II.2.1 Définitions
On peut définir un schéma de subdivision non-linéaire comme la généralisation de la définition I.1, en faisant dépendre le masque de la position n, de l’échellej et de f.
On écrit, en notantfj =Sjf,
∀f ∈l∞(Zs),∀j ∈N,∀n∈Zs (Sj+1f)n= X
m∈Zs
aj,n,n−2m(fj)fmj (II.1) On dit qu’un schéma de subdivision est
indépendant des données si pour tout f ∈l∞(Zs),aj,n,n−2m(fj) =aj,n,n−2m. stationnaire siaj,n,n−2m(fj) =an,n−2m(f).
50 100 150 200 250
(c) schéma 4 points Lagrange
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Fig. II.1 – 4 itérations de différents schémas linéaires pour construire un grossissement d’une partie d’une image.
uniforme siaj,n,n−2m(fj) =aj,n−2m(fj).
local sisupp(aj,n,n−2m(fj))<+∞.
Par opposition au chapitre I, on parlera de non-linéaire lorsque le schéma défini ne rentre pas dans une de ces catégories.
Dans ce chapitre, notre étude se fera pour des schémas locaux.
II.2.2 Quelques schémas présents dans la littérature
Nous allons présenter quelques schémas non-linéaires, les motivations pour leur construction et les résultats d’analyse les concernant.
Un schéma global
Pour définir des schémas interpolants ayant une régularité maximale, L. Kobbelt [Kob96] construit les valeurs(f2n+11 )n∈Z qui minimise une fonctionnelle utilisant les différences d’ordrek,dkf. Il obtient des schémas globaux car pour obtenir les valeurs(f2n+11 )n∈Z, on doit résoudre un sys-tème linéaire utilisant des matrices de Toeplitz symétriques.
Dans [Kob98], pour montrer la convergence de ces schémas, on trouve un résultat général de convergence pour des schémas non-linéaires interpolants et dépendant de la position qui est
Si il existe l >0 tel que ∀f ∈l∞(Zs),P∞
j=0||2kjdk+lfj||∞ <+∞, alors la suite (fj)j∈N
converge vers une fonctionCk. Une subdivision non-régulière
Le principe est, en partant de points non-uniformément répartisX0, de définir des conditions sur la grille construite à l’échelle j, Xj, pour que la fonction limite construite avec les grilles (Xj)j garde la même régularité que celle définie sur une grille uniforme.
La technique de J. Warren [War95] consiste à subdiviser la grille X0 en utilisant le schéma interpolant de Lagrange S1,1. I. Daubechies, I. Gustov et W. Sweldens [DGS99] ou encore V.
Maxim et M-L. Mazure [MM04] imposent seulement une condition de croissance Xj ⊂Xj+1 et des conditions supplémentaires que choissisent chaques auteurs pour établir la convergence et la régularité.
V. Maxim et M-L. Mazure [MM04] utilisent notamment la notion de schéma équivalent pour comparer deux schémas
S etS˜ sont équivalents si pour tout j∈N, ||Sj−S˜j||∞≤α2−βj avec Sj le schéma défini par fj+1=Sjfj .
Schémas non-uniformes
D. Levin [Lev99] définit des polynômes de Laurent pour des schémas non-uniformes qu’il utilise pour étendre les schémas interpolants 4points (I.29) au cas non-uniforme.
Schémas non-stationnaires
Pour étudier des schémas non-stationnaires mais uniformes, N. Dyn et D. Levin [DL95, DL02]
comparent leurs schémas à un schéma stationnaire. Ils définissent la notion de schémas asymp-totiquement équivalents
S etS˜ sont asymptotiquement équivalents si P
j||Sj−S˜j||∞<+∞.
Si le schéma stationnaire S a des propriétés de convergence et de régularité alors S˜ aura les mêmes propriétés. Ces résultats restent vrais pour des schémas non-uniformes ou dépendant de la position.
Ces résultats ont été utilisé par G. Morin, J. Warren et H. Weimer [MeHW01] et M.K. Jena, P Shunmugaraj et P.C. Das [JSD03] pour étudier les propriétés de schémas construits à partir du schéma spline cubique ou du schéma interpolant 4 points de Lagrange S2,2 et reproduisant des fonctions trigonométriques.
Plus généralement, C. Beccari, G. Casciola et L. Romani [BCR07b] construisent une classe de
schémas interpolants non-stationnaires C1, s’inspirant du schéma4 points interpolant (I.29) qui selon une valeur initiale w0 reproduit les différents types de coniques. Dans [BCR07a], ils amé-liorent la régularité en utilisant une grille triadique. Pour montrer la convergence et la régularité, ils utilisent encore les résultats de N. Dyn et D. Levin [DL95, DL02]. On peut aussi noter que lorsque le paramètre w0 est petit, la fonction limite a tendance à rester très proche des données initiales. On obtient ainsi un schéma uniforme mais non-stationnaire permettant d’éviter des oscillations.
Dans la suite, nous allons voir que l’approche de N. Dyn et D. Levin [DL95, DL02] va per-metttre de construire et de montrer la convergence des schémas dépendant de la position. C’est dans cette lignée que s’inscrivent nos travaux.
