Définition des involutions α m −1

p ⁽0 ≤ p < m−1) sur les brins de coupe de cellules partiellement intersectées

La définition des involutionsαm−1

p ^{reprend celle de [Aub99]. La coupe d’une cellule}

spatio-temporelle de dimensionm est un ensemble de cellules de dimensionm−1. Cette “réduction de dimension” se répercute sur les involutions αm−1

p ^{, pour} p > 0. Soit bm _{un brin d’une}

cel-lule partiellement intersectée : l’involution αm−1

p ^{sur le brin de coupe}bmφm−1 _{est définie par}

bmφm−1αm−1

p =bmαm

p+1φm−1_.

La définition deα^m₀⁻¹est moins formelle, car elle ne fait pas exclusivement appel à la topolo-gie, et tient compte du plongement des brins de coupe. Considérons une face spatio-temporelle F. Pour définirαm−1

0 ^{sur les brins de coupe, nous employons un algorithme de type “scan-line”}

surF pour relier parα1

0 ^{tous les brins de coupe de dimension}1(Fig. A.4). On sélectionne parmi ces brins celui pour lequel les coordonnées du plongement spatial associé sont minimales (i.e. on teste les valeurs de plongement en X, puis en Y et enZ). Soit b1 _{le brin sélectionné, et soit} b2

un brin deF tel queb2φ1 =b1_{. Pour déterminer}b1α1

0^{, on parcourt simultanément les brins de}F dans deux directions : le premier parcours commence parb2α2

0α2

1^{, et le second par}b2α1

1^{. Chaque}

parcours se poursuit en appliquant la composition d’involutionsα2 0α2

1 ^{sur les brins de}F. Soient b′1 _etb′′1 _{les premiers brins de coupe respectifs rencontrés sur chaque parcours respectif :}

– dans le cas le plus simple,b′1 =b′′1_{, et on pose}b1α1 0=b′1_;

– dans le cas général,b′1 6=b′′1_{. On relie}b1_parα1

0^{avec le brin}b′1_oub′′1_{qui est le plus proche}

de b1_{, en comparant les plongements sur} X, Y etZ. Le brin le plus proche détermine le sens dans lequelF est ensuite parcourue pour relier parα1

0 ^{les paires successives de brins}

de coupe rencontrées lors du parcours.

Cette méthode permet de construire toutes les arêtes de coupes issues des faces partiellement intersectées, et donne des résultats visuellement satisfaisants dans le modeleur.

Algorithme 9 : Algorithme de création des brins de coupe.

Entrée :n-cellulecn_{et coordonnée de l’hyperplan de coupe}tC.

/* On traite lesm-cellulescm_{du bord de}cn_{dans l’ordre des dimensions croissantes. */}

Pourmde0ànFaire

Pour tous les brinsbm_{de l’orbite}hαm

1 , αm

2 , ..., αm

m−1id’un brin decm_Faire

/* Test d’intersection des sommets. */

Sim= 0Alors

SoitP_tle plongement temporel associé àbm_;

SiPt=t_CAlors

Créer le brin de coupebmφ0_;

Sinon

/* Sicm_{est totalement intersectée, tous ses brins sont marqués et on leur associe un}

brin de coupe de dimensionm. */

Sibm_{n’est pas marqué Alors}

Si tous les brins des(m−1)-cellules du bord decm _{sont associés à des} brins de coupe de dimensionm−1Alors

Pour tous les brinsb′m_decm_Faire

Créer le brin de coupeb′mφm_;

Poserb′mφmσm ←b′mσmφm−1_; Pourpde0àm−1Faire Sib′mαm p φm_{existe Alors} Poserb′mφmαm p ←b′mαm p φm_; Marquerb′m_;

/* Sibm_{n’est pas marqué à ce stade, on est sûr que}cm_{n’est pas totalement}

intersec-tée : on teste l’intersection partielle.*/

Sibm_{n’est pas marqué Alors}

Sim= 1Alors

SoientP_tetP′

t ^{les plongements temporels associés aux extrémités des}

arêtes tels queP_t< P′

t^;

SiPt≤t_C < PtAlors

Créer le brin de coupebmφ0_{tel que}bmφ0 ≡bmα0 0φ0_;

Sinon

/* Propagation des brins de coupe aux dimensions supérieures. */

Sibmσmφm−2_{existe Alors}

Créer le brin de coupebmφm−1_{tel que}bmφm−1 ≡bmαm

0 φm−1_;

Poserbmφm−1σm−1 ←bmσmφm−2_;

/* Démarquage des brins decn_{et des cellule de son bord. */}

Pourmde0ànFaire

b′′1 a) b2α2 0 b′1 b′′1 b2α2 0α2 1 c) b′1 b1 b2 b1 b2 b) b2α2 1 b1 X Coupe T

FIG. A.4 :Définitions des involutionsα1

0^{sur les brins de coupe de dimension}1.

