Chapitre 2. Fonctions numériques d’une variable réelle
2.4. Dérivation
La notion de dérivée (comme le mot l’indique bien) est liée à la ”courbure” du graphe représentatif d’une fonction. Cette notion sert aussi dans de nombreuses appli-cations telles que la cinématique, les systèmes dynamiques, etc...
Une fonction ( intervalle ouvert) estdérivable en un point si le rapport
déÞni sur admet une limiteÞnie lorsque
Noter que ce rapport est exactement le coefÞcient directeur de la droite#joignant les points et de coordonnées et .
La limite (lorsqu’elle existe) est notée
ou
et est appelée ladérivéedeen
De même ici, on peut déÞnir une dérivée à gauche et une dérivée à droite au point
: par exemple la dérivée à gauche est, quand elle existe,
Siest dérivable en alors
Si la fonction est dérivable en chaque pointde, on déÞnit lafonction dérivée
Une fonction déÞnie sur un intervalle (avec est ditedérivable sur l’intervalle fermé si
est dérivable sur l’intervalle ouvert
est dérivable à droite en
est dérivable à gauche en. 2.4.2. Exemple
La fonctionest dérivable en tout : en effet
Ce calcul de limite s’effectue avecMatlabpar :
» syms x x0 real
» fDeX=x^2 ;
» fDeX0=x0^2 ;
» fPrimeDeX0=limit((fDeX- fDeX0)/(x-x0),x,x0) fPrimeDeX0 = 2*x0
Grâce à la commandediff, on obtient directement la fonction dérivée :
» fPrimeDeX=diff(fDeX,x) fPrimeDeX=2*x
» fPrimeDeX0=subs(fPrimeDeX,x,x0) fPrimeDeX0 = 2*x0
2.4.3. Interprétation géométrique
Comme nous l’avons dit précédemment, si existe, la droite#admet donc une droite limite# qui est tangente à la courbe représentative de au point . Cette tangente a pour équation cartésienne
En notant
on remarque que pour tout
avec
pour En posant !, on a
! ! !
!
où! !.
Cette dernière égalité donne une premièreapproximation afÞnede au voisi-nage de dès que existe et montre aussi qu’une fonction dérivable en est nécessairement continue en ce point.
2.4.4. Propriétés générales
Si est dérivable et est une bijection de dans", alors est dérivable en tout point où et on a
2.4.5. Dérivées successives
Soit dérivable sur. Si la fonction est dérivable, on dira que est deux fois dérivable et on note
On peut montrer par récurrence la formule dite de Leibnitz :
vraie pour deux fonctions et,fois dérivables. On rappelle que
$$
On dira qu’une fonction est de classe($ sur si existent et sont continues surUne fonction de classe est une fonction continue sur
SousMatlab, le calcul de la dérivée% s’effectue en utilisantdiff. Par exemple, pour
» syms x real ;
» fDeX=(x^3+2*x-5)*exp(x);
» fOrdre4DeX=diff(fDeX,x,4);
» factor(fOrdre4DeX)
ans=exp(x)*(x+1)*(x^2+11*x+27) on obtient
2.4.6. Conséquences de la dérivation
Les premières propriétés de la dérivation sont :
SidéÞnie sur est dérivable en et admet un extremum en alors
Si est continue suravecet est dérivable suralors il existe un point&detel que &
Ce dernier résultat est connu sous le nom duthéorème de Rolleet exprime le fait qu’il y a au moins un point où la courbe représentative deadmet une tangente horizontale (c’est-à-dire parallèle à l’axe des abcisses).
Si est continue suret est dérivable suralors il existe un point&detel que &
C’est le théorème des accroissements Þnis (T.A.F). Il exprime le fait qu’il existe au moins une tangente à la courbe de parallèle à la sécante joignant les points de
coordonnées et. (VoirÞgure ci-dessous).
−1 −0.5 0 0.5
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
x Illustration du T.A.F
a c b
En écrivant !et sachant qu’un point de l’intervalle ouverts’écrit sous forme
& ' '!
où', on obtient la formulation courante
!! '!
qui exprime bien l’idée d’accroissementsÞnis. De ce théorème on déduit aussi (sous les mêmes hypothèses) :
est croissante sur si
est décroissante sur si
est constante sur si
2.4.7. Etude d’une fonction avec Matlab
On se propose d’étudier les variations de la fonction déÞnie surpar
et de tracer sa courbe représentative.
– Cette fonction est de classesur.
– On déclare l’expression symbolique correspondant à la fonction, on calcule la dérivée et on la factorise :
» syms x real
» f=1+x*exp(-x);
» fprime=diff(f)
=exp(-x)-x*exp(-x)
» factor(fprime)
=-exp(-x)*(-1+x)
Ce résultat est sufÞsant pour donner le signe de mais on peut aussi résoudre l’équation
ou l’inéquation
» solve(fprime) ans=1
»maple(’solve(-exp(-x)*(-1+x)0)’) ans = realRange(-inf,open(1))
Ainsi, la dérivée est positive surOn calcule alors, symboliquement et nu-mériquement,, puis les limites deen et
»fDe1=subs(f,x,sym(1)) fDe1=1+exp(-1)
» double(fDe1) ans=1.3679
» limit(f,x,-inf,’right’) ans=-inf
» limit(f,x,inf,’left’) ans=1
D’où le tableau de variations
On construit le graphe sur un intervalle contenantpar exemple :
» ezplot(f,-1,5)
» grid on
» axis auto% ajuste le cadre
» dessineRepere
−1 0 1 2 3 4 5
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
x 1+x*exp(−x)
2.4.8. Retour à l’exemple modèle
Etudions la dérivabilité et la continuité de la fonction dérivée ende la fonction :
si
sinon.
La fonctionest indéÞniment dérivable sur. On déclare les deux expressions de
» syms x real
» f1Moins =(3-x^2)/2 ;
» f1Plus=1/x ; On calcule les limites à gauche et à droite suivantes :
,
» taux1Moins = (f1Moins - 1)/(x-1) taux1Moins = (1/2-1/2*x^2)/(x-1)
» factor(taux1Moins) ans = -1/2*x-1/2
» taux1Plus = (f1Plus - 1)/(x-1) taux1Plus = (1/x-1)/(x-1)
» factor(taux1Plus) ans = -1/x
» limit(taux1Moins,x,1,’left’) ans = -1
» limit(taux1Plus,x,1,’right’) ans = -1
Ces deux limites étant égales, la fonction est dérivable enet Pour la continuité de la fonction dérivée en 1, on calcule
et
» f1MoinsPrime = diff(f1Moins) f1MoinsPrime = -x
» f1PlusPrime = diff(f1Plus) f1PlusPrime = -1/x^2
» limit(f1MoinsPrime,x,1,’left’) ans = -1
» limit(f1PlusPrime,x,1,’right’) ans = -1
Donc est de classe(continûment dérivable) et
si
si
sinon.
Pour le graphe de cette fonction déÞnie par morceaux, on crée unÞchier appelé dans lequel est déÞnie la fonction
function y = f1(x) if(x1) y = (3-x.^2)./2 ; else y =1./x ;
end
puis on utilisefplotpour le tracé de la courbe :
» fplot(’f1’,[-3 3])
» grid on ; hold on
» plot(1,f1(1),’o’)% pour marquer le point d’abscisse 1
» dessineRepere
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3