3.3 Délai de séparabilité contextuel
3.3.5 Délai de séparabilité et effacement
Les propositions précédentes nous permettent d’énoncer certains résultats d’approximation du délai de séparabilité par effacement. Lorsque c’est possible, ceci nous offre la possibilité de réduire la complexité de l’analyse du délai de séparabilité de façon proportionnelle à la réduction de la taille de l’espace d’états. Les résultats présentés dans cette section sont donc d’une importance centrale.
3.3.5.1 Délai de séparabilité optimiste
Dans le cas optimiste, il est possible de donner une estimation conservative du délai de séparabilité en procédant à l’effacement des données sur les ports passifs.
Théorème 3.26 (Sur-approximation du délai de séparabilité optimiste par effacement). septimeαO(TIn+,TOut+ , q) ≤ septime
α
Ce théorème découle informellement des éléments suivants.
– L’ensemble des paires séparantes après effacement est inclus dans celles avant efface- ment ;
– pour chaque paire séparante, les états atteints après effacement sont un sous-ensemble de ceux atteints avant effacement ;
– pour chacune de ces paires d’états, les séparateurs après effacement sont à nouveaux un sous-ensemble des séparateurs avant effacement.
Par conséquent, le délai de séparabilité après effacement est supérieur ou égal à celui avant effacement.
Démonstration. Le délai contextuel optimiste est calculé comme un minimum sur tous les con- textes. Nous devons donc montrer qu’il existe un contexte cw∈ (In−)ω tel que :
septimeα
O(C(q, cw)) ≤ septimeαO(∏(q)).
En appliquant les définitions de délai de séparabilité, le but se réécrit en : ∃cw, septimeα O(C(q, cw)) ≤ min ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ ⎪⎩ septimeα O(q1, q2) ∃(a1, a2) ∈ SepPairsα(∏(q)), ∃b1≼I a1, b2≼I a2, qÐ→ qb1 1∈ ∏(E) ∧ q b2 Ð→ q2∈ ∏(E) ⎫⎪⎪⎪⎪ ⎬⎪⎪⎪ ⎪⎭ Considérons deux transitions q b1
Ð→ q1 et q b2
Ð→ q2 telles que c−exα(∏(q1), ∏(q2)) soit vérifié.
Soit w∈ Sα(∏(q
1), ∏(q2)) le séparateur de (q1, q2) de taille minimale après effacement. Par la
proposition 3.20 p. 76 :
∃cw′∈ Sα(C(q
1, cw′), C(q2, cw′)).
Nous avons donc septimeα
O(C(q1, cw′), C(q2, cw′)) ≤ septime α
O(∏(q1), ∏(q2)). Par utilisation
de la proposition 3.23 p. 80, il existe un ensemble de contextes : {a−.cw′∣ (a
1, a2) ∈ SepPairsα(C(q, a−cw′))},
ce qui achève de prouver le but.
3.3.5.2 Délai de séparabilité pessimiste
De façon duale au délai de séparabilité contextuel optimiste, le délai contextuel pessimiste est calculé comme le maximum du délai de séparabilité pessimiste pour tous les contextes. De ce fait, l’abstraction consistant à effacer les données sur les ports passifs ne permet pas de calculer de sur-approximation du délai contextuel pessimiste. Le contre-exemple en Fig. 3.9 montre initialement un dépliage dans lequel d1 ≠ d2et d3 ≠ d4. Les données sur les ports passifs
sont notées a− et b−. Avant effacement, les paires séparantes sont {(a
1, a2); (b1, b2)} dans tous
les contextes. Après effacement, la paire (b1, b2) n’est plus séparante car les états atteignables
par b1 et b2 sont les mêmes. Le délai de séparabilité après effacement ne tient pas compte de
cette paire et est égal à 0, alors que le maximum sur tous les contextes du délai de séparabilité pessimiste est égal à 1.
Le problème de l’abstraction proposée initialement est qu’elle sous-approxime l’ensemble des paires séparantes. Puisque le délai optimiste est calculé comme un minimum sur un ensem- ble de délais de séparabilité de paires séparantes, sous-approximer cet ensemble calcule bien
init d1 T d2 T d d3 T d d4 T hb1, b−i hb2, a−i ∗ hb1, a−i hb2, b−i ∗ ha2, a−i ha2, b−i ha1, a−i ha1, b−i
(a) Avant effacement
init d1 T d2 T d d3 T d d4 T b2 ∗ b1 ∗ a2 a1 (b) Après effacement
FIGURE3.9 – Non-conservation du délai de séparabilité pessimiste
une sur-approximation du délai de séparabilité optimiste de l’état. Cependant, ceci n’est pas applicable au délai pessimiste, qui procède par le calcul d’un maximum. Nous devons amender notre méthode d’abstraction afin de tenir compte de cela. La méthode que nous proposons con- siste en ne pas effacer les données des ports passifs sur les arcs directement successeurs de l’état dont nous voulons approximer le délai de séparabilité pessimiste, ce qui revient à ne pas approximer les paires séparantes.
