On montre une formule du type C_i,j “ ^ÿ

ωPΩ˚

J_i,j^ωpαj, α_iqAω

où J‚ : Ω˚ Ñ Crx, ys est un moule à valeurs dans l'algèbre des polynômes en deux variables commutatives. Cette formule est une conséquence immédiate du fait que les matrices de connexions Ci,j sont de type groupe pour une certaine structure de cogèbre dans le cadre formel.

(2) On montre une formule du type C_{i,j “ e}´ log_ipaj´aiqAi

˜ ÿ ωPΩ˚ J_i,j^ω_{p0, 0qAω} ¸ e^logjpai´ajqAj

en utilisant au maximum la structure de moule J‚ i,j.

(3) Enn, on obtient en dernier lieu la formule du théorème ci-dessus grâce à la formule J_i,j^ωp0, 0q “ ^ÿ ω1PΩ˚ ssa^p ω1 ωq i,j I_i,j^ω1 qui exprime explicitement les coecients Jω

i,jp0, 0q comme combinaison li-néaire d'hyperlogarithmes.

Enn, on projette ces résultats du cadre formel au cadre vectoriel dans la partie 5.6.

5.2. Lien entre le cadre formel et vectoriel Dans cette section, on considère les données suivantes :

(1) une coordonnée z : P1´ t8u Ñ C.

(2) un C-espace vectoriel V de dimension nie. On note G “ GLpV q et g “ EndpV q.

(3) les nombres complexes ai (i P I) deux à deux distincts. (4) des éléments Ai P g pour tout i P I.

On considère alors la connexion

(5.2.a) ∇ :“ d ´^ÿ iPI A_i z ´ ai dz, sur le bré trivial V ˆ P1

Ñ P¹. On rappelle que l'on note S “ tai : i P Iu Y t8u l'ensemble des pôles de ∇.

Le but de cette section est de donner une formule sous la forme d'une série formelle non commutative pour les matrices de connexion Ci,j reliant le pôle aj au pôle ai avec i, j P I.

Pour calculer cette matrice de connexion, on va mettre en parallèle deux formu-lations :

(1) le cas formel où A “ CxxΩyy est l'algèbre de séries formelles non commuta-tives en l'alphabet Ω “ t ˜A_i : i P Iu et ˜F est le bré trivial sur P1

´ S de bre A.

(2) le cas vectoriel où V est un C-espace vectoriel de dimension nie, où g est l'algèbre de Lie de G :“ GLpV q, où les Ai P g sont des endomorphismes de V pour tout i P I et où F est le G-bré principal sur P1

´ S.1

Remarquez que l'expression (5.2.a) en remplaçant les Ai par les ˜Ai dénit une connexion sur le bré ˜F dans le cas formel aussi. La donnée de cette connexion est équivalente à la donnée d'une bijection entre les alphabets Ω et I, que l'on identiera de cette manière dans la suite par ailleurs.

On a donc une application naturelle

(5.2.b) Ω Ñ g “ EndpV q,

donnée par ˜A_{i ÞÑ Ai} pour tout i P I.

On a une application com : CxxΩyy Ñ CJΩK correspondant à l'a jout de la com-mutation des variables. On dénit la sous-algèbre CttΩuuν pour tout ν P R˚

`, dites des séries non commutatives convergentes de rayon ą ν, de CxxΩyy comme l'image

1. Par les correspondances usuelles entre brés vectoriels et brés principaux, on aurait pu consi-dérer le cas où F aurait été un bré vectoriel trivial sur P1

´ Sde bre V . Pour ne pas induire une confusion avec la terminologie base de solutions et solution d'une équation diérentielle dans le cas formel, nous avons préféré faire ce choix.