Les involutionsα1 0^etα2

0^{(resp. les involutions}α2

1^{et les relations de bord}σ1_etσ2_{) sont représentées par} des pointillés (resp. des traits pleins et des flèches). Les brins spatio-temporels sont représentés par des cercles, et les brins de coupe par des carrés. a) Coupe d’une2-cellule et des cellules de son bord.b1_{est le} brin de coupe (associé àb2_etb2α2

0^{) dont le plongement est minimal en}X. b) Les brins de la2-cellule sont parcourus dans deux directions : un parcours commence parb2α2

1^{, et l’autre par}b2α2 0α2

1^{. Chaque parcours} cesse lorsqu’un brin de coupe est rencontré : ici,b′1_etb′′1_.b′1_{est plus proche de}b1_queb′′1_{: on relie}b1_et

b′1_parα1

0^{, et on construit les autres arêtes de coupe.}

Pour définir l’involutionαm

0 ^{sur les brins de coupe de dimension}msupérieure à2, nous procédons de la manière suivante : soitbm_{un brin d’une}m-cellule partiellement intersectéecm(m >2) et soitbmφm−1 _{le brin de coupe correspondant. On suppose que}bmσmφm−2α^m₀⁻² est bien défini et on veut définirbmφm−1α^m₀⁻¹. Le principe consiste à rechercher le brin b′m _decm _{pour relier}

b′mφm−1 _àbmφm−1_parαm−1

0 ^{. À partir de}bmσm_{, on parcourt l’orbite}hαm−1 0 , αm−1

1 i(bmσm)et on teste les brins de coupe associés aux brins de cette orbite ; le parcours est arrêté lorsque le brin de coupe testé est bmσmφm−2α^m₀⁻². Dans le même temps, on parcourt l’orbite hαm

0 , αm

1 i(bm) à partir de bm _{exactement de la même manière que le premier parcours, et on s’arrête au même}

moment : le brinb′m_{sur lequel le parcours s’est arrêté est le brin recherché : on définit}α^m₀ ⁻¹ par bmφm−1α₀^m−1=b′mφm−1_etb′mφm−1α^m₀⁻¹ =bmφm−1_.

L’algorithme 10 résume les étapes de la définition des involutions sur les brins de coupe. Comme dans l’algorithme précédent, chaque cellulecm_{est traitée en parcourant l’orbite}hαm

1 , αm

2 , ..., αm m−1i d’un brin decm_{. De plus, la définition de l’involution}α1

0 ^{pour les brins de coupe de dimension}1 nécessite d’effectuer un traitement global aux cellules intersectées de dimension 2: les brins de ces cellules sont marqués pour ne les traiter qu’une fois.

A.5 Identification

L’identification de deuxn-cellulescn

1 ^etcn

2 ^{consiste à transférer le contenu de l’étoile des brins}

decn

1 ^{vers les brins de}cn

2^{. Ce transfert implique la mise en correspondance récursive des brins des}

deux cellules et de leurs bords (cette mise en correspondance est décrite dans l’algorithme 11). On utilise une bijection notéeφn_{qui associe un brin de}cn

1 ^{à un brin de}cn

Algorithme 10 : Algorithme de définition des involutions sur les brins de coupes de cellules

partiellement intersectées.

Entrée :n-cellulecn_.

