La présentation théorique du krigeage, des différentes hypothèses sous-jacentes et des modèles utilisés est réalisée en C.1 (à partir de la page 527).
7.1.1 Définition du modèle d’interpolation
Pour calculer les pluies moyennes sur chacun des bassins, il est nécessaire dans un premier temps de définir et d’évaluer le variogramme qui permet de décrire la structure des champs pluvieux de la région d’étude1.
Le choix et l’ajustement d’une fonction au semi-variogramme est la partie la plus délicate du kri- geage. Gratton (2002) la qualifie « d’art plutôt qu’une science ». Ceci peut être réalisé, après un assez long travail de contrôle minutieux et précis des données, soit par des méthodes numériques (ex : les moindres carrés) quand on a suffisamment de données : on minimise alors une fonction objectif (par exemple la somme des distances des variogrammes empiriques au variogramme théo- rique) ; soit, dans le cas où les données ne sont pas assez nombreuses, des méthodes graphiques, plus subjectives.
Ce travail particulier requiert une expérience du calage des variogrammes. Il est par ailleurs très coûteux en temps, d’autant plus s’il s’agit d’estimer le variogramme sur l’ensemble des pas de temps pluvieux de 27 ans de données. Comme le but de ce travail n’est pas de cartographier certains événements bien particuliers de la chronique dont on dispose mais plutôt d’obtenir un modèle simple, permettant de calculer des lames d’eau moyennes avec les incertitudes qui leur sont associées ; comme par ailleurs, il existe déjà des travaux portant sur ce point particulier du calage de variogramme (et dans des régions proches), nous nous appuyons, comme l’ont fait avant nous, Datin (1998) et Zin (2002), sur les travaux de Lebel (1984) pour le choix et le paramétrage du modèle géostatistique utilisé.
Comme cela a été signalé dans la revue de la littérature, Lebel (1984) a mis en avant plusieurs éléments caractéristiques d’un variogramme acceptable dans la région Cévennes-Vivarais (dans laquelle est comprise notre zone d’étude). Notre modèle va donc être caractérisé par les éléments suivants :
1. l’utilisation d’un variogramme climatologique
2. l’hypothèse d’isotropie (pour le pas de temps de travail horaire) 3. l’utilisation du krigeage ordinaire
4. pas de cokrigeage
5. un variogramme sphérique dont la portée dépend du pas de temps de travail.
7.1.1.1 Le variogramme climatologique
Les notions de variogramme climatologique et de variogramme événementiel sont complémen- taires.
Un variogramme théorique est la plupart du temps ajusté pour un événement ou une réalisation donné : par exemple, le champ pluvieux cumulé sur une heure ou un épisode orageux notable. A chaque heure ou pour chaque événement, « l’ampleur » du champ varie (et donc le palier α du variogramme le modélisant varie également). Pour une étude précise, sur quelques pas de temps, l’utilisation d’un tel variogramme se justifie : le palier, et surtout la portée (et un éventuel effet de
1. Une étude approfondie des pluies horaires de la région Cévennes-Vivarais a été réalisée par Tourasse (1981) et Lebel (1984).
pépite) donneront une image précise des informations issues de l’échantillon de mesure, et ainsi rendront mieux compte de la véritable structure spatiale de l’événement. Cette démarche peut être répétée sur l’ensemble des pas de temps de travail, i.e. pour l’ensemble des réalisations.
Cependant, il existe une assez forte incertitude sur l’estimation du variogramme événementiel : peu de données sont disponibles et donc l’effet d’échantillonnage peut avoir des effets impor- tants. Si tous ces événements sont issus d’un même processus aléatoire (et on fait l’hypothèse que c’est ici le cas), c’est-à-dire que la fonction de structure a la même forme, alors le variogramme moyen normalisé obtenu est représentatif de toutes les réalisations et est moins sensible à cet effet d’échantillonnage (Bastin et al., 1984; Lebel & Bastin, 1985) et, comme le note Lebel (1984), l’information climatologique peut venir compléter l’information contenue dans chaque champ1. On veut donc pouvoir ajuster une sorte de variogramme « moyen », climatologique, qui permette de refléter la structure spatiale de l’ensemble des événements. Or, la moyenne des champs varie d’une réalisation k à la suivante k+ 1, et constitue ainsi un obstacle à leur comparaison. Pour y remédier, on exploite la forte corrélation reliant la moyenne spatiale empirique mk et la variance
spatiale σk.
