3.4 Mesure du volume du résonateur
3.4.3 Détermination du volume par coordonnées tridimensionnelles
du résonateur est de contrôler ses dimensions après usinage. Cette étape a été réalisée à
l’aide de la machine à mesures tridimensionnelles UPMC 550 de chez Carl Zeiss
10. Ces
mesures ont été effectuées au NPL, dans l’équipe Mesures Dimensionnelles. Le protocole
expérimental est décrit en détail dans [73].
Les dimensions des hémisphères ont été caractérisées dans une salle climatisée. La
tempé-rature ambiante était de 20˚C, et celle-ci avait une dérive inférieure à 0,1˚C par jour. Les
hémisphères ont préalablement séjourné dans la salle de mesure une dizaine de jours
aupa-ravant afin d’être thermalisés lors des mesures. La figure 3.10 présente l’hémisphère nord
de BCU3 ainsi que la sphère de silicium, utilisée comme référence spatiale, positionnées
sur le plan de mesure en marbre.
palpeur
sphère de silicium
hémisphère
nord
Fig. 3.10 – Photographie de l’hémisphère nord de BCU3 positionnée sur le marbre de la
machine UPMC 550 CMM
Pour chacun des hémisphères, 20 coupes longitudinales composées de 41 points ont été
réalisées. Une dizaine d’heure par hémisphère a été nécessaire pour réaliser les mesures. Le
figure 3.11 montre une analyse sous forme de cartographie de la forme intérieure de BCU3.
Les écarts absolus observés entre la forme théorique de BCU3 et sa forme finale sont
au maximum de3 µmsur le rayon (a = 0,05 m) ; écarts qui n’ont pas de conséquences car
la forme finale garde un profil continu, donc facilement paramétrable [73].
Le volume contenu dans le résonateur quasi sphérique est ensuite déterminé en suivant la
10
3.4. MESURE DU VOLUME DU RÉSONATEUR.
−180 −120 −60 0 60 120 180
−90
−60
−30
0
30
60
90
49.95
49.955
49.96
49.965
49.97
49.975
49.98
49.985
49.99
49.995
50
ϕ (˚)
θ
(˚
)
Fig.3.11 – Projection de Winkel-Tripel de la forme intérieure de BCU3 à partir des mesures
des coordonnées tridimensionnelles.
3.4. MESURE DU VOLUME DU RÉSONATEUR.
procédure décrite dans [73], à savoir, par décomposition à l’aide d’harmoniques sphériques
du volume mesuré. La surface interne du résonateur est alors définie de la manière suivante
en coordonnées sphériques
a(θ, ϕ) =C
00Y
00+
LmaxX
l=1 lX
m=−lC
lmY
lm(θ, ϕ), (3.7)
avecC
00Y
00=a(1−√α
004π), où le terme α
00√
4 correspond à la différence sur le rayonad’une
sphère de volume équivalent. Les fonctionsY
lm(θ, ϕ)sont les harmoniques sphériques réelles
etC
lmsont les coefficients pondérateurs déterminés par une méthode de minimisation de
l’écart entre la forme réelle eta(θ, ϕ).
Le nombre L
max, définissant l’ordre d’approximation de la décomposition, est obtenu en
appliquant le théorème de Nyquist-Shannon. En effet, la surface intérieure est discrétisée
tous les∆θ= π
2N
θet∆ϕ= π
N
ϕoùN
θetN
ϕsont le nombre de coupes ainsi que le nombre
de points par coupe respectivement. D’après le théorème de Nyquist-Shannon, la valeur
limite du nombre L
maxest atteinte lorsque
2∆φ= 2π
L
max, (3.8)
autrement dit pour L
max=N
ϕ.