/* On traite lesm-cellulescm_{du bord de}cn_{dans l’ordre des dimensions croissantes. */}

Pourmde2ànFaire

Pour tous les brinsbm_{de l’orbite}hαm

1 , αm

2 , ..., αm

m−1id’un brin decm_Faire

/* Définition deαm−1

p ⁽1≤p < m−1) sur les brins de coupe. */

Pourpde1àm−2Faire Sibmφm−1_{existe Alors} Poserbmφm−1αm−1 p ←bmαm p+1φm−1_; /* Définition deαm−1 0 ^{. */}

Sim= 2et sibm_{n’est pas marqué Alors}

Rechercher les brins de coupe associés aux brins decm_;

Déterminer le brin de coupeb′mφm−1 _{dont le plongement a les coordonnées}

minimales ;

Parcourircm_{pour définir}b′mφm−1αm−1 0 ^;

Parcourircm _{dans la direction déterminée par}b′mφm−1 _etb′mφm−1α^m₀ ⁻¹ et définirα^m₀⁻¹entre les paires de brins de coupes successives ;

Marquer les brins decm_;

Sinon

Sibmφm−1α^m₀⁻¹n’est pas défini Alors

Parcourir en parallèle les orbiteshαm−1 0 , αm−1

1 i(bmσm)à partir debmσm

ethαm

0 , αm

1 i(bm)à partir debm_;

Arrêter les deux parcours quand le brin de coupe associé à un brin de hαm−1

0 , αm−1

1 i(bmσm)est égal àbmσmφm−2αm−2 0 ^;

Soitb′m_{le brin sur lequel le parcours de}hαm

0 , αm

1 i(bm)s’est arrêté ; Poserbmφm−1α^m₀ ⁻¹←b′mφm−1_{; Poser}b′mφm−1α^m₀ ⁻¹ ←bmφm−1_;

Algorithme 11 : Algorithme de mise en correspondance des cellules à identifier. Entrée :n-cellulescn 1 ^etcn 2^. /* Les brins decn 1 ^etcn

2 ^{sont parcourus en parallèle. */}

Pour tous les brinsbn

1 ^decn

1 ^{et tous les brins}bn

2 ^decn

2 ^Faire

Sin >0et sibn

1σnφn−1_{n’a pas été défini Alors}

Soitcⁿ₁⁻¹la cellule contenantbn

1σn_{et soit}cⁿ₂⁻¹ la cellule contenantbn

2σn_;

Appliquer l’algorithme de mise en correspondance surcⁿ₁⁻¹etcⁿ₂⁻¹ ; Poserbn

1φn←bn

2 ^;

Si la bijection est correctement définie, le transfert des brins des étoiles (décrit par l’algo-rithme 12) est réalisé.

Algorithme 12 : Algorithme de transfert de l’étoile. Entrée :n-cellulecn

1^.

Pour tous les brinsbn

1 ^decn

1 ^Faire

Sin >0et sibn

1σn_{n’a pas été traité Alors}

Soitcⁿ₁⁻¹la cellule contenantbn

1σn_;

Appliquer l’algorithme de transfert surcn−1 1 ^;

/* Transfert des brins de l’étoile. */

Pour tous les brinsbⁿ₁⁺¹de l’étoile debn

1 ^Faire

bn+1σn+1←bn

I

MPLANTATION DU PRODUIT

CARTÉSIEN DANS LE MODELEUR

Le modeleur 4D à base topologique que nous avons développé permet de manipuler des objets spatio-temporels de dimension topologique 0 à 4 pour définir et contrôler des animations. Ces objets sont principalement construits par produits cartésiens d’objets de dimension topologique inférieure à4.

Dans ce cadre, les produits cartésiens que nous réalisons concernent exclusivement les couples de dimensions(k′, l′)avec0≤k′≤3,0≤l′ ≤3, et0≤k′+l′ ≤4. Nous décrivons explicitement ci-dessous les suites de bits utilisées, puis les correspondances entre les brins représentés par ces suites et les brins associés par les opérateursαk′+l′

p ⁽0 ≤ p ≤ k′+l′_{) et}σk′+l′

. Le tableau B.1 décrit les suites de bits représentant les brins résultants des produits cartésiensGk′

⊗Gl′

, pour 0≤k′ ≤3,0 ≤l′ ≤3, et0 ≤k′+l′ ≤4. Remarquons que pourk′ =l′ = 0, une suite de bits “vide” est associée au brin résultant ; cette suite est symbolisée par(−).