Soit le processus Xik tel que :
Zik= Ak.Xik+ B k
(7.3) où :
Ak est une réalisation d’une variable aléatoire A indépendante de X Bk est une réalisation d’une variable aléatoire B liée à A
Xkest défini de manière à garantir que :
∀k, var(Xk) = s2
k = 1 (7.4)
Ainsi la transformation des réalisations de Z sous la forme d’expressions de X permettent d’avoir affaire à un processus unitaire. Elles deviennent donc comparables entre elles. Pour la suite de ce travail, on pose :
– Bk= 0,∀k – Ak= σ
k,∀k
et on vérifie que : ∀i, ∀k, var(Zk
i) = var(σk.Xik) = σ2k.var(X k i) = σ2k
Lebel (1984) montre par ailleurs que si X n’est pas forcément stationnaire, il est quand même possible, grâce au grand nombre d’événements observés de construire un variogramme climato- logique à la manière d’un variogramme empirique. Le modèle théorique associé sera choisi avec une valeur du palier théorique égale à la variance du processus, c’est-à-dire 1.
On a alors, pour la plupart des variogrammes sans effet de pépite, la relation suivante :
γ(h,α,β) = α.γu(h,β) (7.5)
où :
γuest unitaire (γu=1)
Et pour repasser du variogramme climatologique unitaire au variogramme particulier d’un champ k, si α est un paramètre d’échelle et β caractérise la forme du variogramme, on pourra alors utiliser la relation suivante :
1. Parfois ce variogramme climatologique peut permettre de détecter les grandes tendances, telles que des zones privilégiées de déclenchement, des trajectoires préférentielles, ou tout autre comportement systématique. Ce ne sera pas le cas ici, où nous ferons l’hypothèse d’un variogramme isotrope, ergodique et stationnaire.
γk(h,αk,β) = (αk/αu) · γu(h,β) (7.6)
Pour obtenir la variance d’estimation(σ2e)k, il faudra multiplier les variances d’estimation stan-
dardisées σ2e obtenues à l’aide du variogramme climatologique unitaire par ce facteur d’échelle αk
égal à l’écart-type expérimental σkdu champ.
7.1.1.2 L’hypothèse d’isotropie
Cette hypothèse suppose que, quelle que soit la direction dans laquelle sont pris les points, la structure du champ a les mêmes caractéristiques (portée, pépite, etc.). C’est une hypothèse forte mais Lebel (1984) a montré que, si pour des durées plus importantes1une anisotropie existe, pour un pas de temps horaire, dans cette région, il n’y a pas de véritable anisotropie. Haberlandt (2007) montre de même, pour une autre région (le bassin de l’Elbe) et un événement extrême (août 2002), que même s’il existe une anisotropie dans les données, pour un pas de temps horaire, il n’y a pas de différences significatives entre les performances des variogrammes isotropiques et anisotropiques. Le bassin de la Loire supérieure a une topographie moins marquée que l’ensemble de la région d’étude de Lebel (1984), comprenant la Loire Supérieure, mais aussi une partie du bassin de l’Ardèche, celui du Gardon d’Anduze, le bassin du Vidourle. L’effet orographique y est vraissem- blablement moins marqué, même s’il existe. D’autre part, parmi les champs de précipitations à estimer, une grande partie consiste en des épisodes relativement frontaux.
Ainsi, d’une part, il est vraisemblable que l’anisotropie sur notre région d’étude soit inférieure à celle sur la région d’étude de Lebel (1984), d’autre part, même s’il existe une anisotropie dans les données, il n’est pas forcément intéressant de la prendre en compte au sein du variogramme. Ceci nous amène à poser l’hypothèse simplificatrice d’isotropie.
7.1.1.3 Le krigeage ordinaire
Le krigeage ordinaire est défini en annexe C.1.2 page 528. Cela consiste à supposer la variable aléatoire stationnaire de moyenne inconnue.