Le volume contenu à l’intérieur de la surface de la quasi sphère définie à l’équation 3.7
est obtenu par
V = 1
3
Z
π 0dθ
Z
2π 0a
3(θ, ϕ) sin(ϕ)dϕ (3.9)
L’orthogonalité des harmoniques sphériques permet d’écrire l’expression du volume de la
manière suivante
V = C
00Y
003
C
002+
LmaxX
l≥1,mC
lm2
= 4π
3 a
3 eq. (3.10)
Le rayon équivalent est alors estimé par
a
CM Meq≈ √C
004π
1 +
LmaxX
l≥1,mC
lm2C
002
. (3.11)
Par cette méthode et à une température de 20
◦C, le rayon équivalent de BCU3 esta
CM Meq=
49975,38 µmavec une incertitude de0,1µm.
3.5. CONCLUSION
3.5 Conclusion
L’outil principal de mesure de la vitesse du son est décrit dans ce chapitre. Le résonateur
quasi sphérique utilisé pour les mesures présentées dans cette étude a les caractéristiques
suivantes :
– une coque en cuivre d’épaisseur minimale de 10 mm ;
– un volume intérieur égale à 0,5 L ;
– possède 6 bouchons coniques en cuivre pour positionner les transducteurs et les tubes ;
– une surface interne faiblement rugueuse car usinée à l’aide d’un outil diamant ;
– un rayon équivalent, déterminé par deux techniques indépendantes, dont les
estima-tions sont répertoriées dans le tableau 3.4.
L’écart relatif de 6×10
−6entre les valeurs des a
eqdéterminés par les deux méthodes est
dû à des modifications du volume intérieur lorsque les hémisphères sont vissés. Cet effet a
été mis en évidence par Albo [81] et Underwoodet al. [82].
Une récente étude sur la détermination du rayon équivalent à l’aide de deux techniques
(pycnométrie et spectroscopie électromagnétique) a permis de diminuer cet écart pour un
autre résonateur à 0,46×10
−6, avec une incertitude relative totale de1,81×10
−6[68].
Tab. 3.4 – Comparaison des valeurs du rayon équivalent obtenus par deux méthodes
Méthode a
eq(enµm) u(a
eq)(enµm)
Spectroscopie électromagnétique 49975,095 0,014
Cartographie tri-dimensionnelle 49975,38 0,1
Pour finir, l’étape qui consiste à assembler les hémisphères à l’aide des deux méthodes
d’alignement développées au LCM/LNE-CNAM, s’est avérée très concluante.
Chapitre 4
Contrôle des paramètres
environnementaux et
instrumentation du résonateur
4.1 Introduction
En rappel de l’équation du viriel acoustique vue en Introduction, la vitesse du son, à
une pressionP et à une températureT dans un gaz de masse molaireM, peut être estimée
de la manière suivante
u
2(T, P) =γ
0RT
M 1 +β
1(T)P+β
2(T)P
2
+...
, (4.1)
où β
1et β
2sont les second et troisième coefficients du viriel acoustique à la température
T. Dans le but de mettre en évidence la dépendance de la vitesse du son par rapport aux
paramètresM,P etT, la figure 4.1 présente les variations deu pour différents gaz (argon,
hélium)
1deP = 0,1 MPa à P = 0,7MPa, àT = 273,16 K etT = 293,16 K.
De plus, pour donner un ordre de grandeur des vitesses du son, le tableau 4.1 permet
de comparer les valeurs deu pour l’argon et l’hélium à celle de l’air
2à P = 0,1 MPa et
T = 273,16 K etT = 293,16K.
Le but de l’expérience décrite dans cette étude étant de mesureru avec une incertitude
inférieure à1×10
−6, ces paramètres constituent alors l’environnement de mesure qu’il est
nécessaire de maîtriser. Ainsi, les mesures sont réalisées dans un environnement contrôlé à
l’aide d’un montage où le résonateur est placé en son cœur. La figure 4.2 décrit les différents
éléments qui le constitue.
L’objet de ce chapitre est de détailler ce montage en présentant ses différents éléments
ainsi que ses différents moyens techniques mis en œuvre permettant le contrôle fin de la
température, de la pression ainsi que de la pureté du gaz.
1
Pour cette illustration, les vitesses du son ont été calculées à l’aide du logiciel RefProp [42]
2