Théorème 3.27 (Sur-approximation du délai de séparabilité pessimiste par effacement partiel). Soit M = ⟨TIn+ × TIn−,TOut+ × TOut− , Q, out, E, q0⟩ une machine sur treillis et soit q ∈ Q un état.
Nous définissons soneffacement partiel, noté ˜∏[TIn+,T+
Out] sur son dépliage U(q) :
˜
∏[T+
In,TOut+ ](U(q)) = (πTOut+ (out(q)), {(in, ∏(U(q
′))) ∣ qÐ→ qin ′∈ E}) .
L’effacement partiel vérifie la propriété suivante : septimeα
P(TIn+,TOut+ , q) ≤ septimeαP( ˜∏[TIn+,TOut+ ](q))
Démonstration. Considérons une paire séparante(a1, a2) ∈ SepPairsα(C(q, cw)) dans un con-
texte quelconque cw= a−.cw′et montrons que son délai est majoré par une paire séparante après
projection. Puisque le délai est fini, nous avons nécessairement(a1, a2) ∈ SepPairsα∗(C(q, cw)) :
q ⟨a1,a
−⟩
ÐÐÐ→ q1∈ E ∧ q ⟨a2,a−⟩
ÐÐÐ→ q2 ∈ E Ô⇒ C(q1, cw′) αC(q2, cw′).
Le délai de séparabilité de(a1, a2) est égal à :
max{∣w∣ ∣ w ∈ Sα∗(C(q1, cw′), C(q2, cw′))},
où q1 et q2 sont atteignables par (a1, a2). Soit wmax ∈ Sα∗(C(q1, cw′), C(q2, cw′)) le pseudo-
séparateur de longueur maximale pour q dans le contexte cw. Nous procédons par analyse par cas sur la valeur de septimeα
P( ˜∏[TIn+,TOut+ ](q)).
– Si il est infini, alors la preuve est directement terminée.
– Sinon, nous avons par définition de l’effacement partiel sur q : q ⟨a1,a
−⟩
ÐÐÐ→ q1 ∈ E ∧ q ⟨a2,a−⟩
ÐÐÐ→ q2∈ E Ô⇒ ∏(q1) α∏(q2).
Considérons à nouveau le délai de séparabilité de q1 et q2, cette fois ci après effacement.
Considérons l’ensemble W = {wmax.suf f ix ∣ suffix ∈ (In+)ω} des mots infinis pré-
fixés par wmax. Par définition de α, il existe pour tout wext ∈ W un préfixe w∗ext tel
que :
wext∗ ∈ Sα
La proposition 3.22 p. 79 nous permet d’affirmer l’existence pour tout w∗
extd’un préfixe
w∗
pre ∈ prefix(wext∗ ) tel que wpre∗ ∈ S∗α(C(q1, cw′), C(q2, cw′)). Procédons à nouveau à
une analyse par cas sur la longueur de w∗ pre.
– Si∣w∗
pre∣ < ∣wmax∣, alors nous avons une contradiction avec le fait que
wmax∈ Sα∗(C(q1, cw′), C(q2, cw′)).
– Sinon, nous avons∣w∗
pre∣ ≥ ∣wmax∣ ce qui nous permet d’affirmer que le délai de sépara-
bilité après effacement majore bel et bien le délai de séparabilité avant effacement. Ces résultats nous donnent quelques moyens de calculer des approximations de délai de séparabilité en nous restreignant au cas non-contextuel, plus simple. Cependant, nous avons vu que l’abstraction utilisée pour sur-approximer le délai de séparabilité pessimiste est impar- faite, du fait que l’effacement sous-approxime les paires séparantes. Nous résolvons le prob- lème en n’approximant pas les paires séparantes de l’état considéré. Il faut noter que toute sur-approximation de l’ensemble des paires séparantes est une solution valide. D’un autre coté, la portée de ce résultat est diminuée par le fait que le délai de séparabilité pessimiste n’est pas conservé par concrétisation (Sec. 3.2.4.2 p. 70).