1, λm, λmλM (1 + λM) C2 M ) > 0.
On note que dans les applications aux opérateurs cinétiques linéaires de noyau de collision de dimension 1, la coercivité macroscopique ne vaut que pour les fonctions à moyenne nulle et et une conséquence de l’inégalité de Poincaré.
B.2 Démonstration du Théorème B.1.1
L’idée est d’appliquer le Théorème B.1.2 au problème (B.1). On note Π le projecteur orthogonal sur le noyau de l’opérateur L dans l’espace L2(µ−1/2) :
Π h = µ
Z
R3
h dv = µρ(h).
Démonstration du Théorème B.1.1. On considère H = L2(µ−1/2), les opérateurs
LF = ∂v · (∂v+ v)F, T F = v · ∂x− (v ∧ Be) · ∇vF.
Vérifions les hypothèses du Théorème B.1.2. Tout d’abord, montrons la condition de coer-civité microscopique. En effectuant des intégrations par parties en variable v, on obtient
hLF, F i = h∇v · (∇v + v)F, F i = −
Z
T3×R3 |∇v(F/µ)|2µ dxdv
la condition de coercivité macroscopique. L’opérateur T Π est défini comme suit : T ΠF = v · ∇x µ(v) ( Z F dv) = v · ∇xρ(F (t))µ(v).
En utilisant l’inégalité de Poincaré en espace sur le tore T3, on obtient alors kT ΠF k2 = Z µ2(v)|v · ∇xρ(t, x)|2µ−1(v) dxdv = α Z |∇xρ(t, x)|2dx = αk∇xΠF k2 ≥ CP αkΠF k2, où α = R
R3 |v1|2µ(v) dv et CP > 0 est le constant de Poincaré. Ceci implique que
l’hy-pothèse (H2) est vérifiée avec λM = 2 α CP > 0.
Comme Z
R3
v µ(v) dv = 0,
on a
Π T ΠF = 0, ∀F ∈ H,
et la condition de dynamique macro-parabolique (H3) est donc vraie.
Maintenant, on va vérifier la condition de bornitude de l’opérateur auxiliaire A donné par AF := (1 − α∆x)−1∇x· Z R3 v0F (v0) dv0 µ(v). où α =R
R3 |v|2µ(v) dv. Commençons par calculer ALF := (1 − α∆x)−1∇x· Z R3 v0LF (v0) dv0 µ(v). (B.4)
Pour expliciter ALF , on note qu’en effectuant des intégrations par parties par rapport à
v, on obtient Z R3 v LF (v) dv = Z R3 = Z R3 v∇v· (∇v+ v)F dv = − Z R3 µ ∇v F µ ! dv = Z R3 F µ ∇vµ dv = 2 Z R3 ∇vµ1/2× F µ1/2 dv,
on a utilisé l’égalité suivante
∇vµ µ = 2
∇vµ1/2
ALF = 2(1 − α∆x)−1∇x·
Z
R3
∇v0µ1/2× F
µ1/2 dv0 µ(v).
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz et la continuité de l’opérateur (1 − α∆x)−1∇x sur L2 (en tant qu’opérateur pseudodifférentiel d’ordre -1), on obtient
kALF k ≤ 2Cα √ αk(Id − Π)F k. où Cα = sup ξ∈Z3 |ξ| 1+α|ξ|2
> 0 est la constante de bornitude de l’opérateur (1 − α∆x)−1∇x sur L2. On passe maintenant à l’opérateur AT (Id − Π), on a
AT (I − Π)F = (1 − α∆x)−1∇x· Z R3 v0T (Id − Π)F (v0) dv0 µ(v) = (1 − α∆x)−1∇x· Z R3 v0(v0· ∇x− (v0∧ Be) · ∇v) (Id − Π)F (v0) dv0 µ(v)
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz et en utilisant la continuité de l’opérateur (1−α∆x)−1∆x sur L2, on obtient
kAT (Id − Π)F k ≤ α(1 + kBekL∞(T3))Cα0 k(Id − Π)F k, où Cα0 = sup
ξ∈Z3 |ξ|2
1+α|ξ|2
> 0 est la constante de bornitude de l’opérateur (1 − α∆x)−1∆x
sur L2. La condition (H4) est donc vérifiée avec
CM = 2Cα√
α + α(1 + kBekL∞(T3))Cα0 > 0.
