Dans le cas de suites définies de façon explicite, toutes les propriétés des fonctions (dérivée, limites) sont disponibles.
Ce n’est pas le cas des suites définies par récurrence. On procède alors parfois à des démonstrations dites par récur-rence.
ACTIVITÉ3.1.
On considère la suite (un) définie par récurrence par : (un) :
½ u0=1
un+1=1+1un . 1. Montrer queu1,u2etu3appartiennent à [0; 1].
2. Montrer que si 06up61 alors 06up+161.
3. Que peut-on en déduire pour (un) ?
Ce type de démonstration est appelé « une démonstration par récurrence ».
Ainsi si on veut démontrer par récurrence que tous les termes d’une suite vérifient une propriétéP, on procède de la façon suivante :
• on montre que le ou les premiers termes vérifientP ;
• on montre que siupvérifieP, alorsup+1vérifieP (on dit qu’elle esthéréditaire) ;
• on peut alors conclure que la propriétéP est vraie pour toutn∈N.
3.7 Quelques suites particulières
3.7.1 Suites arithmétiques
Définition et premières propriétés
Définition 3.8. On appellesuite arithmétiquetoute suite (un) telle que
Pour tout entier natureln,un+1=un+roùr∈R rest appeléla raisonde la suite arithmétique.
Remarque. Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de montrer que, pour toutn, la différenceun+1−un
est constante. Cette constante sera alors la raison de la suite.
Propriété 3.3. Soit(un)une suite arithmétique de premier terme u0et raison r . Alors, pour tout entier naturel n et tout entier naturel p tel que0≤p≤n, on a : un=up+(n−p)r .
Et en particulier, avec p=0:
un=u0+nr
Somme de termes consécutifs
Pour obtenir ce résultat, nous avons besoin de la petite propriété suivante (on appelle ça unlemme: une propriété qui sert à la démonstration d’une autre)
Lemme 3.4. Soit Sn=1+2+...+n la somme des n premiers entiers. Alors Sn=1+2+...+n=(1+n)n 2 Preuve. ÉcrivonsSde deux manières :
Sn = 1 + 2 + ... + n−1 + n
En particulier, en posant p=0, on obtient : Xn i=0
ui=u0+u1+...+un=(u0+un)(n+1) 2 Preuve. Commençons par le second point.
Pour toution aui=u0+i r.
Cette formule peut se retenir de la façon suivante :
La somme S de termesconsécutifsd’une suite arithmétique est : S=(1erterme+dernier)×(nb de termes)
2
3.7.2 Suites géométriques
Définition et premières propriétés
Définition 3.9. On appellesuite géométriquetoute suite (un) telle que
Pour tout entier natureln,un+1=q×unoùq∈R qest appeléla raisonde la suite géométrique.
Remarques. 1. Siq=0, tous les termes de la suite, hormis peut-êtreu0sont nuls.
Siu0=0, tous les termes de la suite sont nuls.
En dehors de ces deux cas triviaux, inintéressants, tous les termes de la suite sont différents de zéro.
Terminale ES spécialité 3.7 Quelques suites particulières
2. Pour démontrer qu’une suite est géométrique (en dehors des deux cas triviaux), il suffit de montrer que, pour tout n, le quotientuun+1n est constant. Cette constante sera alors la raison de la suite.
Exemples 3.1. • La suite définie par : pour toutn≥1,un=2nest géométrique.
En effetuun+1n =22n+n1 =2⇔un+1=2un(de raison 2).
• La suite définie par : pour toutn,un=n2n’est pas arithmétique.
En effetuun+1n =(nn+21)2 6=constante.
On peut le voir encore plus facilement sur les premiers termes :
u2
u1 =46=uu32 =94
Propriété 3.6. Soit(un)une suite géométrique de premier terme u0et raison q. Alors, pour tout entier naturel n et tout entier naturel p tel que0≤p≤n, on a : un=qn−pup
Et en particulier, avec p=0:
un=qnu0
Remarque. Cette propriété est importante car elle transforme une suite géométrique, définie par récurrence (un+1= f(un)), en une suite définie explicitement (un=f(n)).
Preuve. Voir l’exercice3.3. ♦
Somme de termes consécutifs
Pour obtenir ce résultat, nous avons besoin du lemme suivant :
Lemme 3.7. Soit q6=1et S=1+q+q2+...+qn. Alors S=1+q+q2+...+qn=1−qn+1 1−q . Preuve. Remarquons queq×S=q+q2+...+qn+qn+1.
DoncS−qS=1−qn+1⇔S(1−q)=1−qn+1donc, pourq6=1,S=1−qn+1
1−q . ♦
Démontrons alors que :
Propriété 3.8. Soit(un)une suite géométrique de raison q6=1et n et p deux entiers naturels tels que0≤p≤n. Alors : Xn
i=p
ui=up1−qn−p+1 1−q En particulier, en posant p=0, on obtient :
Xn i=0
ui=u0+u1+...+un=u01−qn+1 1−q Preuve. On ne démontrera que le second point.
Pour toution aui=qiu0. Xn
i=0
ui =u0+u1+...+un−1+un =u0+qu0+q2u0+...+qnu0
=u0(1+q+...+qn) =u01−qn+1 1−q
♦
Cette formule peut se retenir de la façon suivante :
La somme S de termesconsécutifsd’une suite géométrique est : S=1erterme1−qnb de termes
1−q
3.8 Exercices
EXERCICE3.2(Suites arithmétiques).
