Réconciliation de données dans le cas de modèles non linéaires
2.6 Détection et isolation de défaut
statisti-2.6. Détection et isolation de défaut
grandeurs non mesurées, l’obtention de ces estimées n’est généralement pas une finalité. En effet, ces estimées sont ensuite utilisées pour la conduite du système afin d’en améliorer les performances. En ce sens, l’analyse des résultats obtenus par la méthode de réconciliation de données va permettre la détection et/ou la localisation de défauts de mesures afin d’alimenter la procédure de conduite par des données cohérentes.
2.6.1 Etat de l’art
Avant l’étape de réconciliation de données, généralement il est important de supprimer les valeurs aberrantes et les biais systématiques affectant les données. Dans les années 20, Shewart a mis au point le principe des cartes de contrôle qui permettent de déterminer le moment où apparaît une dérive d’un processus de fabrication. Dans les années 60− 70, trois types de tests statistiques pour la détection de valeurs aberrantes ont été développésReilly et Carpani[1963],
Almasy[1975] et Mah et al.[1976]. Ces tests sont basés sur l’analyse de résidus, de manière individuelle ou globale, par un test statistique du *2. Romagnoli et Stephanopoulos [1981a], quant à eux, ont présenté une technique off-line d’analyse de jeux de mesures comportant des données aberrantes et sur la base d’un critère de satisfaction de bilans massiques et énergétique, il est alors possible d’identifier rapidement la source des erreurs en supprimant tour à tour une ou plusieurs mesures de la base de données.
Mah et Tamhane [1982] ont proposé un test permettant d’identifier et de localiser les valeurs aberrantes. Narasimhan et Mah [1987] ont également développé une méthode générale pour identifier les données aberrantes, basée sur un test statistique d’un rapport de fonction de log-vraisemblance . De plus en compensant les données aberrantes de manière successive, il est alors possible d’identifier des erreurs multiples. Ces mêmes auteurs ont étendu leur méthode aux systèmes dynamiques (Narasimhan et Mah[1988]).
Maquin et Ragot [1991] ont présenté une étude comparative des différentes méthodes de dé-tection de données aberrantes : vecteur de parité, termes correctifs normalisés, test généralisé de rapport de fonction de vraisemblance, et variation du critère résiduel après suppression de certaines mesures.
McBrayer et Edgar [1995] ont proposé une méthode pour la détection d’erreur et l’estimation pour les systèmes dynamiques, basée sur l’observation des résidus.
Bagajewicz et Jiang[1997,1998] ont développé une technique pour la détection d’erreurs mul-tiples utilisant l’approche intégrale pour la réconciliation de données dynamique.
Amand et al. [2001] ont développé une méthode de détection de défaut basée sur l’analyse en composantes principales combinée avec la réconciliation de données. Cette méthode permet en outre de réduire le nombre de variables méritant d’être surveillées. Cette analyse se fait en deux temps : d’abord la détection d’erreur et ensuite la localisation de la source de l’erreur.
Wang et al. [2002] ont amélioré cette technique en remplaçant le test statistique initialement utilisé dans l’analyse en composantes principales par deux nouveaux tests utilisant les résidus liés aux composantes principales et les résidus élaborés à partir des variables.
Ragot et al. [2003] ont proposé une approche aveugle pour détecter et isoler les erreurs de capteurs. Cette méthode est basée sur l’analyse des données sans aucune connaissance du modèle du système. Cette méthode nécessite cependant de fortes hypothèses sur les signaux d’entrée du système. Bhagwat et al.[2003a,b] ont présenté une méthode de détection des
dé-Chapitre 2. Réconciliation de données dans le cas de modèles non linéaires
fauts pendant les phases de transition du système. Dans ces articles, pour prendre en compte les régimes transitoires non-linéaires, une décomposition en multi-modèle linéaire a été utili-sée. L’estimation des états et le calcul des résidus sont réalisés par des filtres de Kalman et des observateurs en boucle ouverte. La détection et la localisation des défauts en ligne est effec-tuée par comparaison des résidus avec des seuils à ajuster.Kong et al.[2004] ont développé une stratégie d’identification des grosses erreurs basée sur l’estimation paramétrique. Cette méthode est adaptée aux systèmes dynamiques et permet de détecter simultanément plusieurs grosses er-reurs.
