En ajoutant (94) et (95), on obtient
|Ci(1/2 +iτ, v)|62√
v/(τ −v). (96)
Sivetτ sont trop proches, on peut améliorer cette inégalité de la façon suivante. Siτ >v+√v, (96) nous donne
8.4 Démonstration de la proposition 34 Pour x >0,v >0, nous posons
(sommes partielles de la série ψ1(x)). La proposition suivante ramène l’étude deψ1(x, v) à celle de l’intégrale I(x, v) définie par (86)
Proposition 40 Pour x >0, v >0, on a
Démonstration
Nous commençons par effectuer une intégration par parties sur l’expression de −ψ1(x, v) comme intégrale de Stieltjes :
−ψ1(x, v) = 1
Pour la première intégrale de (98), on a Z v D’une part, nous posons
ε1(x, v) =−
où l’on a utilisé les valeurs de l’intégrale d’Arndt Z ∞
0
logtsint
t dt=−πγ 2 (cf. [24] §69, (9)) et de celle de Dirichlet
Z ∞
0
sint t dt= π
2. Passons à la seconde intégrale de (98) :
Z v
où l’on a posé
En ajoutant (99) et (100), et en tenant compte de la proposition 37, on obtient bien (97).2 La proposition suivante précise l’assertion (91).
Proposition 41 Pour x >0, v >0, on a
En utilisant l’identité (87), on a xI(x, v) +I(1/x, x2v) =
où V est un paramètre positif arbitraire ; cela étant, la proposition 39 nous incite à poser sans attendre V = 2πxv.
L’intégrale R
|τ|>V est la deuxième intervenant dans η(x, v). Quant à l’intégrale R
|τ|6V, elle
On a
d’après (84). Cela donne bien (101). 2
En appliquant (97) aux couples (x, v) et(1/x, x2v), on obtient
−ψ1(x, v)−xψ1(1/x, x2v) où l’on a utilisé (101) et la définition (39) de la fonction F.
Pour conclure la démonstration de la proposition 34, il nous reste à estimer les fonctionsεet η. C’est l’objet des deux propositions suivantes.
Proposition 42 Pour 0< x <1 etx2v>2, on a
ε(x, v) +xε(1/x, x2v)≪(x2v)−1/2. Démonstration
Nous commençons par estimer ε(x, v)sous la seule hypothèse v>2. Rappelons que ε(x, v) =−
Par le second théorème de la moyenne, la première intégrale est ≪ (logv)/xv. En utilisant l’estimation de Dirichlet∆(v)≪v1/2, on voit que les autres termes sont≪v−1/2.
On en déduit, si 0< x <1et x2v>2 :
ε(x, v) +xε(1/x, x2v)≪(logv)/xv+v−1/2+xlog(x2v)/xv+x(x2v)−1/2
≪(x2v)−1/2. 2
Proposition 43 Pour 0< x <1 etx2v>2, on a
η(x, v)≪(x2v)−1/2log2(x2v).
Démonstration
Pour 0< x <1 etx2v>2, on a V = 2πxv > 12. En utilisant la proposition 39, on voit sur la définition (102) de η(x, v) que
η(x, v)≪x1/2 Z ∞
0
|ζ(12 +iτ)|2
1 +τ min(1, V1/2 V −τ
−
1)dτ. (103)
Une estimation du type
ζ 1
2+iτ
≪(1 +|τ|)δ (cf. par exemple le corollaire 3.7, p. 234 de [30]) conduit à
Z ∞
0
|ζ(12 +iτ)|2
1 +τ min(1, V1/2 V −τ
−
1)dτ ≪V2δ−1/2logV,
ce qui fournit un terme d’erreur admissible dans (47) dès queδ <1/4. Cependant, on aboutit à un meilleur résultat en utilisant une estimation des fonctions I2(T) etE(T) définies par
I2(T) = Z T
0 |ζ(1/2 +iτ)|2dτ =TlogT−(log 2π+ 1−2γ)T+E(T) (T >0).
La fonction E(T) est l’objet d’une abondante littérature (cf. par exemple [17], chapters 4, 15) ; nous nous contenterons de l’estimation classique d’Ingham :E(T)≪T1/2logT pourT >2 (cf. [16], Theorem A’, p. 294).
La contribution de l’intervalle |τ −V|6√
V à l’intégrale de (103) est
≪V−1
Z V+√V
V−√
V |ζ(1/2 +iτ)|2dτ
≪V−1/2logV, d’après l’estimation d’Ingham.
La contribution des τ >2V est
≪V1/2 Z ∞
2V
|ζ(1/2 +iτ)|2 τ2 dτ
≪V−1/2logV,
en utilisant simplement l’estimation I2(T)≪TlogT pourT >2et une intégration par parties.
De même la contribution des τ 6V /2est
Maintenant, la contribution de l’intervalle V +√
V < τ <2V est
k (d’après l’estimation d’Ingham)
≪V−1/2log2V,
et on a encore la même estimation pour la contribution de l’intervalle V /2< τ < V −√ V.
9 Conclusion de la preuve du théorème 2
D’après la proposition 17, la série ϕ1(x) converge si seulement la série W(x) converge, et dans ce cas,
ϕ1(x) =−1
2W(x) +G(x) +δ(x).
Par ailleurs la somme partielleψ1(x, v) de la sérieψ1(x) satisfait aux points i), ii) et iii) énoncés dans le paragraphe 4.2.2. En effet, le point i) avec les paramètres a= 2, b= 1/2−ε (quel que soit ε > 0) résulte de la proposition 34. Le point ii) est trivial. En ce qui concerne le point iii), on dispose de la majoration de Walfisz (cf. [34],(25V I), p. 566)
ksin(2πkmx)≪log(v) uniformément pourx∈Retv>2.
On obtient donc, d’après la proposition 19, que les séries ψ1(x) etW(x) convergent simulta-nément et qu’en cas de convergence on a
ψ1(x) =−1
2W(x) +G(x) +δ(x).
Cela achève la preuve du théorème 2.
Remerciements
Outre leurs laboratoires respectifs, les auteurs remercient les institutions ayant favorisé leur travail sur cet article : le laboratoire franco-russe Poncelet (CNRS, Université Indépendante de Moscou), et l’Institut Mittag-Leffler (Djursholm).
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BALAZARD, Michel
Institut de Mathématiques de Luminy CNRS, Université de la Méditerranée Campus de Luminy, Case 907 13288 Marseille Cedex 9 FRANCE
Adresse électronique :balazard@iml.univ-mrs.fr
MARTIN, Bruno
Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées CNRS, Université du Littoral Côte d’Opale 50 rue F. Buisson, BP 599
62228 Calais Cedex FRANCE
Adresse électronique :martin@lmpa.univ-littoral.fr