II.2.3 Quelques schémas dépendant de la position
Ici, la technique de construction est inspirée des travaux de N. Dyn et D. Levin [DL95, DL02]
pour des schémas uniformes, non-stationnaires. Elle consiste à perturber un schéma linéaire afin de satisfaire certaines propriétés. La plupart du temps cette perturbation est construite par une
"moyenne".
Préservation de propriétés géométriques (convexité, monotonie, . . .)
On peut noter que préserver des propriétés géométriques telles que la convexité ou la monotonie par morceaux peut éviter des artéfacts sur la fonction limite d’un schéma linéaire interpolant (figure I.6).
Une des premières idées de N. Dyn, F. Kuijt, D. Levin et R. Van Damme [DKLD99] est de perturber le schéma4 points interpolant (I.29) en faisant dépendre le paramètre w des données initiales. Ils obtiennent ainsi un schéma stationnaire, uniforme, de régularitéC1 et préservant la strict-convexité, contrairement au schéma de Lagrange S2,2 (w= 161).
M. Marinov, N. Dyn et D. Levin [MDL05] utilisent aussi le schéma (I.29) mais font dépendrew des données à chaque échelle j. Ils construisent ainsi des schémas ayant la même régularité que le schéma de [DKLD99], mais préservant la convexité par morceaux ce qui permet de résoude le problème d’artéfact (figure I.6). Ils appelent ces schémas, des schémas géométriquement control-lés, à cause de la construction géométrique de la perturbation.
On peut remarquer que ces deux schémas [DKLD99, MDL05] peuvent être écrits comme une perturbation du schéma linéaire interpolant de Lagrange S1,1.
F. Kuijt et R. Van Damme [KD98, KD99] généralisent cette idée pour développer des sché-mas de régularité encore C1, préservant la strict-convexité ou la strict-monotonie et ayant un ordre d’approximation égal à 4 pour des données initiales strictement convexe ou strictement monotone.
schéma [KD98] pour la préservation de la convexité: f2n+1= (S1,1f)2n+1−18F(d2fn,d2fn+1) avecF la moyenne harmonique
Les auteurs étendent aussi leurs travaux à des schémas définis sur des grilles non-uniformes, construites par un schéma monotone [KD02].
De même, M.S. Floater et C.A. Michelli [FM98] généralisent cette méthode en définissant des schémas non-linéaires par
schéma [FM98] pour la préservation de la convexité: f2n+1= (S1,1f)2n+1−λF(d2fn,d2fn+1).
Avec des conditions sur λ en fonction du minimun de F, ils obtiennent la préservation de la convexité mais seulement une régularité C0. Avec des conditions surλen fonction du maximum
deF, ils définissent une classe de schémas non-linéaires convergeants.
Analyse multirésolution optimale dans le cas de bruit non-gaussien
L’idée de D.L. Donoho et T.PY. Yu [DY00] est de remplacer la définition des coefficients de la théorie des ondelettes par un schéma de subdivision non-linéaire dans le but de définir une analyse multirésolution éliminant les bruits non-gaussiens. Ils construisent un schéma en base 3 utilisant une moyenne non-linéaire, convergeant mais ayant une régularité assez faible (α= 0.9).
Dans [XY05], G. Xie et T.PY. Yu proposent une généralisation de cette moyenne.
P. Oswald [Osw04] améliore ce résultat de régularité et développe un schéma similaire sur une grille dyadique. Il écrit ces schémas non-linéaires comme une pertubation d’un schéma linéaire.
Dans [Osw03], il propose une généralisation de ces schémas sous la forme
schéma [Osw03] f2n+1= (Slinf)2n+1+φ(f)2n+1dkfn avec φ une fonction non-linéaire.
Schémas de subdivision dansl∞(Zn)
Pour montrer la convergence de schémas del∞(Z2)dans le but de construire des schémas conver-geants définis sur des variétés, P. Grohs et J. Wallner [Gro08, Gro07, GW08] utilisent aussi la comparaison avec un schéma linéaire en définissant la notion de0−proximité de deux schémas
S et T vérifient une condition de 0-proximité si ||(S−T)f||∞≤C||df||α∞ avecα >1 etf vérifiant||df||∞< ε.
SiS est un schéma linéaire convergeant et C1, ils en déduisent des résultats de convergence et de régularité pour le schéma T.
Dans [DGW08], en se plaçant dans le cas interpolant, N. Dyn, P. Grohs et J. Wallner montrent des résultats sur l’ordre d’approximation du schéma T en fonction de la régularité du schéma linéaire S.
A noter que c’est les seuls travaux théoriques effectués à notre connaissance concernant des sché-mas non-linéaires définis surl∞(Zn).
Schémas de subdivision adapté aux discontinuités
Initialement, ces schémas ont été développés pour obtenir une analyse multirésolution non-linéaire adaptée aux contours d’une image.
Citons parmi ces schémas, les schémas de subdivision eno et weno , étudiés par N. Dyn, A.
Cohen et B. Matei [CDM03, Mat02] ou encore le schéma pphdéveloppé et étudié par S. Amat, R. Donat, J. Liandrat et J-C. Trillo [ADLT06, AL05] (voir section II.4.1 et II.4.2).
De plus, dans [CDM03, Mat02], les auteurs donnent des résultats généraux sur les schémas non-linéaires en définissant la notion de rayon spectral, de reproduction des polynômes ou encore de schémas aux différences dans le cas non-linéaire.