le champ électromagnétique dans ce domaine. Ainsi, une excitation multimodale composée d’une part d’une source réelle monomode (TE10) et d’autre part des N
premiers modes relatifs au domaine Ω1 peut être utilisée pour calculer le multi-
pôle ((N + 1)-accès) qui modélise le couplage électromagnétique entre les échelles S0 et S1 (fig. 2.3 (b)). Ce multipôle est caractérisé par sa matrice admittance [Y0].
De même l’excitation multimodale composée des N premiers modes du domaine Ω1 peut être utilisée pour calculer le multipôle (N-accès) qui décrit l’interac-
tion électromagnétique entre les sous domaines Ω1 et Ωi2, i = [1, 2]. En d’autres
termes ce deuxième multipôle modélise le couplage électromagnétique entre les deux échelles intermédiaires : S1 et S2. Nous procédons de même pour caractériser
chacune des cinq échelles de la structure. Le déphasage induit par la cellule est finalement obtenu en calculant l’impédance d’entrée relative à la mise en cascade des multipôles3
[Yi], i = [0, 2, 4] , [Zi], i = [1, 3] (fig. 2.3 (b)). En d’autres termes,
la mise en cascade des multipôles caractérise entièrement la cellule déphaseuse. Notez que les nombres Nide modes utilisés dans le calcul des différents multipôles
sont fixés de manière à ce que la convergence numérique de l’impédance d’entrée soit atteinte.
2.3 Démarche adoptée
Ce principe de décomposition du problème introduit ce que nous appellerons des briques élémentaires de passage (fig. 2.4 (b)). En effet, le passage d’une échelle à une autre se ramène au passage d’un domaine vers un (fig. 2.5 (a) (b)) ou plu- sieurs autres domaines (fig. 2.5 (c) (d)). Ces domaines géométriques constitueront les ports d’accès de notre brique élémentaire de passage.
Il a été adopté sur les figures 2.4 (b) et 2.5 une représentation des différents domaines sous la forme de discontinuités en guides. Nous utiliserons cette re- présentation tout au long du manuscrit. Cette analogie permet d’une part de matérialiser le passage d’une échelle vers une autre et d’autre part de faciliter la démarche. On peut donc facilement visualiser le changement d’échelle, celui-ci se traduisant par un multipôle (bi-accès : N modes d’excitation du grand domaine / n modes d’excitations du petit, fig 2.4 (b)). Nous traiterons le problème physique réel (fig 2.6) par l’intermédiaire d’un problème équivalent qui s’apparente forte- ment à un problème de discontinuité en guide (2.4 (b)). Ainsi cette approche nous permet d’emprunter le vocabulaire (parfois improprement) et la démarche propre aux études de discontinuités en guide (notamment la notion de source d’excita- tion). Toutefois une confusion est à éviter : le changement d’échelle ne revient section droite Ω1 aussi bien au niveau de la géométrie que des conditions aux limites. Pour de
plus détails se rapporter au chapitre 1.
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La caractérisation d’un changement d’échelle par un multipôle de type admit- tance/impédance est fonction de la nature des conditions aux limites aux interfaces. Nous verrons cela au paragraphe suivant.
2. Approche par changements d’échelle
pas à traiter une succession de discontinuités en guide (de type changement de section) où les discontinuités se trouveraient toutes au niveau d’un même plan.
Pour s’en convaincre revenons sur le problème de départ. Physiquement, la caractérisation d’une sous échelle nécessite une excitation en champ (électrique ou magnétique) de part et d’autre du plan de discontinuité, et ce, pour chacun des domaines (grand + les petits). Cela correspondrait à traiter non pas des bi-accès mais des multi-ports comportant 4 accès4 (fig 2.4 (a)). On montre théoriquement
(annexe C) comment cette représentation (discontinuités en guide (2.4 (b))) est équivalente -en prenant quelques précautions5- au problème réel (fig 2.4 (a)). Ainsi
au niveau des bi-accès, les grandeurs d’entrées/sorties ne sont plus les champs électromagnétiques mais le couple champ électrique et densité superficielle de courant (discontinuité du champ magnétique).
Pour décrire n’importe quelle structure multi-échelle nous avons besoin de caractériser deux sortes de briques élémentaires (fig 2.6). Leurs représentations équivalentes sont données par la figure (fig. 2.5), à savoir l’une de type électrique (fig. 2.5 (a) (c) , le domaine intermédiaire CD
0 est un mur électrique), et l’autre
de type magnétique (fig. 2.5 (b) (d), le domaine intermédiaire est un mur ma- gnétique). Si l’on revient au problème réel (fig 2.6), la brique de type électrique correspond bien à la présence d’un mur électrique au niveau du domaine intermé- diaire (fig 2.4 (a)) ; c’est à dire au niveau des conditions aux limites, l’annulation du champ électrique et la discontinuité du champ magnétique. En revanche, la terminologie "mur magnétique" est tendancieuse, elle est relative au problème équivalent et non au problème réel. En effet, nous devons respecter les conditions aux limites relatives à la traversée de la surface de séparation de deux milieux diélectriques (continuité des champs électromagnétiques). Or ces conditions se traduisent au niveau du problème équivalent par considérer un mur magnétique. En d’autres mots l’introduction d’un mur magnétique est fictive, nous ne faisons aucunement une approximation sur le problème réel.
Le premier changement d’échelle va être considéré séparément. En effet, à ce niveau intervient la prise en compte de l’environnement extérieur, c’est à dire l’excitation en champ6 d’une part et le substrat avec plan de masse d’autre part.
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Plus exactement des multipôles comportant (Ngauche+ Ndroite) + (ngauche+ ndroite) ports.
Ici le terme accès renvoie à la notion de source multimodale d’excitation, c’est à dire deux pour le grand domaine (Ngauchepour l’excitation venant de gauche, Ndroite pour l’excitation venant
de droite) et de la même façon deux pour le petit (ngaucheet ndroite). 5
Au niveau des modifications à apporter, seul l’expression de l’opérateur impé- dance/admittance au niveau de la source d’excitation du grand domaine est à modifier. Cet opérateur est fonction des caractéristiques des milieux de part et d’autre de la discontinuité. Cela permet de prendre en compte la dissymétrie qui existe à l’extérieur des sous échelles. Tou- tefois nous avons pu voir que numériquement cette modification à une influence modeste voire négligeable sur les résultats.
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Et non comme pour ce qui est des sous échelles où les accès font référence au champ électrique et à la densité superficielle de courant.