Définition du modèle et analyses statistiques

Il y avait une grande variabilité dans la base de données en raison de la diversité des contextes sylvicoles, des sols et des techniques de préparation du site. Par exemple, le chêne était en grande partie surreprésenté avec un grand nombre de sites alors que le pin n’a été trouvé que sur un seul site. De plus, les différents types de préparation de site n'étaient pas nécessairement répétés d'un site à l'autre et d'une espèce à l'autre. En conséquence, il était impossible d'ajuster un modèle unique qui aurait englobé toutes les espèces, et nous avons ajusté un modèle pour chaque espèce indépendamment.

La base de données était déséquilibrée entre les espèces, les sites et les traitements, et certaines combinaisons site x espèces n’étaient représentées que dans un seul site.

Nous avons adapté des modèles de puissance aux premières années de croissance individuelle des semis. Certains modèles ont été construits pour inclure les effets des facteurs environnementaux et des activités de gestion sur les cultures juvéniles (Mason et al. 1997; Mason 2001) et ont de meilleures propriétés du point de vue des mensurations. Cependant, l'abstraction de ces approches limite leur capacité à représenter un système hautement dynamique avec une végétation concurrente changeante et des influences microclimatiques. Ainsi, nous choisissons cette forme de modèle pour le potentiel de modélisation qu’elle offre et que nous souhaitons conserver dans le second chapitre pour établir un fil conducteur sur l’étude. Ce type de modèle est tiré de la littérature (Clark 1983). Il est souvent utilisé pour représenter le rendement des arbres juvéniles (Mason et al. 1997, 2007; Mason 2001; Mckay et Mason 2001) et peut être exprimé comme suit :

!" = !$+ &'(+ )

Équation 1. Modèle de croissance exponentielle adapté à la période juvénile (Clark 1983).

où Y0 correspond aux valeurs initiales des variables dendrométriques Y (hauteur ou diamètre

de l'arbre), t est le temps écoulé depuis la plantation (années), Yt est le Y observé au temps t, a

et b sont les paramètres du modèle à estimer et ε est un terme d'erreur résiduel. Dans des études antérieures, il a été démontré que les paramètres du modèle étaient liés de manière linéaire au site, à la gestion de la végétation, à la préparation du site et aux effets sur la qualité des semis.

Le modèle montré dans l’Équation 1 permet une baisse du taux de croissance relative qui se produit à mesure que les arbres juvéniles grandissent (Kirongo et Mason 2003).

La structure hiérarchique de la base de données, c'est-à-dire des arbres imbriqués dans des parcelles, imbriqués dans des blocs, imbriqués dans des sites, a probablement abouti à des données auto-corrélées et à une violation de l'hypothèse d'indépendance. L'utilisation de techniques statistiques traditionnelles fondées sur les estimateurs des moindres carrés conduit à un niveau de signification biaisé des effets fixes lorsque l'hypothèse d'indépendance ne tient pas (Gregoire et al. 1995). L'approche du modèle à effets mixtes (à la fois aléatoires et fixes) permet d'assouplir l'hypothèse d'indépendance, par la spécification d'effets aléatoires dans le modèle.

Différents niveaux d'effets aléatoires ont été testés dans le modèle : arbre, parcelle, bloc et site. Les critères d'information Akaike et Bayésien (Pinheiro 2000 p.84) ont été utilisés pour sélectionner les modèles qui correspondaient le mieux aux données. En plus des critères, des corrélations empiriques ont été calculées sur les résidus normalisés pour identifier les corrélations persistantes résiduelles, qui ne seraient pas expliquées par les effets aléatoires (Fortin et al. 2008).

Le modèle générique, ajusté séparément pour la hauteur ou le diamètre, résultant de ce processus de sélection pourrait être exprimé comme suit :

*(")-./0 = *$-./0+ 1&2+ 34,6+ 347,6+ 3478,6+ 34789,6:'489

(_;<=_-,><=_-.,><=_-./,><=_-./0,>

+ )4789 Équation 2. Adaptation du modèle sélectionné pour l'ajustement aléatoire multi-niveaux.

où y(t)ijkl est la hauteur ou le diamètre de l'arbre pris sur l'arbre l de la parcelle k du bloc j du site

i et; tijkl est l'âge de l'arbre (an); as et bs sont les paramètres d'effets fixes; bx, i, bx, ij, bx, ijk et bx, ijkl (où x = 1 ou 2) sont des effets aléatoires de site, de bloc, de parcelle et d'arbre,

respectivement; et εijkl est le terme d'erreur résiduel. Chaque niveau d'effets aléatoires est en fait

représenté par un vecteur de deux effets aléatoires, par ex. bi = (bi, 1, bi, 2) T. On suppose que ces

vecteurs d'effets aléatoires suivent des distributions normales bivariées avec une moyenne de 0 et une variance à estimer. De même, le terme d'erreur résiduelle εijkl est supposé suivre une

préliminaires incluaient des effets aléatoires de bloc, mais le processus de sélection du modèle a révélé qu'il n'était pas significatif et que ce niveau d'effets aléatoires était retiré des analyses ultérieures.

Sur la base de simulations de Monte-Carlo, nous avons réalisé des t-tests pour discriminer les types de traitement à 5, 10 et 15 ans. Les différences perçues comme très significatives se reflètent dans les chiffres par des intervalles de confiance non chevauchants entre deux types de traitements. Des intervalles de confiance et des comparaisons entre différents traitements à différentes dates cibles ont été obtenus à l'aide de simulations de Monte Carlo.

Toutes les analyses statistiques ont été réalisées avec R (version 3.3.2, R Core Team, 2016). Les modèles mixtes non linéaires ont été ajustés à l'aide du package nlme ver. N 3.1-131 (Pinheiro et al. 2019).

III. Résultats

Les résultats sont présentés par espèce. Les prévisions de diamètre et de hauteur sont présentées dans les Figure 10 et Figure 11. Les Table 2 et Table 3 présentent les résultats des modèles par espèce et traitement. Les valeurs des estimations de paramètres obtenues à partir des modèles sont présentées en Annexe 1 et Annexe 2.

Nous procèderons à l’analyse de ces résultats en deux temps en commentant d’abord les résultats généraux issus des différents modèles de diamètre et de hauteur. Par la suite, nous étudierons au cas par cas plus en détail les différentes essences présentes dans nos analyses.