Ragot et Maquin [2006] ont dernièrement développé une technique de détection d’erreurs de mesure dans un réseau urbain de distribution d’eau, basée sur l’analyse de signature de défaut.
2.6.2 Analyse des corrections des mesures
L’analyse des écarts entre les mesures et les estimées obtenues par réconciliation de données permet de détecter les erreurs de mesures. Afin de pouvoir comparer entre eux ces écarts, il est nécessaire de les normaliser.
Comme dans la section 2.4.6, il n’est pas possible d’obtenir une expression analytique du vecteur des écarts. Nous allons approcher sa valeur en considérant uniquement les dernières valeurs obtenues après convergence de l’algorithme, des matrices Pi, Ri, Aiet Bique l’on notera respectivement P, R, A et B. Le vecteur des écarts E entre mesures et estimées s’exprime alors, à partir de l’expression (2.20), de la manière suivante :
E = y− H ˆx
= y− H(PR−1HTV−1y + R−1AT(AR−1AT)−1B)
= (I− HPR−1HTV−1)y− HR−1AT(AR−1AT)−1B (2.49) avec
P = I− R−1AT(AR−1AT)−1A (2.50)
Pour pouvoir comparer les différents écarts entre mesures et estimées, on les normalise par la matrice de variance-covariance VE. Une approximation de cette matrice VE peut être obtenue par le calcul suivant :
VE = Esp()E)ET) (2.51)
)E correspond à une variation du vecteur des corrections, qui résulte d’une variation du
vecteur des mesures)y. A partir de (2.49), on peut exprimer E +)E :
E +)E = (I− HPR−1HTV−1)(y +)y)− HR−1AT(AR−1AT)−1B (2.52)
On en déduit)E :
)E = (I− HPR−1HTV−1))y (2.53)
Le report de (2.53) dans l’équation (2.51) donne l’expression de la variance :
2.6. Détection et isolation de défaut
Comme
Esp()y)yT) = V (2.55)
l’équation (2.54) devient :
VE = V− HPR−1HT − HR−1PTHT + HPR−1HTV−1HR−1PTHT (2.56) Compte tenu des expressions de P et R, on en déduit :
VE = V− HR−1PTHT (2.57)
Ce qui permet de définir le vecteur des corrections normalisées individuellement :
En(i) = E(i)
3VE(i, i) (2.58)
2.6.3 Détection des défauts
Dans le cas de modèle linéaire, on peut démontrer que le vecteur des écarts normalisés, en l’absence d’erreurs aberrantes sur les mesures, suit une loi de distribution normale centrée réduite, on peut alors tester la nullité de chaque composante En(i) de ce vecteur par un test statistique bilatéral. S’agissant d’une loi normale centrée réduite, on peut établir précisément pour un seuil de confiance donné+, que l’hypothèse de nullité est acceptée si :
−u1−+/2< En(i) < u1−+/2 (2.59)
où u1−+/2correspond à la valeur de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite pour 1−+/2. Ainsi, pour un seuil de confiance de 5%, on a u1−+/2= 1.96. Après avoir effectué l’estimation des variables d’état, on peut donc éprouver la validité des hypothèses de distribu-tion normale des erreurs de mesures.
Si l’on observe qu’une correction normalisée se situe hors de l’intervalle défini par (2.59), cela correspond à la présence d’une erreur de mesure anormale, par exemple, un biais. Dans ce cas, les hypothèses nécessaires à l’utilisation des méthodes de réconciliation de données n’étant pas satisfaites, il faut alors localiser la mesure suspecte et procéder à une nouvelle phase d’esti-mation en prenant soin de ne pas prendre en compte la mesure erronée.
Ce test peut aussi être étendu au cas des modèles non linéaires ; cependant puisque l’on ne peut justifier l’hypothèse que le vecteur des écarts est distribué suivant une loi normale centrée réduite, on ne peut éprouver avec exactitude la nullité de chaque composante En(i) avec un test statistique bilatéral défini de manière précise pour un seuil de confiance donné. Cependant, on peut tout de même effectuer ce test statistique en imposant des bornes plus larges, en admettant alors que la loi réelle de distribution du vecteur des écarts peut être englobée par une loi de distribution normale centrée mais d’écart-type strictement supérieur à 1.