Par conséquent, la preuve du Théorème B.1.1 est complète par application directe du Théorème B.1.2 avec un taux de décroissance donné par
λ = λM 3(1 + λM) min ( 1, λm, λmλM (1 + λM) C2 M ) > 0.
Cette thèse est consacrée sur l’étude de l’équation de Fokker-Planck avec un champ magnétique extérieur. Plus précisément, dans le chapitre 2, nous avons prouvé le retour à l’équilibre des solutions de cette équation avec un taux exponentiel dans des espaces de type L1 avec un poids polynomial ainsi dans des espaces de Sobolev non-classiques avec un poids polynomial. La preuve de ces résultats est basé sur des premiers résultats d’hy-pocoercivité obtenus dans le même chapitre dans les espaces de Hilbert L2 et H1 avec un poids exponentiel, puis nous avons pu étendre ces résultats aux espaces beaucoup plus large en appliquant la méthode d’élargissement des espaces de Banach. Ensuite, dans le chapitre 3, nous nous sommes intéressés à obtenir des régularités en variables de vitesse des solutions de l’équation considérée . Pour cela, nous avons montré sous une hypothèse de type Lipschitzienne sur le champ magnétique une estimation de type “hypoellipticité maximale”. Cette dernière nous a donnée la caractérisation optimale du domaine maxi-male de l’opérateur de Fokker-Planck avec un champ magnétique. Cela nous permet en particulier d’obtenir la régularité dans des variables vitesses. La preuve de cette estima-tions est basé sur une approche nilpotente pour des opérateurs polynômes de champs de vecteurs et en incluant la notion de la réprésentation sur une algèbre de Lie. Ce travail a profité aussi d’un appendice sur l’accrétivité maximale dans le cas où le champ magné-tique non régulier. Cette question nécessite de prouver des régularités faibles en suivant la preuve originale de Hörmander sur l’hypoellipticité de l’opérateur associé dans le cas lisse et nous combinons avec des résultats plus classiques de Rothschild-Stein pour des opérateurs de Hörmander de type-2. Finalement, nous nous sommes intéressés à étudier l’opérateur de Kramers-Fokker-Planck quadratique avec un champ magnétique constant et en présence d’un potentiel électrique quadratique. Le but de cette étude est d’expliciter l’influence du champ magnétique sur le retour à l’équilibre. Nous avons commencé par décomposer l’opérateur considéré en opérateur de création et d’annihilation afin d’asso-cier cet opérateur à une matrice de taille d × d. Puis nous avons calculé le spectre de l’opérateur en fonction du spectre de sa matrice associée, en suivant l’étude abstraite de Aleman-Viola pour des opérateurs quadratiques symétrisés. Nous avons prouvé en par-ticulier que le trou spectral de l’opérateur étudié tend vers zéro lorsque le champ ma-gnétique tend vers l’infini. Cela nous a dit que le champ mama-gnétique ralenti le retour à l’équilibre. En plus, nous avons exprimé explicitement la norme exacte de la matrice exponentielle −tMa,b, qui coïncide avec la norme du semi-groupe associé à l’opérateur considéré proche de l’équilibre. La preuve de ce dernier résultat est basé sur la méthode
tions explicites et précises de cette dernière norme, ainsi des estimations uniformes en temps lorsque le champ magnétique tend vers l’infini. Et nous avons fini ce chapitre par des illustrations numériques qui justifient les résultats théoriques obtenus.
