Détermination de la différence de phase finale

La figure 3.11 présente les trajectoires des différents paquets atomiques qui interviennent au cours de la séquence de l’interféromètre. Comme on l’a fait

Fig. 3.10 Phases acquises, dues à l’effet des interactions mutuelles, par les nuages des chemins A (bleu) et B (vert) de l’interféromètre au cours d’une sé-quence constituée de deux impulsions π/2 séparées d’une phase de propagation libre de 9 ms. Les résultats numériques (points) sont comparés avec ce que l’on calcule grâce au modèle (traits pleins). La fin (respectivement le début) de la première (resp. troisième) impulsion Raman correspond au trait pointillé verti-cal.

I II III

Fig. 3.11 Trajectoires des différents paquets atomiques lors de l’interféromètre de Ramsey-Bordé. Les deux bras de l’interféromètre sont représentés par les chemins A et B. On a indiqué la fraction d’atomes qui compose chaque nuage, en fonction de l’efficacité α des impulsions Raman.

dans la section 3.1.3, on considère les temps de séparation T et T0 des nuages suffisamment longs pour que l’on puisse considérer chaque paquet indépendant lors des impulsions Raman. La séquence temporelle est constituée de deux paires d’impulsions Raman séparées d’une durée T pendant laquelle les paquets se pro-pagent librement (séquence de Ramsey). Ces deux interrogations de Ramsey sont elles-même séparées d’une phase de propagation libre de durée T0. Un désaccord

δ_sel est appliqué à la première paire d’impulsions, tandis qu’un désaccord δmes est appliqué à la deuxième paire. En balayant le désaccord δ = δsel− δ_mes, on observe des franges d’interférence. Si l’on considère que le seul potentiel s’appliquant sur les atomes est celui induit par le champ moyen, la position de la frange centrale correspondra alors à la condition δ = ∆φ/T , avec ∆φ = φB− φ_A la différence de phase entre les deux bras de l’interféromètre.

Pour déterminer la phase accumulée sur chacun des bras, on doit suivre chaque chemin jusqu’à la dernière impulsion Raman qui referme l’interféromètre. Pour ce faire, on définit quelques notations utiles qui vont nous permettre de dé-crire simplement le chemin emprunté par les atomes de chacun des bras. On définit tout d’abord φ(m)

i→j comme la phase acquise par le nuage dans l’état |ji, résultant de l’action de la m-ième séparatrice Raman sur un paquet dans l’état |ii. On définit de même φ(M)

dans l’état |ii du chemin P au cours de la M-ième phase d’évolution libre. Avec l’aide de ces notations, les phases accumulées par les bras A et B sont données par : φ_A = φ(1) 1→1+ φ(I) 1,A+ φ(2) 1→2+ φ(II) 2,A+ φ(3) 2→2+ φ(III) 2,A , (3.2.1) φ_B = φ(1) 1→2+ φ(I) 2,B+ φ(2) 2→2+ φ(II) 2,B + φ(3) 2→1+ φ(III) 1,B . (3.2.2)

Dans les expressions (3.2.1) et (3.2.2), les termes φ(m)

i→j correspondant aux impulsions Raman sont donnés par les expressions (3.1.35) ou (3.1.36), en prenant la fraction d’atomes du nuage correspondant. Celles-ci dépendent de la fraction d’atomes dans chacun des paquets à chaque étape de l’interféromètre. Les phases accumulées lors de la première séquence de Ramsey on été calculées dans la section précédente.

A la fin de la deuxième impulsion Raman, tous les atomes dans l’état |1i sont poussés, pour ne pas créer d’interféromètre parasite. Les termes corres-pondant aux phases de propagation libre sont, comme on l’a vu, eux-mêmes la somme d’un terme d’interactions propres et d’un autre rendant compte des in-teractions mutuelles. Etant donné qu’il n’y a plus que des atomes dans |2i après la deuxième impulsion, les termes mutuels disparaissent. On a de plus le même nombre d’atomes dans les deux chemins à ce stade de l’interféromètre, et vu que l’on peut considérer les paquets indépendants, les phases φ(II)

2,A et φ(II)

2,B sont égales, elles ne joueront donc pas de rôle dans la différence de phase totale.

Comme on peut le constater sur la figure 3.11, lors de la troisième phase de propagation libre, le nuage de A, qui est dans |2i, interagit avec deux nuages dans l’état |1i. Au cours de sa propagation, il va s’éloigner du paquet duquel il s’est séparé lors de la troisième séparatrice. Son recouvrement va donc être maximal au début de la phase (III) et nul à la fin. Il va aussi voir le nuage B se rapprocher de lui, de sorte que leur recouvrement est nul au début de (III) et maximal à la fin. On peut appliquer un raisonnement similaire au nuage B qui voit deux paquets dans l’état |2i. Considérons le cas du nuage A. D’après la formule (3.1.51), son intégrale de recouvrement avec le paquet dont il s’est séparé lors de la troisième impulsion Raman est donnée par :

ˆ _t 0 D₁₂(t0)dt0 = √ πw 4vr erf^2vrt w  , (3.2.3)

puisque les deux nuages se recouvrent initialement et se séparent au cours du temps. Les paquets A et B sont, quant à eux, initialement séparés de la distance ∆x(t0) = 2vrT. Ils vont se rapprocher au cours du temps, si bien que ∆x(t) = 2vr(T − t). On aura donc : ˆ _t 0 D₁₂(t0)dt0 = √ πw 4vr " erf^2vrT w  −erf ^2vr(T − t) w !# . (3.2.4)

Les formules précédentes s’appliquent aussi au nuage B, de telle sorte que l’on obtient finalement les phases mutuelles de A et B pendant (III) :

φ^(III),mut_2,A (t) = α2(1 − α)ω12 √ πw 4vr " erf^2vrt w  + erf^2vrT w  −erf ^2vr(T − t) w !# , (3.2.5) φ^(III),mut_1,B (t) = α(1 − α)2ω₁₂ √ πw 4vr " erf^2vrt w  + erf^2vrT w  −erf ^2vr(T − t) w !# . (3.2.6) On doit aussi prendre en compte l’effet de la troisième impulsion Raman sur la distance de séparation des paquets afin de déterminer l’expression complète des phases. On remplacera donc les temps t par t + teff − τ où le temps effectif teff

est calculé de la même façon que dans la section 3.1.3.

La figure 3.12 présente la contribution de ω12 aux phases φA et φB au cours de la seconde séquence de Ramsey. On observe là encore un bon accord entre le modèle et les simulations numériques. De même, les figures 3.13 présentent l’évolution des phases au cours de la séquence de l’interféromètre. La contribution de chaque ωij a été isolée. A la vue de ces figures, il semble que notre modèle soit satisfaisant pour décrire l’effet des interactions sur les bras de l’interféromètre, dans la limite où le condensat est suffisamment dilué pour que les interactions n’agissent qu’en perturbant le système, et dans le cas où les paquets se séparent complètement.

Nous pouvons ainsi nous intéresser à l’influence des différents paramètres sur l’effet systématique engendré par la présence des interactions.

B A

Fig. 3.12 Evolution des phases acquises sous l’effet des interactions mutuelles par les paquets des deux bras de l’interféromètre au cours de la deuxième séquence de Ramsey. Le chemin A est représenté en bleu, tandis que le chemin B figure en vert. Les courbes pleines représentent les résultats donnés par notre modèle et les points correspondent aux simulations numériques.