5.2. LIEN ENTRE LE CADRE FORMEL ET VECTORIEL 93

réciproque par com de l'algèbre CtΩuν des séries entières de rayon de convergence strictement plus grand que ν qui est bien une sous-algèbre de CJΩK. Explicitement, si S “ ř_ωPΩ˚xωω est un élément de CxxΩyy alors S P CttΩuuν si et seulement si

sup # M P R`: <sup>ÿ</sup> ωPΩ˚ |x<sup>ω</sup>|M<sup>rpωq</sup> ă `8 + ą ν

où Ω˚ désigne l'ensemble des mots dans l'alphabet Ω et rpωq désigne la longueur du mot ω. On notera CttΩuu8 l'intersection des CttΩuuν pour ν P R˚

`. On a donc la suite d'inclusions CttΩuu8 “ <sup>č</sup> νPR˚ `

CttΩuu^ν Ď CttΩuu^ν1 Ď CttΩuu^ν2 Ď ^ď

νPR˚ `

CttΩuu^ν Ď CxxΩyy,

pour tout ν1 ě ν2.

Remarque 5.2.1. Après composition par com, on retrouve la ltration OpCΩ

q Ď CtΩu^ν1

Ď CtΩu Ď C_JΩK,

où on a envie d'étendre la notation en CtΩu8 “ OpC^Ωq les fonctions entières sur CΩ

et CtΩu0 “ CtΩu.

Supposons que l'on ait choisit les Ai de norme plus petite que ν P R˚

`. Alors l'application naturelle (5.2.b) s'étend en une représentation

CttΩuu^ν ÝÑ EndpV q.

Plus généralement, l'application naturelle (5.2.b) s'étend toujours en une représenta-tion

(5.2.c) CttΩuu8

ÝÑ EndpV q.

sans condition sur les endomorphismes Ai P EndpV q. Remarquez que l'image du mot vide H P CttΩuu8 est la matrice id P EndpV q par dénition.

Coté formel, on notera aussi ˜g, resp. ˜Gl'ensemble des éléments primitifs, resp. de type groupe de A pour la structure d'algèbre de Hopf topologique sur A. On rappelle que le coproduit ∆ : A Ñ AbAp de A est donné par ∆pωq “ ω b 1 ` 1 b ω pour tout ω P Ω et étendu à tout mot grâce à la propriété usuelle de compatibilité avec la multiplication ∆pω1¨ ¨ ¨ ωrq “ ∆pω1q ¨ ¨ ¨ ∆pωrq.

Notons L, resp. G, les sous-ensembles de CxxΩyy des séries formelles de coecient constant égal à 0, resp. 1. On peut dénir la fonction exponentielle formelle Exp : L Ñ G, analogue de la fonction exponentielle usuelle, donnée par

Exp : ^ÿ ωPΩ˚´tHu x^ωω ÞÝÑ 1 ¨ H ` ^ÿ ωPΩ˚´tHu ¨ ˚ ˚ ˚ ˚ ˝ ÿ nPN˚ ω1,...,ωn‰H ω1¨¨¨ωⁿ“ω xω1 ¨ ¨ ¨ x^ωn n! ˛ ‹ ‹ ‹ ‹ ‚ ω

On montre que cette application est bijective (par exemple en construisant explicite-ment son inverse à partir du développeexplicite-ment en série du logarithme en 1)

On vérie immédiatement que l'on a ˜g Ď L et ˜G Ď Get que la fonction exponen-tielle formelle induit un isomorphisme Exp : ˜g Ñ ˜G. De même, on vérie que l'image de L X CttΩuu8 est incluse2dans G X CttΩuu8. On a donc un diagramme commutatif

2. Son image n'est pas égale exactement à GXCttΩuu8en général. En eet, on peut par exemple montrer que logp1 ¨ H ` 1 ¨ ωiqappartient à CttΩuuν pour tout ν ă 1 mais pour aucun ν ě 1.

˜ g L L X CttΩuu8 ˜ G G G X CttΩuu8 Exp Exp „ „ Exp

On a la fonction exponentielle classique exp : g Ñ G. On peut aussi voir G comme un sous-ensemble de g lorsque G “ GLpV q. Le lien entre la fonction exponentielle formelle et la fonction exponentielle classique est le suivant.

Lemme 5.2.2. Le diagramme suivant ˜ g X CttΩuu8 g ˜ G X ExppCttΩuu8q G ˜ G X CttΩuu8 g (5.2.c) Exp „ exp (5.2.c) est commutatif.