7.1.1.4 Le cokrigeage
Le cokrigeage (Chilès & Delfiner, 1999) consiste à utiliser la corrélation spatiale entre deux va- riables : une variable principale (par exemple, les hauteurs de précipitations en un temps donné) et une variable secondaire (par exemple les altitudes). Cette corrélation spatiale entre les deux va- riables permet d’estimer la variable principale en des points non échantillonnés. Haberlandt (2007) rappelle qu’en général, la corrélation entre les altitudes et les précipitations dépend du mécanisme de précipitation de l’événement considéré et décroît quand la résolution temporelle augmente. Dans un souci de simplicité, cette solution intéressante ne sera pas prise en compte.
1. Ou pour un krigeage sur des valeurs extrêmes (pluies décennales, gradex) tels que ceux réalisés par Tourasse (1981); Slimani (1984); Laborde (1984); Kieffer Weisse (1998).
7.1.1.5 Un variogramme sphérique
Comme vu précédemment, le variogramme de type sphérique a pour définition :
γ(h,α,β) = α · " 3 2· h β− 1 2· h β 3# h≤ β α h> β (7.7) où :
α est la valeur du palier ; β est la portée ;
hest la distance séparant deux points du domaine étudié.
D’après Lebel (1984), dans la région des Cévennes il est possible d’utiliser un variogramme cli- matologique dont la portée dépend du pas de temps d’étude. Les formules suivantes pour la portée d’un variogramme sphérique1ont été extraites de la littérature scientifique :
β(km) = 25 · ∆τ(h)0.35 (7.8)
β(km) = 25 · p∆τ(h) (7.9)
Ce qui donne pour un pas de temps horaire, une portée β de 25 km (soit une superficie renseignée2 d’environ 120 km2si on considère que la pluie n’est réellement homogène que sur environ un quart de la portée ; pour un pas de temps journalier, une portée de 76 à 120 km selon la formule, soit une superficie de 830 à 2800 km2).
Sur la figure FIG.7.1 ont été représentés les écarts-types de krigeage (ECT) ponctuels normés
(dont le carré, la variance de krigeage, représente l’incertitude sur l’estimation de la valeur ponc- tuelle). Il est possible d’interpréter cet écart-type (au carré) comme le pourcentage de variance non reconstituée, i.e. non expliquée par les postes voisins. S’il vaut 1 on ne reconstitue rien (et la valeur utilisé est la moyenne du champ), s’il vaut 0, la reconstitution est parfaite.
Ces cartes de l’écart-type de krigeage ponctuel illustrent l’influence du variogramme et de la den- sité d’information sur l’incertitude de l’estimation. Comme le krigeage est un interpolateur exact, la valeur estimée en un point de mesure (estimation ponctuelle) avec un modèle sans effet de pé- pite est égale à la valeur mesurée (à la variance libre du champ près) et l’écart-type de krigeage est 0. Quand on s’éloigne de ce point, au fur et à mesure, l’influence de l’échantillon sur la valeur estimée s’atténue et l’écart-type de krigeage augmente pour tendre vers 1. La carte de l’écart-type de krigeage fait donc ressortir les zones où la grande densité de points de mesure rend l’estimation fiable et les zones où le manque de données détériore la précision de l’estimation3. Il faut néan- moins rappeler que l’estimation ponctuelle est plus exigeante que l’estimation moyenne spatiale qui tend à lisser la variabilité ponctuelle.
En 1977 (FIG.7.1), parmi nos données, seuls six postes sont disponibles au pas de temps horaire. Sur une grille d’interpolation de résolution 2 km, seulement 1.94% des points présentent un écart- type de krigeage inférieur à 0.5 (c’est-à-dire ceux pour lesquelles les 3/4 de la variance du champ
1. Bontron et al. (1999) et Bontron (2004) ont étudié la corrélation de la pluie journalière sur les bassins de la Loire et de l’Allier au bec d’Allier et ont trouvé une portée d’environ 100 km, ce qui est cohérent avec les formules proposées précédemment.
2. Srenseignee=Π*[β/4]2
3. Si un seul variogramme est employé dans tout le domaine d’étude, alors les variations spatiales de la variance de krigeage reflètent principalement celles de la densité d’échantillonnage.
