Développement du modèle linéaire

Dans le but de déterminer la direction à suivre vers l’optimum nous avons développé

des modèles mathématiques linéaires correspondant à l’équation I.2. Ainsi, a partir des

résultats présentés dans le Tableau I.9 et en utilisant la méthodologie des moindres carrés

présentée dans l’annexe 3 [Cicală’99] [Nichici’96], nous avons calculé les valeurs des

coefficients du polynôme de régression (Tableau I.14). La signifiance des coefficients de

régression, pour un niveau de confiance de 95%, a été vérifiée avec le critère de Student

[Cicală’99] [Nichici’96].

Tableau I.14 – Coefficients de régression

Coefficients de régression

Matériau ^Fonction_objectif

b0 b1 b2 b3 b12 b13 b23

Dv 1,037 0,219 0,076 -0,004 -0,009 0,016 0,009

Sa 16,366 -6,214 3,621 2,159 -6,899 -1,451 -1,816

304L

Sz 123,096 -50,906 41,049 16,721 -52,986 -7,649 -3,329

L’amplitude des effets, provoqués par les facteurs d’influence, sur les fonctions

objectifs est présentée dans la Figure I.10 sous forme d’histogrammes de Pareto.

L’histogramme de Pareto est une représentation graphique par ordre décroissant d'importance

des effets provoqués par les facteurs sur les fonctions objectifs. Sur chaque histogramme on

observe une ligne verticale pointillée qui représente le seuil de signification statistique des

influences des facteurs [Nichici’96].

a) débit volumique b) rugosité Sa c) rugosité Sz

Figure I.10 – 304L – Histogrammes de Pareto standardisés

Dans le cas de l’acier inoxydable (Figure I.10a), on observe que le débit volumique est

fortement influencé par l’énergie par impulsion suivie par la fréquence des impulsions. En ce

qui concerne la rugosité de la surface (Figure I.10b et c), on observe que l’interaction entre

l’énergie et la fréquence des impulsions occupe la première position avec une forte influence.

Les positions suivantes sont occupées par l’énergie et la fréquence. On note également que les

amplitudes dues à l’interaction entre l’énergie et la fréquence et celle due à l’énergie sont

similaires. Elles ont donc presque la même influence sur la rugosité de surface.

Lorsque l’on ne tient compte que des facteurs et des interactions dont les effets sont

significatifs (cf. ligne pointillée - Figure I.10) il est possible d’écrire les équations du modèle

linéaire décrivant la variation des fonctions objectifs avec les facteurs d’influence pour l’acier

inoxydable (I.6), (I.7) et (I.8).

2

1

v 1,037 0,218x 0,076 x

D = + + (I.6)

2

1

2

1

a 16,366 6,213x 3,621x 6,898x x

S = − + − (I.7)

2

1

2

1

z 123,096 50,906 x 41,048x 52,986 x x

S = − + − (I.8)

avec x1 = énergie par impulsion et x2 = fréquence des impulsions.

L’adéquation des modèles proposés a été vérifiée en utilisant le critère de Fisher, F.

Les modèles sont adéquats si l’inégalité Fcalc < Ftab.α; ν1; ν2 est confirmée (α est la probabilité

de confiance désirée ; ν1 et ν2 sont les degrés de liberté du modèle). Les résultats de

l’application du test de Fisher sont présentés dans le Tableau I.15.

Tableau I.15 – Résultats du test de Fisher

Critère statistique de Fisher

Matériau ^Fonction

objectif _{Valeur critique Valeur calculée}

D_v F_0.05,5;2 = 19,30 F_calc = 1,47

S_a F_0.05,4;2 = 19,25 F_calc = 11,17

304L

Sz F0.05,4;2 = 19,25 Fcalc = 8,55

Après application du test de Fisher, nous observons que les modèles sont valides pour

un niveau de confiance de 95%. La Figure I.11 illustre les corrélations entre les valeurs

mesurées et celles estimées à l’aide des modèles développés. Le pourcentage de corrélation

entre les valeurs observées et celles prévues sont exprimés à l’aide du coefficient de

corrélation, R². Les valeurs des coefficients de corrélation ont été calculées à l’aide de

l’analyse de variance (cf. annexe 3)

a) débit volumique b) rugosité Sa c) rugosité Sz

Figure I.11 – 304L – Corrélation entre les valeurs estimées et celles mesurées

La variation du débit volumique en fonction des facteurs d’influence significatifs peut

être illustrée sur la Figure I.12. La variation du débit volumique est proportionnelle à l’énergie

et à la fréquence des impulsions. Plus on apporte d’énergie via le couple (énergie par

impulsion, fréquence des impulsions) plus le débit volumique augmente.

Figure I.12 – 304L - Variation du débit volumique avec l’énergie et la fréquence

D'après l’analyse des résultats expérimentaux et du modèle de régression on peut

conclure que :

- le modèle obtenu permet une estimation de la surface de réponse avec une précision

de 94% pour une probabilité de confiance de 95% ;

- le débit volumique varie, dans l’intervalle considéré, proportionnellement avec les

facteurs d’influence significatifs (E, f) ;

- la vitesse de balayage n’a pas une influence significative sur le débit volumique,

ainsi que les interactions entre les facteurs étudiés ;

- pour les conditions expérimentales étudiées le débit volumique maximal est obtenu

pour les valeurs physiques des facteurs situées sur les niveaux supérieurs (E = 6 mJ ;

f = 9500 Hz).

Les variations de la rugosité en fonction des facteurs d’influence significatifs peuvent

être observées sur la Figure I.13. Il faut spécifier que les facteurs d’influence qui ne sont pas

représentés ont été maintenus à une valeur constante correspondant aux valeurs du point

central du plan d’expériences.

a) Rugosité Sa b) Rugosité Sz

Figure I.13 – 304L – Variation de la rugosité avec l’énergie et la fréquence des impulsions

Après l’analyse des résultats on peut formuler les remarques suivantes :

- pour les conditions expérimentales étudiées, les surfaces de réponse réelles,

correspondant aux fonctions objectifs analysées, peuvent être estimées avec une

certitude de 86% (Sa), respectivement 93% (Sz) a l’aide des modèles linéaire

proposés (eq.I.7, eq.I.8), pour une probabilité de confiance de 95% ;

- les signes négatifs des effets provoqués par l’énergie, ainsi que par l’interaction de

celle-ci avec la fréquence des impulsions permettent de dire que la rugosité de la

surface décroît avec l’augmentation du facteur, ce qui se traduit par une amélioration

de la qualité de la surface ;

- en revanche, la qualité de la surface connaît une dégradation avec l’augmentation de

la fréquence et de la vitesse de balayage ;

- l’écart considérable entre les effets provoqués par la vitesse de balayage et les autres

facteurs montre que l’influence de la vitesse sur les fonctions objectifs est petite par

rapport aux autre facteurs ;

- donc, pour obtenir une faible rugosité il faut travailler avec une grande énergie et

une fréquence appropriée (Figure I.13), pour une vitesse de balayage préalablement

choisie ;

Pour conclure, la direction à suivre, afin d’obtenir une rugosité, Sa, inferieure a 5 µm

avec la plus grande productivité disponible, est vers l’augmentation cumulée de l’énergie et

de la fréquence des impulsions.

Dans le document Modélisation du processus de texturation par faisceau laser : approches expérimentale et numérique (Page 41-46)