L’objectif de cette section est de formaliser la notion d’évènement qui sera manipulée tout au long du chapitre. Nous reprenons le cadre formel posé dans la Section 1.5 [CCK11] en introduisant la notion d’attribut dans la formalisation du concept d’évènement. En effet, nous souhaitons main-tenant considérer des évènements munis d’informations (par exemple un identifiant, une qualité, des coordonnées, une vitesse, . . .) sur lesquelles il sera ensuite possible de raisonner en effectuant des comparaisons ou des calculs, et de poser des contraintes. Cette extension primordiale est mo-tivée par de nombreuses applications qui nécessitent de pouvoir raisonner sur des données liées aux évènements du flux que l’on souhaite analyser. Par exemple, supposons que nous surveillons un avion en vol dans le but de s’assurer que la fréquence radio sur laquelle il est réglé correspond bien à celle associée à sa zone de vol. Il faut identifier les évènements relatifs à l’avion au milieu de tous les autres évènements, puis accéder aux données relatives à la fréquence radio et à la position de l’appareil afin d’effectuer des comparaisons entre elles. Dans une autre situation, on peut éga-lement être amené à effectuer des calculs, pour évaluer la distance entre deux avions et garantir une distance minimale.
Nous allons donc introduire la notion d’attribut d’évènement. Les évènements observés pourront être dotés d’une ou plusieurs caractéristiques, que nous appellerons attributs ou propriétés. Nous cherchons à reconnaître des agencements complexes de tels évènements, agencements décrits par des formules de chroniques que nous définirons par la suite. Dans ces chroniques, nous souhaitons exprimer des contraintes sur ces attributs d’évènement. Pour manipuler librement ces propriétés, nous construisons, à partir des attributs d’évènement, des attributs de reconnaissance de chronique qui auront un rôle similaire, à savoir représenter des informations liées au comportement plus global décrit par la chronique. Ainsi, si l’on souhaite écrire des chroniques pour réaliser de l’évitement de collision à partir de mesures radar, il peut être intéressant d’écrire une première chronique calculant la distance entre deux aéronefs à partir des données brutes du radar. Cette chronique correspond alors à la reconnaissance d’une distance avec comme propriétés les identifiants des deux appareils ainsi que la donnée numérique de la distance calculée. La chronique peut ensuite être utilisée au sein d’autres chroniques pour engendrer des alertes par exemple. La chronique, munie de ses nouveaux attributs, peut alors être considérée comme un évènement complexe de plus haut niveau, souvent non ponctuel, et formant une abstraction des évènements du flux. La chronique obtenue peut alors être utilisée pour former une autre chronique, au même titre qu’un simple évènement, et l’on peut disposer de ses attributs.
Pour définir ces notions d’évènement et d’attribut, on considère les trois ensembles suivants : — N un ensemble dénombrable de noms d’évènement, contenant un élément τ utilisé pour
nommer les instants temporels purs ;
— P un ensemble dénombrable de noms de propriété ou aussi de noms d’attribut contenant un élément particulier ♦ dénommant les propriétés anonymes qui désignent les propriétés qui n’ont pas encore été nommées par l’utilisateur ;
2.1.1 Évènements et leurs attributs
Commençons par définir la notion d’évènement. Contrairement à [CCK11], on souhaite consi-dérer un modèle de temps continu. Les évènements sont donc datés par des réels et nous les identifions maintenant par un couple (nom, date) et non plus par leur indice d’occurrence dans le flux d’évènements étudié.
Définition 6 (évènements). Un évènement est une paire (e, t) ∈ N × R composée d’un nom d’évènement et d’une date représentée par un réel. Le nom d’évènement τ ∈ N est réservé pour identifier les évènements temporels purs. Sur l’ensemble des évènements E ⊆ N × R, la projection sur la date est la fonction de datation, notée θ : E → R.
Les informations spécifiques associées aux évènements sous la forme d’attributs sont regroupées dans un ensemble d’attributs comme suit :
Définition 7 (attributs, ensembles d’attributs). Un attribut, aussi appelé une propriété, est une paire a = (p, v) ∈ P × V composée d’un nom de propriété et d’une valeur. Sur l’ensemble des attributs, la projection sur le nom de propriété est appelée la fonction de référence, notée ρ.
Un ensemble d’attributs d’évènement est un ensemble X ⊆ P×V vérifiant la propriété fonction-nelle suivante, qui exprime que X est le graphe d’une fonction, c’est-à-dire que chaque propriété n’a qu’une seule valeur :
∀p∀v((p, v) ∈ X ⇒ ∀w((p, w) ∈ X ⇒ w = v)) (2.1)
Par la suite on considère un ensemble Ae(P, V) d’ensembles d’attributs d’évènement sur
P× V stable par union d’ensembles d’attributs d’évènement ayant des noms disjoints,
c’est-à-dire vérifiant la contrainte suivante :
∀X1∈ Ae(P, V) ∀X2∈ Ae(P, V)
{p ∈ P : ∃v ∈ V(p, v) ∈ X1} ∩ {p ∈ P : ∃v ∈ V(p, v) ∈ X2} = ∅ ⇒ X1∪ X2∈ Ae(P, V)
Cette contrainte de stabilité est nécessaire pour la bonne définition des ensembles de
reconnais-sance donnée dans la Définition 16 (en effet, Ae(P, V) est le domaine de définition de la fonction
D de la Définition 11).