Remarque 5.2.3. Lorsque Ω est égal à un singleton txu, les résultats précédents sont assez connus. En eet, dans ce cas, CxxΩyy “ CJxK, CttΩuu8

“ OpCqles fonctions entières sur C et g “ C, G “ C˚. L'application (5.2.c) correspond à l'évaluation en un certain a P C. Dans ce cas, on montre que ˜g “ L “ tř_nPNf_nxn : f₀ “ 0u et

˜

G “ G “ tř

nPNg_nxn : g₀ “ 1u. Donc Exp est bien une application de ˜g X OpCq vers ˜G X OpCq, c'est-à-dire des fonctions entières f telles que fp0q “ 0 vers les fonctions entières g telles que gp0q “ 1. Ce n'est pas un isomorphisme car typiquement f pxq “ logp1 ` xq (qui devrait être l'image réciproque de la fonction gpxq “ 1 ` x) est une fonction holomorphe sur |x| ă 1 mais pas une fonction entière.

5.3. Cas formel

Dans cette section, on omettra les tildes pour parler du cas formel an d'alléger les notations.

Nous allons dénir des matrices de connexion Ci,j P G X CttΩuu⁸ coté formel. On reprend l'exposition de [Boy06] Ÿ2. Tout d'abord remarquons que l'algèbre A :“ CxxΩyy est complète pour la topologie I-adique où I est l'idéal engendré par Ω “ tAi : i P Iu. On a donc un isomorphisme

AÝÑ lim^„

ÐÝ nPN

A{In.

De plus, les quotients A{Insont des C-espaces vectoriels de dimension nie pour tout n P N. On peut donc munir A d'une topologie analytique comme étant la topologie limite induite par la topologie analytique dénie sur les A{In. Cette topologie est bien sûr plus ne que la topologie I-adique. Le fait que A soit complet pour la topologie I-adique implique que c'est un espace séparé pour la topologie analytique. De plus, toute suite à valeurs dans A converge pour la topologie analytique si et seulement si son image dans tous les quotients A{In converge pour la topologie analytique.

5.3. CAS FORMEL 95

Remarque 5.3.1. Pour A “ CxxΩyy, on a la correspondance des notations I “ L avec la section précédente.

On peut alors dénir la notion de fonctions holomorphes f : U Ñ A, pour tout ouvert U de C et ensuite le faisceau d'algèbres OXxxΩyy des fonctions holomorphes sur la courbe3 complexe X à valeurs dans l'algèbre A “ CxxΩyy. Ce dernier est en particulier un OX-module et on a

O_{XxxΩyy “ OX}bA :“ limp

ÐÝ nPN

O_{X b A{I}n.

De manière plus général, si D “ ř_iPIn_ipDiqest un diviseur eectif de X avec ni P N et pDiqun point fermé de X pour tout i dans un ensemble ni I, alors on peut dénir le faisceau MX,D :“ OXpDq des fonctions méromorphes à pôles les pDiq d'ordre au plus ni (voir par exemple [Har77, GH94] ou sinon [Sab02] chapitre 1 Ÿ8). Donc on peut dénir le faisceau d'algèbres MX,DxxΩyy :“ OXxxΩyy bO_X O_XpDq, qui est un faisceau de OXpDq-modules.

Comme précédemment, on considère la connexion méromorphe pour le diviseur D “ 1p8q `^ř_iPI1 ¨ paiq (5.3.a) ∇ :“ d ´^ÿ iPI A_i z ´ ai dz, sur le bré trivial A ˆ P1

Ñ P¹. L'ensemble singulier de cette connexion est donc S :“ |D| “ tai : i P Iu Y t8u.

Notons A˚ l'ensemble des éléments inversibles (c'est-à-dire admettant un inverse à droite et à gauche) de A pour la multiplication. On montre que A˚ est égal à l'ensemble des séries formelles de coecient constant inversible dans C (c'est-à-dire non nul). Soit γ un chemin à valeurs dans P1´ S reliant le point p au point q.

