Définitions reposant sur une analyse locale

La classe CK,τ comprend les courbes f de courbure intégrale au plus K, telles que la différence entre la courbure intégrale totale def et la courbure intégrale de la restriction def à une boule tende vers 0 lorsque le rayon de la boule augmente.

Avec cette condition supplémentaire, Sandilya et Kulkarni [166]sont en mesure de démontrer l’existence des courbes principales de courbure intégrale bornée.

Proposition 1.3.2 (Sandilya et Kulkarni [166]). Si EkXk² < +∞, l’existence d’une courbe principale pour X est garantie.

Soit ˆf_k,n une courbe minimisant le critère ∆_n(f) sur la classe des lignes polygo-nales àksegments appartenant àC^k,τ et dont l’image est incluse dans la bouleBR_k. Ici, (Rk)k≥1 désigne une suite croissante tendant vers l’infini. Le théorème suivant, qui établit une vitesse de convergence de ∆(ˆf_k,n) vers le risque optimal, correspond dans le présent cadre au résultat de Kégl et al. [117] énoncé dans le Théorème 1.3.1. L’hypothèse P{X ∈ C}= 1 est remplacée par un contrôle en fonction de R de la quantité EkXk² en dehors des boules de rayon R.

Théorème 1.3.2 (Sandilya et Kulkarni [166]). Supposons que pour tout R >0, E[kXk²1_B^c

R(X)]≤R^−α.

Si k = n^1/3 et ˆf_n,k ∈ Ck,τ est une ligne brisée à k segments d’image incluse dans BR_k, minimisant le critère empirique ∆n(f), alors

∆(ˆf_k,n)− min

f∈CK,τ

∆(f) =O(n^−6+3αα ).

1.4. Définitions reposant sur une analyse locale

Les définitions de courbe principale auxquelles nous nous sommes intéressés jusqu’ici sont toutes liées à la propriété d’auto-consistance des composantes princi-pales. Cette dernière intervient explicitement dans la définition originelle deHastie et Stuetzle [104] ainsi que celle de Tibshirani [180], et nous avons vu que réaliser le minimum du critère de type moindres carrés de Kégl et al. [117] etSandilya et Kulkarni [166] revient pour ainsi dire à vérifier cette propriété. La présente sec-tion est consacrée à des points de vue un peu différents, dans lesquels une courbe principale est construite à partir d’une analyse locale.

1.4.1. Courbes principales de points orientés principaux

La définition des courbes principales de points orientés, proposée parDelicado [64] et étendue dans Delicado et Huerta [65], généralise une propriété des com-posantes principales pour la loi normale multivariée, qui exprime que la variance

totale conditionnelle de X, sachant que X appartient à un hyperplan, est mini-male lorsque l’hyperplan est orthogonal à la première composante principale. Pour x∈R^d ety un vecteur unitaire deR^d, soit

H(x,y) = {z∈R^d,^t(z−x)y= 0},

où^t(·) désigne l’opérateur de transposition usuel. Ainsi défini,H(x,y) est l’hyper-plan orthogonal ày passant par x. Notons

m(x,y) =E[X|X ∈H(x,y)]

et

φ(x,y) = V T(X|X∈H(x,y)),

oùV T(Y) désigne la variance totale d’un vecteur aléatoireY, c’est-à-dire la trace de sa matrice de covariance. Si y^?(x) désigne l’ensemble des vecteurs unitaires qui minimisent φ(x,y), notons m^?(x) = m(x,y^?(x)) l’ensemble des espérances conditionnelles associées. Lorsque m^?(x) est réduit à un singleton, son unique élément sera encore noté m^?(x).

Nous pouvons à présent énoncer plus précisément la propriété de la loi normale multivariée qui constitue le point de départ de la définition d’une courbe principale de points orientés.

Proposition 1.4.1. Soit X un vecteur gaussien de R^d, de moyenne m et de ma-trice de covarianceΣ. On notev₁ le vecteur propre unitaire associé à la plus grande valeur propre de Σ. Alors,

– Il existe un unique vecteur unitaire qui minimise φ(x,y) pour tout x ∈ R^d, et ce vecteur est v₁.

