Dépendance de la distribution en fonction du nombre de Weber

2.5 Analyse

2.5.3 Dépendance de la distribution en fonction du nombre de Weber

Cette section récapitule les données expérimentales de cette étude en les comparant avec ceux

de la littérature, afin d’améliorer la compréhension des différents régimes de fragmentation.

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ We 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ SMD/D 0

Gallium/water Reconstructed SMD Gelfand et al. (1996) Liquid/Gas Bag Chou and Faeth 1998

Liquid/Gas Shear Chou et al. 1997

Liquid/Gas Reconstructed SMD (Pilch and Erdman, 1987) Rayleigh-Taylor Scaling

Kelvin-Helmholtz Scaling

Turbulence Modulated Rayleigh-Taylor (Rimbert and Castanet, 2012) Viscosity Shear Model (Chou and Faeth, 1997)

Figure^{2.30 – SMD adimensionné en fonction du nombre de We. Les barres représente l’erreur}

de déviation, la variation est due à l’échelle logarithmique.

Dans la majorité des applications de sprays, le diamètre de Sauter est la caractéristique la

plus représentative de la distribution finale des gouttes. Les résultats typiques du SMD/D0 sont

donnés dans la Figure 2.30, englobant ceux de cette étude et ceux de la littérature, de Gelfand

[1996] pour le système liquide-liquide, et de Chou et Faeth [1998] et Pilch et Erdman [1987] pour

le système liquide-gaz. Il faut noter qu’il est difficile d’obtenir des nombres de Weber importants

avec notre dispositif expérimental. Gelfand [1996] a rapporté les résultats de Kimet al. [1983],

qu’a utilisé comme dans la majorité des cas un système basé sur une onde de choc pour atteindre

des hauts nombres de Weber.

Dans les précédentes études, il semble que c’est le diamètre moyen qui est utilisé pour

ca-ractériser la distribution finale des gouttes, mais la définition n’est pas du tout claire, on

soup-çonne fortement qu’il s’agit du diamètre médian en masse, puisqu’il était couramment utilisé à

l’époque dans le domaine de l’étude des sprays. Il a été rapporté dans plusieurs études, parmi

lesquelles Simmons [1977]; Chouet al.[1997]; Chou et Faeth [1998]; Zhaoet al.[2011], un rapport

MMD/SMD constant, égal à 1.2 dans le cas de la fragmentation d’une unique goutte dans un

écoulement. Cette valeur est entachée d’incertitude, puisque elle est comprise entre 1.2 et 1.4,

ainsi l’erreur qu’on obtient pour le SMD est d’environ 15 %. Quoi qu’il en soit, dans la suite,

la correction du diamètre moyen ne change pas l’allure (définie par l’exposant), mais seulement

le pré-facteur. Ainsi, à l’aide de cette approximation, les données du SMD/D0 ont été résumées

dans la Figure 2.30, qui montre une dépendance au nombre de Weber avec une loi de puissance,

SM D/D

₀

=aW e

(2.24)

La valeur de bsemble prendre quatre valeurs en accord avec l’intervalle du nombre de Weber et

le rapport de densité :

— Pour les systèmes liquide-liquide

— For W e≤400, b=−1/2

— For W e >400, b=−1

— Pour les systèmes liquide-gaz

— For W e≤4000, b=−0.66

— For W e >4000, b=−0.25

Dans la Figure 2.30, le changement de pente autour d’un nombre de Weber de 400 pour

le système liquide-liquide peut éventuellement être interprété comme une transition entre un

régime de fragmentation contrôlé par l’instabilité de Rayleigh-Taylor (souvent associé au régime

de fragmentation en sac, voir la section 2.5.1), à un régime contrôlé par Kelvin-Helmholtz (souvent

associé à un régime d’épluchage, shear breakup). Suivant la suggestion de Rimbert et Castanet

[2011], si on réécrit les longueurs d’ondes les plus instables, obtenues par analyse linéaire en

fonction du nombre de Weber, pour l’instabilité de Rayleigh-Taylor et l’instabilité de

Kelvin-Helmholtz (Après avoir estimé l’accélération en utilisant le coefficient C

de la goutte), on

retrouve :

λ

_{RT ,max}

D0 ^{= 2}

s

2ρ

CD(ρD−ρA)W e ^∝^{W e}

−1/2

(2.25)

De la même manière, on obtient la relation suivante pour l’instabilité de Kelvin-Helmholtz :

λKH,max

D

₀

⁼

3π(ρ

+ρ

)

ρ

1 W e ^∝^{W e}

−1

(2.26)

La comparaison avec l’équation 2.25 et l’équation 2.26, montre qualitativement un bon

ac-cord avec les exposants retrouvés pour le SMD. A noter que ni l’instabilité de Rayleigh-Taylor, ni

l’instabilité de Kelvin-Helmholtz n’ont été en mesure de décrire correctement les données pour le

système liquide-gaz et ceux collectées dans la revue de Pilch et Erdman [1987]. Fait intéressant,

pour les faibles nombres de Weber, l’exposant semble assez proche de -0.66, ce qui peut être

interprété comme étant un mécanisme de ré-agglomération des particules produites par les

liga-ments, selon [Rimbert et Castanet, 2011]. Concrètement, en raison des incertitudes, il est possible

d’utiliser la même valeur d’exposant pour l’intervalle de Weber considéré ici (50 ≤W e ≤118).