Lemme 5.3.2. Il existe une unique section horizontale Ψppzqde ∇ sur P1´ S telle que Ψpppq “ 1 P A^˚.

Démonstration. On écrit une solution potentielle Ψppzq “^ř_ωfω

pzq ¨ ωet on écrit l'équa-tion correspondante à ∇pΨpq “ 0 coecient par coecient. On note Ψ1

ppzq “ ^ř_ωpf^ωq¹pzq ¨ ω et ∇ “ d ´ř

ωh^ωω dz. On a par dénition h^ωpzq :“ _z´a¹

ω1 si ω “ ω1,

h^ωpzq :“ 0 si ω n'est pas un mot de longueur 1. On obtient donc pf^ωq¹“ ^ÿ ω1ω2“ω h^ω1f^ω2 “ h^Hf^ω` ^ÿ ω1ω2“ω ω¹‰H h^ω1f^ω2,

c'est-à-dire avec la notation moulienne pf‚q¹“ h^‚ˆ f^‚. On procède par récurrence sur la longueur du mot ω. On trouve donc une équation diérentielle linéaire holomorphe sur ČP1´ Sun revêtement universel de P1´ S, avec second membre égal à řω1ω2“ω

ω1‰H

hω1

fω2

et condition initiale fω

ppq “ 0si ω ‰ H et fHppq “ 1 sinon. On en déduit la valeur de fω par le théorème de Cauchy holomorphe

donc nalement Ψp. 

Remarque 5.3.3. En résolvant explicitement la récurrence de la démonstration précédente, on trouve f^ω_{pzq “} żz p 1 z₁´ aω1 f^ω2¨¨¨ωr pz1q dz1,

pour tout mot ω “ ω1¨ ¨ ¨ ωr de longueur r ě 1, c'est-à-dire (5.3.b) f^ωpzq “ żz p dz1 żz1 p dz2¨ ¨ ¨ żzr´1 p dzr 1 pz1´ aω1qpz2´ aω2q ¨ ¨ ¨ pzr´ aωrq.

Soit γ un chemin reliant le point p au point q, à valeurs dans P1´ S. On dénit alors la monodromie Mγ P A^˚ de ∇ le long du chemin γ par

M_γ :“ Ψ´1

q Ψ_ppzq pour tout z P Impγq. En particulier, pour z “ q, on a Mγ “ Ψppqq.

Un résultat classique montre que la monodromie Mγ ne dépend que de la classe d'homotopie à extrémité xe de γ (car ici la connexion ∇ est plate par un argument de dimension).

On étend la notion de point de base aux points de bases tangentiels, suivant une variante de la dénition de P. Deligne [Del89] Ÿ15. On considère pΣ l'éclatement réel orienté normalisé de P1´ S. Concrètement, on colle en chaque point de S le cercle des directions émanant des points de S. Le bord BpΣ de pΣ est donc égal à l'union disjointe Ť

sPSBsoù Bs » S¹ est le cercle des directions issues de s. La partie connexe Bsdu bord est donc isomorphe à l'ensemble des vecteurs tangents unitaires pTsP¹´ t0uq{R^˚_` de P1 en s. Un point de base tangentiel est un élément de pΣ. Un point de base tangentiel au bord est un élément de BpΣ.

Soit p un point de base tangentiel au bord tel que p P Bai avec i P I. On choisit une branche du logarithme log au voisinage de la direction p donnée par le point de base tangentiel. Soit

U_i “ tz P P¹´ S : 0 ă |z ´ ai| ă R et | argpz ´ aiq ´ p| ă πu, avec R P R˚

` susamment petit pour que R ă mint|ai´ aj| : i, j P Iu. En particulier, on a Ui Ď P¹´ S. ‚ p U_i a_i ‚ aj Figure 1. Ouvert Ui

La fonction pz ´ aiq^Ai :“ elogpz´aiqAi est bien une section globale de OUixxΩyy. On rappelle ci-dessous quelques lemmes dont l'analogue dans le cadre vectoriel est classique. Leurs démonstrations sont des variantes des démonstrations du cadre vectoriel.