L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés supplémentaires des suites arithmétiques.
Soit (un) une suite arithmétique de premier termeu0et de raisonr 1. Étude de la monotonie d’une suite arithmétique
(a) Étudier le signe deun+1−un.
(b) En déduire dans quels cas on a, pour tout entier natureln:
• un+16un • un+1>un • un+1=un
(c) En déduire dans quels cas une suite arithmétique est croissante, décroissante ou stationnaire.
2. Démonstration par récurrence
On a conjecturé en Première que, pour une suite arithmétique, commeu1=u0+1×r, commeu2=u0+2×r, on avait très certainement la relationP:un=u0+n×r.
On va le démontrer.
(a) Montrer queP est vraie pour pourn=1,n=2 etn=3.
(b) Supposons queP est vraie au rangp. Montrer qu’alors elle est vraie au rangp+1.
(c) Conclure.
3. Étude de la convergence d’une suite arithmétique
On vient de voir qu’une suite arithmétique peut être définie de façon explicite parun=f(n).
(a) Expliciterf.
(b) Étudier la limite def en+∞.
(c) En déduire la convergence d’une suite arithmétique.
4. SoitSn=u0+u1+...+un.
Étudier la convergence de la suite (Sn).
EXERCICE3.3(Suites géométriques).
L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés supplémentaires des suites arithmétiques.
Soit (un) une suite géométrique de premier termeu0>0 et de raisonq 1. Étude de la monotonie d’une suite géométrique
(a) Montrer que siq<0 alors la suite n’est pas monotone.
(b) Étudier le signe deun+1−unselon les valeurs deqlorsqueq>0.
(c) En déduire dans quels cas on a, pour tout entier natureln:
• un+16un • un+1>un • un+1=un
(d) En déduire dans quels cas une suite géométrique est croissante, décroissante ou stationnaire.
2. Démonstration par récurrence
On a conjecturé en Première que, pour une suite arithmétique, commeu1=u0×q, commeu2=u0×q2, on avait très certainement la relationP :un=u0×qn.
On va le démontrer.
(a) Montrer queP est vraie pour pourn=1,n=2 etn=3.
(b) Supposons queP est vraie au rangp. Montrer qu’alors elle est vraie au rangp+1.
(c) Conclure.
3. Étude de la convergence d’une suite géométrique On admettra la propriété suivante :
PROPRIÉTÉ3.9. Soit q un réel.
• Si q>1, alors lim
n→+∞qn= +∞ • Si−1<q<1, alors lim
n→+∞qn=0 En déduire la convergence d’une suite géométrique quandu0>0.
4. SoitSn=u0+u1+...+un.
Étudier la convergence de la suite (Sn).
Terminale ES spécialité 3.8 Exercices
EXERCICE3.4.
On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonctionf(x)=2x2++x42. Construire la représentation graphique en chemin de la suite (un) définie par (un) :
( u0= −1 un+1=2u2+nu+4n2
1 2 3
1 2 3
−1
−2
EXERCICE3.5.
On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonctionf(x)=12x2+1.
Construire la représentation graphique en chemin de la suite (un) définie par (un) :
½ u0=0,5 un+1=12un2+1
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−4
EXERCICE3.6.
On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonctionf(x)=xx++31. Construire la représentation graphique en chemin de la suite (un) définie par (un) :
½ u0= −1,5
(c) Que peut-on en conclure ? EXERCICE3.8.
1. (a) Construire sa représentation graphique en chemin dans le repère de la figure3.1.
(b) Conjecturer sa monotonie et ses bornes.
2. Montrer par récurrence que (vn) est minorée par 0.
3. (a) Montrer quev1<v0.
(b) On suppose quevp+1<vp. Montrer qu’alorsvp+2<vp+1(on pourra étudier le signe devp+2−vp+1).
(c) Que peut-on en conclure ?
(d) En déduire que (vn) est majorée par 2.
EXERCICE3.9.
On donne la suite : (wn) :
½ w0=0 wn+1=2wwnn++43
1. (a) Construire sa représentation graphique en chemin dans le repère de la figure3.2.
(b) Conjecturer sa convergence 2. On posevn=wwnn−+13
(a) Montrer que (vn) est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
(b) Donner l’expression devnen fonction den.
(c) En déduire l’expression dewnen fonction den.
(d) En déduire la convergence de (wn).
Terminale ES spécialité 3.8 Exercices
FIGURE3.1 – Figure de l’exercice3.8
1 2
−1
1 2
−1 O
x y
FIGURE3.2 – Figure de l’exercice3.9
1 2
−1
−2
1 2
−1
−2
−3 O
x y
EXERCICE3.10.
Soit (un) la suite définie paru0=12etun+1=2+2u7unn.
1. Calculeru1,u2etu3. La suite (un) est-elle arithmétique ou géométrique ?
2. (a) Construire sa représentation graphique en chemin dans le repère de la figure3.3.
(b) Conjecturer sa convergence.
3. Montrer que siun+1=0, alorsun=0. En déduire que pour toutn,un6=0.
4. Soit (vn) la suite définie parvn=2−uunn.
(a) Calculer les quatre premiers termes de (vn).
(b) Montrer que (vn) est arithmétique.
(c) Exprimervnen fonction den. En déduire une expression deunen fonction den.
(d) La suite (un) a-t-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
FIGURE3.3 – Figure de l’exercice3.10
0.5 1.0
−0.5
−1.0
0.5 1.0
−0.5
−1.0 O
x y