Um Sistema de Afinação Justa pode ser representado em um Diagrama Reticular, que é um gráfico n-dimensional, no qual n é o número de Limites representados pelo Diagrama. Por praticidade, desconsideramos o Limite-1 (Uníssono) e o Limite-2 (Oitava), o que significa novamente que estamos considerando apenas intervalos transpostos dentro de uma Oitava, ou seja, partimos da idéia que Sistemas de Afinação se repetem igualmente a cada Oitava. Considerando apenas o Limite-3, o seu diagrama reticular resultará em um gráfico unidimensional, enquanto que um Sistema de Afinação no Limite-7 – com intervalos musicais no Limite-3, Limite-5 e Limite-7 – resultará em um gráfico tri-dimensional.
O gráfico, em forma de rede, tem como ponto de partida a proporção [1:1] – o Uníssono – que é o tom inicial de qualquer Sistema de Afinação e corresponde à Fundamental (1º termo) do modelo da Série Harmônica. Tomando como exemplo uma Afinação Justa no Limite-3 (formado
por sucessões de Quintas), cada ponto seguinte do ponto de partida [1:1] corresponde a uma superposição de Quintas, de modo que a rede, com quatro pontos, se configura da seguinte maneira:
[1:1] --- [3:2] --- [9:8] --- [27:16] C G D A
A relação entre os pontos adjacentes é sempre de [3:2]. Podemos mudar o ponto de partida deste gráfico, para que o tom G (Sol) seja representado pela proporção [1:1], o resultado é o seguinte:
[4:3] --- [1:1] --- [3:2] --- [9:8] C G D A
A relação ente C e G continua sendo de uma Quinta [3:2], mas tendo o G como ponto de partida, o C está em uma relação de Quarta Justa [4:3] em relação ao G. A Quarta Justa [4:3] é o intervalo invertido na Oitava da Quinta Justa [3:2]. Logo, temos dois sentidos para seguir do ponto de partida, um será uma sucessão de Quintas e o outro uma sucessão de Quartas. O sentido das Quintas é “positivo”, ao caminharmos nesse sentido estaremos acrescentando Quintas, já o sentido das Quartas é negativo, e significa o mesmo que subtrair Quintas ou acrescentar Quartas. Nos diagramas aqui apresentados, arbitrariamente, o sentido da direita foi escolhido como a sucessão de Quintas (positiva), e o da esquerda (negativa), a sucessão de Quartas. O próximo exemplo possui seis pontos:
[16:9] --- [4:3] --- [1:1] --- [3:2] --- [9:8] --- [27:16] Bb F C G D A
Ainda tendo esse último diagrama como referência, adicionaremos uma nova dimensão a ele. Essa nova dimensão representará intervalos no Limite-5, assim, o Limite-3 continua representado pela dimensão horizontal, e o Limite-5 pelo eixo vertical. Da mesma maneira, um sentido será positivo e outro negativo. Escolhemos que a direção para cima seja a positiva (Sucessão de Terças Maiores) e, para baixo, negativa (Sucessão de Sextas Menores, inversão da Terça Maior). O exemplo seguinte acrescenta dois pontos partindo de C, uma Terça Maior acima, e uma Terça Maior abaixo.
[5:4] E | | [16:9] --- [4:3] --- [1:1] --- [3:2] --- [9:8] --- [27:16] Bb F C | G D A | | [8:5] Ab
O diagrama seguinte acrescenta pontos acima e abaixo de todos os pontos do último diagrama. Para obtermos uma maior precisão dos pontos, o próximo diagrama contém também os valores em cents dos intervalos.
[10:9] --- [5:3] --- [5:4] --- [15:8] --- [45:32] --- [135:128] D (182 cents) A (884 cents) E (386 cents) B (1.088 cents) F# (590 cents) C# (92 cents) | | | | | | | | | | | | [16:9] --- [4:3] --- [1:1] --- [3:2] --- [9:8] --- [27:16] Bb (996 cents) F (498 cents) C (0 cents) G (702 cents) D (204 cents) A (906 cents) | | | | | | | | | | | | [64:45] --- [16:15] --- [8:5] --- [6:5] --- [9:5] --- [27:20]
Gb (610 cents) Db (112 cents) Ab (814 cents) Eb (316 cents) Bb (1.018 cents) F (520 cents)
O gráfico, agora, possui 6 pontos em cada uma das três linhas horizontais, e seis colunas verticais. Ao percorrermos a rede nas linhas horizontais, ainda estamos operando na dimensão das Quintas, como [15:8], que está uma Quinta acima de [5:4], e assim por diante. Uma propriedade dos diagramas é que se invertemos o sentido de um caminho qualquer, partindo de [1:1], chegamos ao seu intervalo invertido38. O caso mais simples já foi descrito – F [4:3] é a inversão de G [3:2]. Outro
exemplo: F# [45:32] é a inversão de Gb [64:45], Eb [6:5] é a inversão de A [5:3], etc.