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1.1 Magnétosphère . . . 12 1.2 L’ionosphère qui protège la terre. . . 12 1.3 Schéma montrant les principaux éléments d’un tokamak. Source : Figure
5 dans [57] . . . 13 1.4 Mouvements hélicoïdal d’une particule de charge négative dans un champ
magnétique. . . 14 1.5 Les composantes de la vitesse paralléle et perpendiculaire au champ
ma-gnétique . . . 15
3.1 Comportement en temps de log(ke−t Ma,0k) avec b = 0 et a = 24 > 1/4 . 112 3.2 Comportement en temps de log(ke−t Ma,0k) avec b = 0 et a = 0.2 < 1/4 . 112 3.3 Comparaison entre le comportement en temps de la norme ke−t Ma,bk et
leurs approximations en temps petit des erreurs (−hAi3t7et hAi3t7) avec
b = 2 de gauche à droite. . . 113
3.4 Comparaison entre le comportement en temps de la norme ke−t Ma,bk et leurs approximations en temps petit des erreurs (−hAi3t7et hAi3t7) avec
b = 10 de gauche à droite. . . . 113 3.5 Comparaison entre le comportement en temps de la norme ke−t Ma,bk et
son développement limité quand t → 0 à l’ordre 6 lorsque b = 2. . . 114 3.6 Comparaison entre le comportement en temps de la norme ke−t Ma,bk et
son développement limité quand t → 0 à l’ordre 6 lorsque b = 10. . . 114 3.7 Comparaison entre le comportement en temps de la norme ke−t Ma,bk et
ses approximations associés à la Proposition 3.1.5 quand b = 8. . . 115 3.8 Comparaison entre le comportement en temps de la norme ke−t Ma,bk et
ses approximation associés à la Proposition 3.1.5 quand b = 5. . . 115 3.9 Comparaison entre le comportement de temps de log(ke−t Ma,bk) quand
b = 0 et quand b 6= 0 de gauche à droite . . . 116
3.10 Comportement en temps t de ke−t Ma,bk en plusieurs valeurs de b = 20, 50 et 100. . . 116 3.11 Comparaison entre le comportement en temps de la norme et<λ1ke−t Ma,bk
et v u u t c2 2+ 1 c2 1+ c2 2 lorsque a = 8 et b = 12. . . 117
3.12 Comparaison entre le comportement en temps de la fonction et<λ1ke−t Ma,bk et ses approximations donnés dans la Proposition 3.1.6 avec a = 8 et
b = 12 de gauche à droite lorsque C = 50. . . 117
3.13 Comparaison entre le comportement en temps de la fonction et<λ1ke−t Ma,bk et ses approximations donnés dans la Proposition 3.1.6 avec a = 8 et
Mot clés : Équation de Fokker-Planck ; hypocoercivité ; champ magnétique ; hypoellip-ticité maximale ; trou spectral ; semi-groupe.
Resumé : Cette thèse est dédiée à l’étude de l’équation cinétique de Fokker-Planck en présence d’un champ magnétique externe et fort. Premièrement, nous montrons le re-tour exponentiel à l’équilibre des solutions de cette équation dans des espaces de type
Lp et des espaces de Sobolev à poids poly-nomial non-classique. Deuxièmement, nous nous intéressons à une estimation de type maximal sur l’opérateur associé. Cette es-timation permet de donner une meilleure
caractérisation du domaine de la fermeture de l’opérateur considéré . Finalement, nous étudions l’opérateur quadratique de Fokker-Planck électro-magnétique. Nous calculons explicitement la norme du semi-groupe as-socié à l’opérateur considéré. Nous mon-trons des estimations explicites et précises de cette norme en temps petit et long ainsi que des estimations uniformes en temps lorsque le paramètre magnétique tend vers l’infini.
Title : Kinetic equations with magnetic field
Keywords : Fokker-Planck equation ; hypocoercivity ; magnetic field ; hypoellipticity maximal ; gap spectral ; semi-group.
Abstract : This thesis is dedicated to the study of the Fokker-Planck kinetic equation in the presence of an external and strong magnetic field. First, we show the expo-nential return to equilibrium of the solu-tions of this equation in Lp-type spaces and Sobolev spaces with non-classical polyno-mial weights. Secondly, we are interested in a maximal-type estimate on the associated operator. This estimate makes it possible
to give a better characterization of the do-main of the closure of the operator conside-red. Finally, we study the quadratic Fokker-Planck electromagnetic operator. We expli-citly compute the norm of the semi-group associated to the considered operator. We show an explicit and precise estimates of this norm in small and long time as well as uniform-in-time estimates when the magne-tic parameter tends to infinity.