Lemme 5.3.4 ([Boy06] Ÿ2.3 lemme 2.2). Pour le choix précédent d'une branche du logarithme, il existe une unique section horizontale Ψipzq de ∇ sur Ui telle que Ψ_ipzq soit asymptotique à pz ´ aiq^Ai en z Ñ ai.

5.3. CAS FORMEL 97

On rappelle que Ψipzqest asymptotique à pz ´ aiq^Ai en z Ñ ai si par dénition il existe une fonction analytique ψipzqen ai vériant ψipaiq “ 1 et Ψipzq “ ψipzq ¨ pz ´ a_iq^Ai pour tout z P Ui.

Lemme 5.3.5 ([Boy06] Ÿ2.3 lemme 2.3). On a les égalités lim zÑai Ψipzq ¨ pz ´ aiq^´Ai “ 1 “ lim zÑai pz ´ aiq^´Ai ¨ Ψipzq, c'est-à-dire Ψipzq asymptotique à pz ´ aiq^Ai et Ψ´1 i pzq asymptotique à pz ´ aiq^´Ai en z Ñ ai sur l'ouvert Ui.

Remarque 5.3.6. On aurait pu considérer un point de base tangentiel au bord à l'inni p P B8. Dans ce cas, il aurait fallu considérer une solution asymptotique à zR

où R “ ř_iPIA_i.

Démonstration. La première égalité est par dénition de Ψi. La seconde égalité est équi-valente à

lim

zÑai

pz ´ aiq^´Ai¨ pψipzq ´ 1q ¨ pz ´ aiq^Ai

où Ψipzq “ ψipzq ¨ pz ´ aiq^Ai et ψi est une fonction analytique en ai telle que ψipaiq “ 1. D'où pz ´ aiq^´Ai¨ pψipzq ´ 1q ¨ pz ´ aiq^Ai“ ^ÿ nPN ÿ n₁`n2“n p´1qⁿ1 n1!n2!^A n₁ i pψipzq ´ 1q logⁿpz ´ aiqAⁿ2 i . Comme ψipzq ´ 1 “ Oppz ´ aiqq, la limite de la parenthèse est bien 0 quand z Ñ ai.



Soit γ un chemin supposé pour simplier4 de classe C1 reliant le point de base tangentiel p au point de base tangentiel q. Explicitement, cela signie que γptq est un point intérieur de pΣ pour tout t P s0 ; 1r et

(1) si p (resp. q) est un point intérieur de pΣ alors γp0q “ p (resp. γp1q “ q), (2) si p (resp. q) est un point du bord de pΣ alors argpγ1

p0qq “ p(resp. argpγ1

p1qq` π “ q).

On supposera dans la suite que p, q P BpΣ sont des points de bases tangentiels au bord mais le lecteur vériera que ce qui est énoncé dans la suite est aussi valable pour des points de bases classiques dans P1

´ S. ‚ γp0q “ aj p ‚ γp1q “ ai q

Figure 2. Chemin γ reliant le point tangentiel p à q

On peut maintenant dénir les matrices de connexion. Soient ai et aj deux pôles de ∇ pour i, j P I. Soit p P Baj et q P Bai deux points tangentiels basés en aj et ai

respectivement et soit γ un chemin reliant p à q. Pour chaque pôle aj et ai, on choisit une branche du logarithme logj et logi au voisinage de p et q respectivement.

4. Cette hypothèse n'est pas nécessaire et on peut montrer que l'on peut dénir par limite les directions argpγ1p0qqet argpγ1p1qq ` π grâce à un argument de compacité.

Définition 5.3.7. La matrice de connexion Ci,j P A^˚ reliant le pôle aj au pôle a_i le long de γ est dénie par

C_i,j :“ Ψ´1

i Ψ_jpzq, pour tout z P γps0 ; 1rq,

où Ψi, Ψj sont les solutions de ∇ dénies grâce aux choix des branches du logarithmes précédentes et au lemme 5.3.4.

Remarque 5.3.8. Comme on l'a déni, la matrice de connexion Ci,j P A^˚ n'est

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