D’ailleurs, en appliquant le modèle développé pour la ré-agglomération turbulente par le fluide

ambiant, on peut calculer le paramètre d’ajustementσ

_lnd

de la distribution log-normale par la

relation suivante,

σ

_lnd

= ¹

2^σ

^ln

^(2.27)

ouσ

_ln

est la paramètre d’ajustement de la loi log-stable qui décrit l’intermittence en turbulence.

Dans le papier de [Rimbert, 2010], il a été montré que :

σ

_ln^α

= ln

λ

η

(2.28)

où α = 1.70 est le paramètre de la loi stable, λ est l’échelle de Taylor en turbulence et η est

l’échelle de Kolmogorov. Afin de déterminer le rapport entre ces deux valeurs, il est possible

d’utiliser la loi de proportionnalité [Tennekes, 1972],

λ

η ^∝^Re

. (2.29)

Cette relation mène à une faible variation en fonction du nombre de Reynolds, considérant

l’intervalle étudié compris entre 9765 et 13809, la valeur obtenue pourσ

_ln_d

est proche de 0.8 pour

tous les nombres de Weber considérés, en accord avec la section 2.4.3. A noter que le modèle

initial envisage une loi log-stable avec un coefficient d’indice de stabilité de 1.7 alors que la loi

log-normale est log-stable avec un indice de stabilité de 2 ; toutefois il est impossible de distinguer

les deux PDF dans notre étude, puisqu’elles diffèrent principalement par le nombre des

gout-telettes fines que le traitement d’image n’est pas capable de capter. En revanche, l’analyse par

tamisage montre un saut dans le nombre des gouttelettes fines, que la loi log-normale ne peut

pas décrire (ainsi les paramètres sont approximativement constants pour l’intervalle de Weber

entre 59 et 118).

Examinons un autre modèle pour les nombres de Weber importants. Selon Hsiang et Faeth

[1992], dans le régime d’épluchage on a,

SM D

D0 ⁼^Cs

ρD

ρ

1 4

νL

U D0

1 2

(2.30)

avecC

, une constante égale à 6,2. Par conséquent dans ce modèle, la taille des gouttes ne dépend

que du nombre de Reynolds ; avec les notations(Oh, W e), cela se traduit par,

SM D

D0 ⁼^C

^Oh

W e

⁻¹4

(2.31)

ce modèle est illustré dans la Figure 2.30.

Afin d’obtenir l’équation (2.31), Hsiang et Faeth [1992] ont utilisé un simple modèle de couche

limite dans la goutte, en supposant que le SMD est proportionnel à l’épaisseur de cette dernière.

Dans ce modèle d’atomisation purement visqueux, l’effet de la tension de surface est supposé

négligeable. Malheureusement, Hsiang et Faeth [1992] ont utilisé le modèle de manière

inappro-prié pour modéliser leurs données expérimentales, utilisant ainsi l’équation (2.31) pour tous les

régimes de fragmentation sauf le régime d’épluchage, alors que c’est à priori le seul régime où

l’hypothèse d’atomisation purement visqueuse est valide.

Quoi qu’il en soit, dans la Figure 2.30, le modèle semble décrire d’une manière satisfaisante

les résultats expérimentaux de Pilch et Erdman [1987], pour le régime à haut nombre de Weber,

avecCsproche de 1,5. Quelques précautions doivent être prises pour les données de [Pilch et

Erd-man, 1987], puisque elles sont issues des rapports de Laneet al.[1949]; Lane et Dorman [1952] et

seulement d’un article de Lane [1951], pour des gouttes d’eau dans l’air, avec un diamètre entre

0.5 et 5,0 mm, ainsi, le nombre d’Ohnesorge est compris entre 1.6.10

⁻³

et 5.10

⁻³

. Une valeur

moyenne de3.10

⁻³

a été utilisée pour fixer la constanteC

.

Afin de conclure cette section, les résultats expérimentaux décrits par le SMD adimensionné

présentent un bon accord avec le résultat de l’analyse linéaire pour l’instabilité de

Rayleigh-Taylor, alors que pour les nombres de Weber importants dans le cas du système liquide-liquide,

les résultats semblent plutôt en accord avec l’instabilité de Kelvin-Helmholtz. Pour le système

liquide-gaz, les données sont bien décrites par l’instabilité de Rayleigh-Taylor pour les faibles

nombres de Weber (mais nécessite d’être modulées par l’effet de la turbulence pour trouver un

meilleur accord) alors que pour les nombres de Weber importants, il semble que le mécanisme

d’épluchage soit prédominant. La transition entre les deux régimes (Rayleigh-Taylor à

Kelvin-Helmholtz) semble se situer autour d’un nombre de Weber de 400, dans le cas liquide-liquide,

alors que dans le cas liquide-gaz, la transition (entre le régime de Rayleigh-Taylor et le régime

d’épluchage) est autour de 4000.

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