Définition cosinus et sinus - Sections :

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On muni le plan du repère orthonormé tel que B soit du même côté que M par rapport à la droite (OP).

Soit A’ le symétrique de A par rapport à O et C le demi-cercle trigonométrique de diamètre [AA’] et contenant B.

Le demi-cercle Ccoupe la droite (OM) en un point N.

a) Recopier et compléter la figure.

b) Vérifier que l’abscisse du point N est égale à et que l’ordonnée du point N est égale à

Activité 4

Soit un repère orthonormé du plan.

1) a) Placer le point M du demi-cercle trigonométrique Ctels que cos b) Placer les points P du demi-cercle trigonométrique Ctels que sin 2) a) Quelles sont les coordonnées du point B ?

b) Déduire cos et sin

3) Déterminer cos 0 et sin 0 ; cos π et sin π.

4) Soit αun réel de l’intervalle [0 , π ] .

Vérifier que – 1 ≤ cos α≤ 1 et que 0 ≤ sin α ≤ 1.

Activité 5

Dans la figure ci-contre

ABC est un triangle isocèle rectangle en A , BCD est un triangle équilatéral ,

BDE est un triangle rectangle en B , DE = 4 et = 30°

Calculer le périmètre du polygone ABEDC.

Activité 6

Dans la figure ci contre CE =12 et = 30°

Calculer BD.

Activité 7 Angles supplémentaires

Soit αun réel appartenant à l’intervalle [0 , π] et soit M le point du demi-cercle

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1) a) Exprimer en fonction de α.

b) Quelles sont les coordonnées des points M et M’ ? c) Comparer cos(π – α) et cos α; sin(π – α) et sin α.

2) a) Représenter sur le demi-cercle trigonométrique les points P et Q tels que

puis donner les valeurs exactes de cos et sin b) Donner les valeurs exactes de cos

Activité 8

Calculer sans utiliser la calculatrice

Activité 9 Angles complémentaires

Soient α un réel appartenant à l’intervalle et M et N les points de l’arc du demi-cercle trigonométrique tels que

1) Exprimer en fonction de α.

2) Soient M’ le projeté orthogonal de M sur (OA) et N’ le projeté orthogonal de N sur (OB).

a) Comparer les triangles OMM’ et ONN’.

b) En déduire que cos = sin αet sin = cos α. 3) Sans utiliser la calculatrice calculer

Activité 10

Distance entre les planètes : Terre, Soleil, Venus et Mercure Depuis la terre T on peut observer le soleil S, venus V et Mercure M.

D’après les astronomes la mesure de l’angle est égale à 48° lorsque la droite (TV) est tangente à la trajectoire de Venus, trajectoire qu’on suppose circulaire (figA)

1) Calculer les distances terre-venus TV et soleil-venus SV sachant que la distance terre-soleil TS est estimée à 15 X 10⁷km

2) Observer la figure (Fig B) et calculer les distances Terre-Mercure TM et Mercure-Soleil MS.

Activité 11

Soit ABC un triangle tel que AB = 5 , AC =13 et BC =12 1) Quelle est la nature de ce triangle ?

2) Déterminer

3) Utiliser votre calculatrice pour donner une valeur approchée à 1° prés des angles

Activité 12

Soit un repère orthonormé du plan.

On désigne par C le demi-cercle trigonométrique et par D et D’ les tangentes respectives à C, en A et en B, et par I leur point d’intersection. 2) Soit T le point d’intersection des droites D et (OM).

En appliquant le théorème de Thalès au triangle OAT, Montrer que tan 3) Soit T’ le point d’intersection des droites D’ et (OM). Montrer que cot

• Soit αun réel appartenant à l’intervalle [0 , π] et tel que On appelle tangente du réel αle réel noté tan αet défini par tan

• Soit α un réel appartenant à l’intervalle ]0 , π[

On appelle cotangente du réel αle réel noté cot α et défini par cot

Définition

Tangente et cotangente

A s s i m i l e r Assimiler :

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Activité 13 Relations fondamentales

Soit x un réel appartenant à [0 , π] 3) a) Donner les valeurs exactes de tan

b) Calculer sans utiliser la calculatrice

Activité 16

1) Construire un triangle ABC rectangle en A et tel que BC = 8 et 2) Soit H le pied de la hauteur issue de A et soit O le milieu de [BC].

a) Calculer les mesures des angles du triangle AOH.

b) Calculer OH puis AH et AB.

c) Déterminer les valeurs exactes de cos , sin et tan . 3) En déduire les valeurs de

a) cos , sin et tan . b) cos , sin et tan .

tan tan tan tan tan tan

7 7

Activité 17

Soit ABC un triangle rectangle en A et soit H le pied de la hauteur issue de A.

1) Montrer que

2) a) En considérant le triangle AHB exprimer tan en fonction de AH.

b) En considérant le triangle AHC exprimer tan en fonction de AH.

3) a) En déduire que AH² = HB ×HC.

b) Calculer AH sachant que HB = 3 et HC = 12.

Activité 18

A partir de 1000 m d’altitude un avion vole à 900 km/h, en faisant un angle de 10° avec l’horizontale. A quelle altitude sera t-il au bout de 5 minutes d’ascension ?

Activité 19

Construction d’un angle connaissant l’un de ses rapports trigonométriques

1) a) Construire un triangle rectangle en A et tel AB = 6 et BC =10.

b) Calculer cos , sin et tan .

2) a) Construire un angle sachant que cos

b) Construire un angle obtus tel que sin = 0,35 3) Construire un angle α dans chacun des cas suivants

a) tan ; b) cos α = 0,25 ; c) α est aigu et sin α= 0,6 ; d) cos α= -0,8.

Activité 20

La loi du sinus

1) Soit ABC un triangle et soit H le pied de la hauteur issue de C .

1) Soit ABC un triangle rectangle en A.

Montrer que sin² = sin² + sin²

2) Soit ABC un triangle tel que sin² = sin² + sin² Montrer que ce triangle est rectangle.

Activité 22

1) Soit MNP un triangle tel que MN = 8, NP = 6 et MP = 10.

Montrer que sin , sin et sin sont en progression arithmétique.

2) Soit ABC un triangle tel que BC, AC et AB sont en progression arithmétique.

Montrer que sin , sin et sin sont en progression arithmétique.

Activité 23

Théorème des bissectrices

Soit ABC un triangle et soit I le point d’intersection de la bissectrice intérieure de l’angle 1) En appliquant la loi du sinus aux triangles AIB et AIC, montrer que

2) On suppose que le triangle ABC n’est pas isocèle et on désigne par J le point d’intersection de la bissectrice extérieure de l’angle et (BC). Montrer que

Activité 24

Soit ABC un triangle.

Γest le cercle circonscrit à ABC et O est son centre.

B’ est le point diamétralement opposé à B.

On désigne par R le rayon du cercle Γ et on pose BC = a, AC = b et AB = c.

1) Pour chaque cas de figure répondre aux questions ci-dessous

a) Comparer

Activité 25

Soit ABC un triangle et Γ son cercle circonscrit. Les bissectrices intérieures de se coupent en I et coupent Γrespectivement en A’, B’ et C’

1) Montrer que sont supplémentaires.

2) On désigne par Γ’ le cercle circonscrit à IA’B’.

En appliquant la loi du sinus dans le triangle A’B’C’ puis dans le triangle IA’B’, montrer que les cercles Γ et Γ’ sont isométriques.

3) Montrer que les cercles circonscrits respectivement aux triangles ABC, IA’B’, IB’C’ et IA’C’ sont tous isométriques.

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