Ces évènements, dotés éventuellement de leurs attributs, sont regroupés sous la forme de flux d’évènements que l’on souhaite étudier et analyser avec notre système de reconnaissance de com-portements.
Définition 8 (flux d’évènements). Un flux d’évènements est défini comme une suite
d’évène-ments ϕ = (ui)i∈N∈ ENordonnée par rapport au temps :
∀i∀j(i < j ⇒ θ(ui) < θ(uj))
et dotée d’une fonction d’extraction d’attributs α : {ϕ(i) : i ∈ N} → Ae(P, V) qui fournit
l’ensemble d’attributs associé à chaque évènement permettant ainsi l’accès aux valeurs des attributs d’évènement simple dans le flux d’évènements.
2.1.2 Opérations sur les attributs
Lors du processus de reconnaissance qui analyse le flux d’évènements pour reconnaître les comportements décrits par des chroniques, des évènements sont rassemblés pour former des recon-naissances, comme ce sera formalisé dans la Section 2.3. Durant ce processus de reconnaissance, des attributs doivent être manipulés et peuvent être modifiés. Il peut être nécessaire de réaliser des opérations sur divers attributs de différents évènements. Si ces opérations sont imbriquées dans un comportement plus complexe à reconnaître, les résultats de ces opérations doivent être sto-ckés sous forme d’attributs associés cette fois-ci aux reconnaissances et non plus aux évènements, afin de pouvoir être utilisés a posteriori. Comme évoqué précédemment, les reconnaissances de comportements sont donc elles aussi dotées d’attributs.
Définition 9 (attribut de reconnaissance). Un ensemble d’attributs de reconnaissance de
com-portements est un ensemble X ⊆ P×Ae(P, V) vérifiant la propriété fonctionnelle (2.1). L’ensemble
des ensembles d’attributs de reconnaissance est noté Ar(P, V).
Comme défini au début de cette section, l’ensemble des noms de propriété contient un nom spécifique, ♦, utilisé comme nom anonyme. Lors de la progression du processus de reconnaissance, des attributs peuvent être calculés et enregistrés sous ce nom, en tant que nouveaux attributs temporaires, avant d’être éventuellement nommés pour être utilisés par la suite, comme il sera détaillé 2.3.2.
Les fonctions suivantes permettent l’expression de telles opérations sur les attributs.
Définition 10 (transformations d’attributs). Une transformation d’attributs est une fonction
définie sur l’ensemble des ensembles d’attributs de reconnaissance Ar(P, V) dans l’ensemble des
ensembles d’attributs d’évènement Ae(P, V) qui permet d’engendrer de nouvelles propriétés qui
seront anonymes jusqu’à ce qu’elles soient oubliées ou nommées.
Une fonction de transformation d’attributs f doit vérifier la contrainte suivante :
∀Xr∈ Ar(P, V) {p ∈ P : ∃v ∈ V(p, v) ∈ f (Xr)}
∩ {p ∈ P : ∃Xe∈ Ae(P, V) ∃pr∈ P((pr, Xe) ∈ Xr∧ ∃v ∈ V(p, v) ∈ Xe)} = ∅
qui exprime que les nouveaux attributs d’évènement créés par la fonction f ont des noms stric-tement différents de ceux déjà employés dans l’ensemble d’attributs de reconnaissance qui est en argument de f. Cette obligation participe à assurer l’unicité d’utilisation des noms de propriété dans une chronique.
L’ensemble des fonctions de transformation d’attributs sur (P, V) est noté T(P, V).
Les transformations d’attributs produisent ainsi de nouvelles données attachées aux reconnais-sances. Pour pouvoir les employer par la suite dans des comparaisons ou des calculs, il est nécessaire de les identifier en les nommant. Les nouvelles propriétés qui sont soit issues d’une transforma-tion d’attributs soit directement issues du flux d’évènements (i.e. des attributs d’évènement) ont d’abord un nom anonyme ♦ qui leur est donné par la fonction suivante :
Définition 11 (fonction de dénomination anonyme). Une fonction de dénomination ano-nyme est définie sur l’ensemble des ensembles d’attributs d’évènement. Elle crée un ensemble d’at-tributs de reconnaissance, réduit à un singleton, en nommant ♦ l’ensemble d’atd’at-tributs d’évènement
initial comme défini ci-dessous : D : Ae(P, V) → Ar(P, V) X 7→ {(♦, X)} si X 6= ∅ ∅ si X = ∅
Les propriétés anonymes ♦ peuvent ensuite être nommées par la fonction suivante :
Définition 12 (fonction de renommage d’attributs). La fonction de renommage d’attributs est définie sur l’ensemble des ensembles d’attributs de reconnaissance et sur l’ensemble des noms de
propriété. Elle nomme l’attribut anonyme ♦ de l’ensemble d’attributs comme défini ci-dessous2 :
R : Ar(P, V) × P → Ar(P, V)
(X, p′) 7→ {(p′, v) : (♦, v) ∈ X}
∪ {(p, v) ∈ X : p 6= ♦}
Ces fonctions permettent d’effectuer toutes les opérations nécessaires à la manipulation d’at-tributs et sont utilisées dans la Section 2.3.2 pour définir le processus de reconnaissance où l’on manipule des attributs qui doivent être nommés et parfois modifiés.