Année 1977 : 6 postes 680 700 720 740 760 780 1980 2000 2020 2040 2060 Annee 1977 : 6 postes X Lambert II (km) Y Lambert II (km) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 + reseau pluvio 680 700 720 740 760 780 1980 2000 2020 2040 2060 Annee 1977 : 6 postes X Lambert II (km) Y Lambert II (km) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 + reseau pluvio Année 1995 : 29 postes 680 700 720 740 760 780 1980 2000 2020 2040 2060 Annee 1995 : 29 postes X Lambert II (km) Y Lambert II (km) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 + reseau pluvio 680 700 720 740 760 780 1980 2000 2020 2040 2060 Annee 1995 : 29 postes X Lambert II (km) Y Lambert II (km) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 + reseau pluvio Année 2003 : 40 postes 680 700 720 740 760 780 1980 2000 2020 2040 2060 Annee 2003 : 40 postes X Lambert II (km) Y Lambert II (km) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 + reseau pluvio 680 700 720 740 760 780 1980 2000 2020 2040 2060 Annee 2003 : 40 postes X Lambert II (km) Y Lambert II (km) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 + reseau pluvio
FIG. 7.1 – Ecarts-types de krigeage (ECT) ponctuels normés pour des portées de 25 km (à gauche) et 76 km (à droite), correspondant respectivement aux portées pour un pas de temps horaire et un pas de temps journalier : réseaux de 1977 (en haut), de 1995 (au milieu) et de 2003 (en bas).
1980 1985 1990 1995 2000 0 20 40 60 80 100 Annee
Pourcentage de pixels dont ECT< seuil
+ + + + + + + + + + + + + o o oo o o oo o o o o o
pas de temps 1h ; seuil = 0.5 pas de temps 1h ; seuil = 0.7 pas de temps 24h ; seuil = 0.5 pas de temps 24h ; seuil = 0.7
FIG. 7.2 – Évolution du pourcentage de pixels dont l’écart-type d’estimation théorique (ECT) ponctuel est inférieur à un seuil donné (0.5 ou 0.7) pour un pas de temps de travail donné (1h ou 24h) : un ECT inférieur à 0.5 permet d’expliquer plus de 75% de la variance ponctuelle ; un ECT inférieur à 0.7 permet d’expliquer plus de 50% de la variance ponctuelle.
sont expliqués : 1-0.52) et 8.4% un écart-type de krigeage inférieur à 0.7 (la moitié de la variance est expliquée). Avec le même réseau, pour un pas de temps journalier (et donc une portée supé- rieure), le poucentage de points dont l’écart-type de krigeage est inférieur à 0.5 passe à 27.17% (et à 59.08 % pour un seuil de 0.7).
Sur la figure FIG.7.2, sont représentées l’évolution de ces différents pourcentages en fonction du temps et de la densification du réseau. Il est possible de noter l’effet important de la prise en compte de 12 postes pluviographiques du réseau de Météo-France à partir de 1993. Avec le réseau pluviographique final (40 postes) comprenant les 3 postes EDF, les 12 postes Météo-France et les 25 postes du réseau CRISTAL, pour le pas de temps journalier, la moitié de la variance ponctuelle est expliquée pour presque tous les points de la grille d’interpolation (94.2%) et les trois quart de la variance ponctuelle sont expliqués pour environ les trois quarts des points (74.3%) ce qui est tout à fait satisfaisant. En ce qui concerne le pas de temps horaire, en 2003, la variance ponctuelle est expliquée pour moitié (seuil 0.7) pour environ la moitié des points (48.5%) et est expliquée au trois quart pour un point sur six (16.3%).
7.1.2 Paramétrisation du modèle d’interpolation
Pour la paramétrisation du modèle comme pour le choix de sa forme nous nous sommes référés à la littérature et en particulier aux travaux de Lebel (1984). Si nous n’avons pas calé, au cours de ce travail, les paramètres du variogramme utilisé, nous vérifions cependant qu’ils sont acceptables sur cette sous région de la zone d’étude de Lebel (1984), avant de les choisir comme paramètres définitifs de notre variogramme de travail.
7.1.2.1 Vérification graphique de l’ajustement du variogramme
La forme du variogramme (ou de la covariance) est l’espérance de la forme du processus au voisi- nage d’un point fixé (i.e. sa moyenne sur un grand nombre de réalisations). Il y a donc une relation entre sa forme et la morphologie des réalisations individuelles.