(k′, l′) Suites de bits (0,0) [(−)] (1,0)ou(0,1) [(1)]ou[(0)] (2,0)ou(0,2) [(11)]ou[(00)] (0,3)ou(3,0) [(111)]ou[(000)] (1,1) [(01),(10)] (2,1)ou(1,2) [(011),(101),(110)]ou[(001),(010),(100)] (3,1)ou(1,3) [(0111),(1011),(1101),(1110)]ou[(0001),(0010),(0100),(1000)] (2,2) [(0011),(0101),(0110),(1001),(1010),(1100)]

TAB. B.1 :Suites de bits représentant les brins résultants des produits cartésiensGk′

⊗Gl′

, pour0 ≤

k′ ≤3,0≤l′ ≤3et0≤k′+l′ ≤4.

Pour des dimensionsk′ _etl′ _{et un ensemble de brins}Mat[bk′

][b′l′

]donnés, les tableaux B.2-197

B.8 décrivent l’ensemble des brins images parαk′+l′

p ⁽0 ≤ p ≤ k′+l′−1) etσk′+l′

: les brins images sont obtenus en utilisant les tables de correspondanceT Ck′

l′ , pour0≤k′ ≤3,0≤l′≤3, et0≤k′+l′≤4. Par exemple, pourk′ = 1,l′ = 0et un couple de brins(b1, b′0),Mat[b1

1][b′0 1] = {((b1,−),(b′0,0))}(tableau B.2). La table de correspondanceT C1

0 ^{détermine les images des brins}

de Mat[b1][b′0]parα1

0 ^{et leur position. Les tableaux B.2-B.8 décrivent respectivement les brins}

images pour les couples de dimensions(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1),(3,1)et(2,2)(les autres cas se déduisent par symétrie).

Mat[b1][b′0] Opérateur Brin image((bk′′

, I′

l′′),(bl′′

, J′

k′′)) Position dansMat[bk′′

][bl′′ ] ((b1,−),(b′0,0)) α1 0 ((b1α1 0,−),(b′0,0)) 0 σ1 ((b1σ1,−),(b′0,−)) 0 TAB. B.2 :k′= 1etl′= 0: images des brins deMat[b1][b′0]parα1

0^etσ1_.

Mat[b2][b′0] Opérateur Brin image((bk′′

, I′

l′′),(bl′′

, J′

k′′)) Position dansMat[bk′′

][bl′′ ] ((b2,−),(b′0,01)) α2 0 ((b2α2 0,−),(b′0,01)) 0 α2 1 ((b2α2 1,−),(b′0,01)) 0 σ2 ((b2σ2,−),(b′0,0)) 0 TAB. B.3 :k′= 2etl′= 0: images des brins deMat[b2][b′0]parα2

p⁽0≤p≤1) etσ2_.

Mat[b3][b′0] Opérateur Brin image((bk′′

, I′

l′′),(bl′′

, J′

k′′)) Position dansMat[bk′′

][bl′′ ] ((b3,−),(b′0,012)) α3 0 ((b3α3 0,−),(b′0,012)) 0 α3 1 ((b3α3 1,−),(b′0,012)) 0 α3 2 ((b3α3 2,−),(b′0,012)) 0 σ ((b3σ3,−),(b′0,01)) 0 TAB. B.4 :k′= 3etl′ = 0: images des brins deMat[b3][b′0]parα3

p⁽0≤p≤2) etσ3_.

Mat[b1][b′1] Opérateur Brin image((bk′′

, I′

l′′),(bl′′

, J′

k′′)) Position dansMat[bk′′

][bl′′ ] ((b1,0),(b′1,1)) α2 0 ((b1,0),(b′1α1 0,1)) 0 ((b1,0),(b′1,1)) α2 1 ((b1,1),(b′1,0)) 1 ((b1,0),(b′1,1)) σ2 ((b1σ1,0),(b′1,−)) 0 ((b1,1),(b′1,0)) α2 0 ((b1α1 0,1),(b′1,0)) 1 ((b1,1),(b′1,0)) α2 1 ((b1,0),(b′1,1)) 0 ((b1,1),(b′1,0)) σ2 ((b1,−),(b′1σ1,0)) 0

TAB. B.5 :k′= 1etl′ = 1: images des brins deMat[b1][b′1]parα2

Dans le document Utilisation du produit cartésien en modélisation géométrique 4D pour l'animation (Page 194-200)