Os nomes tradicionais dos tons, representados por letras, são de caráter demonstrativo, para dar uma idéia aproximada (relacionada à percepção categórica) do valor, em relação ao nosso Sistema Temperado. Para uma precisão mais acurada, temos os valores em cents. Assim, podemos
38 Para encontrar o valor em cents da inversão de um intervalo, apenas subtraímos seu valor em cents de 1.200 (valor da Oitava).
comparar os intervalos de [9:5] e [16:9] (ambos denominados de “Bb”) e aferir a diferença de 22 cents39 entre eles.
A propriedade mais interessante dos Diagramas Reticulares é a de apontar o “caminho” que compõe um intervalo. Seguindo o exemplo que já trabalhamos anteriormente, [6:5] (Terça Menor) pode ser claramente compreendido como somar uma Quinta [3:2] e subtrair uma Terça Maior [5:4]. Fica óbvio, também, que o caminho para [6:5] pode ser o de primeiro subtrair uma Terça Maior (chegando em [8:5]) e depois somar uma Quinta.
O próximo Diagrama (Figura I.2) representa um Sistema de Afinação no Limite-7 (Sistema de Afinação da Tabela I.5), um gráfico tridimensional, em que o eixo vertical e horizontal correspondem exatamente ao nossos diagramas no Limite-5, e o novo eixo do Limite-7 segue em apenas um sentido, o positivo.
Figura I.2 – Diagrama da Afinação Centaur de Kraig Grady.
O próximo Diagrama é bidimensional, porém, está no Limite-7. Acontece que os intervalos no limite-5 não foram utilizados, assim, temos apenas duas dimensões – o eixo horizontal (Limite- 3) e o eixo vertical (Limite-7). Este diagrama representa o Sistema de Afinação Justa de La Monte Young para sua obra The Well Tempered Piano. Os nomes tradicionais das notas representam as
39 No Anexo II Apanhado Histórico, veremos que essa diferença corresponde à Coma Sintônica ou Ptolemaica.
teclas do piano, que foram afinadas de acordo com as respectivas proporções, tendo como ponto de partida o Eb. [49:32] --- [147:128] --- [441:256] --- [1323:1024] B F# C# G# | | | | | | | | [7:4] --- [21:16] --- [63:32] --- [189:128] --- [567:512] C G D A E | | | | | | [1:1]--- [3:2]--- [9:8] Eb Bb F
Esse modelo de elaboração de Sistemas de Afinação é um procedimento usual na teoria de Afinação Justa (vide Anexo II Apanhado Histórico). Partindo de intervalos justos encontrados na Série Harmônica, podemos combiná-los de acordo com os números primos. O conceito de Limite e o Diagrama Reticular provêm uma forma de categorizar e representar intervalos justos. Dessa maneira, cada sistema de Afinação Justa está em um determinado Limite e possui seu respectivo Diagrama Reticular. Em outra instância, o próprio esquema do Diagrama Reticular serve como ferramenta de elaboração de Afinações Justas, ao inserir e excluir pontos em uma rede. No Anexo II, traçaremos um panorama dos Sistemas de Afinação, tendo como fio condutor o conceito de Limite. O Anexo II se vale dos princípios apresentados neste Anexo para traçar um panorama histórico sobre Sistemas de Afinações – um embasamento para questões discutidas no Primeiro Capítulo. O Anexo IV traz uma última discussão sobre Afinação Justa, e a relação entre Escala e Espectro, a partir do trabalho de Harry Partch (1974).
Diagramas com mais de três dimensões, como é o caso do Diagrama Reticular do Sistema de Partch no Limite-11, deixam de ser uma representação visual simples. O exemplo a seguir, na Figura I.3, é o Diagrama desenvolvido por Joe Monzo40. Cada uma das quatro dimensões (Limites)
é representado por um ângulo no gráfico. Tomemos uma linha horizontal para demarcar o ângulo de 0 graus, no ponto que corresponde às 9 horas de um relógio e, no sentido horário, contamos os graus dos ângulos que correspondem às dimensões e Limites. Assim, a dimensão das Quintas (Limite-3) se encontra em um eixo em torno de 120˚, a de Sétimas (Limite-7) em torno de 205˚, a de Terças Maiores (Limite-5) em torno de 220˚, e a de Décima Primeira (Limite-11) em torno de 260˚.
Figura I.3 – Diagrama do Sistema de Partch.