Lorsque les points expérimentaux sont irrégulièrement répartis dans l’espace (comme c’est le cas avec les réseaux de mesures pluviographiques), on procède à des regroupements par classe de distances1. Les classes comprennent donc en réalité des stations distantes de h ± ∆h. Une fois le nombre de classes choisi, il suffit ensuite d’ajuster à tous ces points une des fonctions analytiques choisies lors de la définition du modèle (cf. C.1.4, page 530). La figure FIG.7.3 propose un exemple de semi-variogramme ajusté pour quelques périodes sur les bassins de la Loire supérieure.
0 20 40 60 80 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Distance (km)
Semivariogramme standardisé empirique
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● automne 96 automne 98 automne 02
FIG. 7.3 – Exemple d’ajustement du semi-variogramme.
7.1.2.2 Choix de la paramétrisation finale
Les paramètres du variogramme sphérique identifiés par Lebel (1984) pour des pluies horaires sur la région des Cévennes sont cohérents avec les données des variogrammes ajustés sur les données de la Loire supérieure. Ce sont ces paramètres que nous allons utiliser :
– une portée β= 25 km pour un pas de temps horaire – un palier α= 1 pour un variogramme climatologique – pas d’effet de pépite
Nous rappelons par ailleurs, que nous travaillons avec un krigeage ordinaire (sans dérive) et que nous avons fait l’hypothèse d’un krigeage isotrope.
1. Et éventuellement d’angle dans le cas d’un krigeage anisotrope : l’étude du comportement du variogramme dans les différentes directions renseigne sur les anisotropies éventuelles du phénomène.
7.1.3 Définition du modèle d’erreur associé
L’erreur d’estimation est l’écart entre une valeur « estimée » bZk par le modèle et une valeur Zk réellement réalisée, connue (comme pour la pluie ponctuelle au droit d’un pluviographe) ou non (comme la lame d’eau moyenne sur un bassin versant).
7.1.3.1 L’erreur d’estimation ponctuelle
Soit xiun point du domaine et Zk(xi) l’observation réalisée en ce point pour l’événement k.
Pour chaque champ pluvieux k, l’écart entre la valeur réellement observée Zk
i en xi et la valeur
reconstituée bZikà l’aide du krigeage est appelé erreur d’estimation ponctuelle.
eki =Zbki − Zik (7.10)
Quand cet écart ek
i est rapporté à l’écart-type spatial du champ de pluie σk, on parle d’erreur
d’estimation ponctuelle standardisée.
εki = bZ k i − Z k i σk = eki σk (7.11)
7.1.3.2 L’erreur d’estimation sur la lame d’eau moyenne
Soit V un domaine sur lequel on estime une valeur de lame d’eau moyenne et ZVk la réalisation observée (ou non) sur ce domaine pour l’événement k.
Pour chaque champ pluvieux k, l’écart entre la valeur réellement observée ZVk sur la surface V (c’est-à-dire la lame d’eau), ici inconnue, et la valeur reconstituée bZVk à l’aide du krigeage est appelé erreur d’estimation spatiale.
eVk =ZbVk− ZVk (7.12)
Et de la même façon, quand cet écart ek
V est rapporté à l’écart-type spatial du champ de pluie σk,
on parle d’erreur d’estimation spatiale standardisée1.
εkV = b ZVk− Zk V σV k = ekV σV k (7.13)
7.1.3.3 Le modèle d’erreur : distribution théorique des erreurs d’estimation
Le modèle d’erreur associé au modèle d’interpolation retenu et présenté dans la partie précédente est défini d’après les hypothèses de la géostatistique.
Comme on utilise un modèle d’interpolation climatologique, les erreurs (théoriques) pour les- quelles la géostatistique nous fournit des indications sont les valeurs des erreurs standardisées, des sortes « d’erreurs climatologiques ».
1. Avec : σV k = Z Z V C(t,t0)dtdt0 σV k < σk
Le modèle d’erreur est le suivant : les erreurs d’estimation théoriques suivent une loi normale
N
(0,(σe)k) centrée en 0 et d’écart type, l’écart-type de krigeage (σe)k, c’est-à-dire l’écart-typed’estimation théorique (FIG. 7.4). D’où :
E[Zbk− Zk] = 0 (7.14)
Var[bZk− Zk] = σ2k.(σVe2 )k (7.15) où :
σk est l’écart type spatial du champ
σkVeest l’écart-type de krigeage ECT
−4 −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
Loi normale N(0,ECT)
densité
FIG. 7.4 – Distribution théorique des erreurs d’estimation standardisées.