– Pour tout x ∈ R^d, m^?(x) appartient à la première composante principale y(t) =m+tv1.

– Un élément x de R^d appartient à la première composante principale si, et seulement si, x=m^?(x).

Par analogie avec le cas gaussien, Delicado [64] introduit le concept de points orientés principaux.

Définition 1.4.1 (Points orientés principaux). L’ensembleΓ(X)des points orien-tés principaux de X est l’ensemble des éléments x∈R^d tels que x∈m^?(x).

Une courbe principale peut alors être définie à partir de la notion de points orientés principaux.

Définition 1.4.2. La courbe paramétrée f est une courbe principale (de points orientés) pour X si son image est incluse dans Γ(X).

1.4. Définitions reposant sur une analyse locale

Sous certaines hypothèses,Delicado [64] démontre l’existence de points orientés principaux et des courbes principales associées. Remarquons que siy^?(x) est réduit à un singleton, comme dans le cas de la loi normale, la définition des points orientés principaux s’écrit m^?(x) = x et rappelle ainsi l’auto-consistance. Nous pouvons cependant noter que l’analyse est ici locale, puisque la propriété considérée ne s’applique pas à une courbe, mais à des points de R^d.

Dans le cas d’observationsX₁, . . . ,X_n, il faut faire appel au même type de stra-tégie que dansHastie et Stuetzle [104]. En effet, le calcul des espérances et variances totales conditionnelles ne peut se faire directement, puisqu’un hyperplan contient très peu d’observationsX_i(une seule voire souvent aucune). Pour contourner cette difficulté,Delicado [64]a recours à une projection des données accompagnée d’une pondération. Plus précisément, étant donné un hyperplan H = H(x,y), notons X^H_i le projeté orthogonal sur H de l’observation X_i. On définit des poids

wi =w(|^t(Xi−x)y|) =w(kX_i−X^H_i k)

où west une fonction strictement positive et décroissante. L’espérance condition-nelle est remplacée par la moyenne des observations projetées X^H_i pondérée par les wi. La variance totale conditionnelle est également définie de cette manière.

1.4.2. Composantes principales locales

Dans l’approche deEinbeck, Tutz et Evers [82], une courbe principale est calcu-lée à partir d’un ensemble de premières composantes principales locales. Ce point de vue donne lieu à l’algorithme suivant. Soit Kh la fonction définie par

Kh(x) = K(x/h)

h^d , x∈R^d, où K est un noyau en dimension d eth >0.

Partant d’un point x =x⁽⁰⁾ ∈ R^d, qui est par exemple choisi au hasard parmi les observations, on calcule la moyenne empirique locale

ˆ m^x =

Xn i=1

w_iX_i,

où wi = Kh(Xi −x)/^Pn<sub>`=1</sub>Kh(X`−x). Une analyse en composantes principales est alors effectuée localement autour de x. Soit ˆΣ^x = (ˆσ_jk^x)1≤j,k≤d la matrice de covariance empirique locale, définie par

ˆ σ_jk^x =

Xn i=1

wi(Xij −mˆ^x_j)(Xik−mˆ^x_k).

Si ˆγ^x désigne le premier vecteur propre de ˆΣ^x, la première composante principale locale autour de x est donnée par ˆv^x(t) = ˆm^x+tˆγ^x. Ensuite, la valeur de x est actualisée en posantx⁽¹⁾ = ˆm^x+hˆγ^x, et ces étapes sont itérées jusqu’à ce que ˆm^x reste approximativement constante, la limite des observations ayant été atteinte.

Afin de visiter tout le nuage de données, la même procédure est appliquée dans la direction opposée −ˆγ^x, excepté dans le cas particulier d’une courbe fermée.

Mentionnons que l’algorithme de courbes principales proposé parVerbeek, Vlas-sis et Kröse [185], conVlas-sistant à assembler des segments pour obtenir une courbe principale polygonale, est également basé sur une analyse en composantes princi-pales locale.