La dernière objection concerne le § 10. Frege revient à la question de la deuxième objection : quelle différence y a-t-il entre axiomes et définitions ? Cette objection est moins argumentée que la précédente.
Conclusion (n49)
Cette première lettre de Frege est donc toute entière consacrée aux notions de définition et d’axiome. La 1ère objection concernait la différence entre explication et définition, la 2ème et la 4ème le statut de l’axiome, la 3ème et la 5ème la différence entre définition et axiome. Pour nourrir ses objections, Frege a développé ses propres vues concernant axiomes et définitions. En approfondissant la question de la définition de la définition, Frege aborde des problèmes ontologiques. Pour finir, il synthétise ses objections dans la conclusion en disant qu’il faut d’abord s’entendre sur les expressions
"définition" et "axiome" (la question de l’explication étant en réalité secondaire).
Hilbert à Frege, 29 décembre 1899
Remarques générales et introduction (n50)
La lettre de Hilbert a une structure beaucoup plus facile à appréhender que celle de Frege. Il est vrai qu’il est plus facile de répondre à une courte série d’objections que de trouver des objections sérieuses dans un ouvrage technique ! Ainsi Hilbert, après une courte introduction où il rappelle, ponctuant par "je voulais", ses objectifs, répond particulièrement à 4 passages de la lettre de Frege qu’il cite : 3 objections (1, 2 et 4) et une affirmation de la position de Frege (le 5ème point). La 1ère objection concernait la définition, la 2ème, la 4ème et la partie du 5ème point traité concernaient les axiomes.
D’emblée, Hilbert situe sa réponse à un niveau différent de celui de la question.
Pour Frege, pour se comprendre il faut impérativement s’entendre sur les concepts de base. Pour Hilbert, pour s’entendre il ne faut pas oublier les objectifs poursuivis. Ce sont positions presque antinomiques : pour Hilbert, s’entendre, c’est s’entendre sur la fin, donc sur le tout. Pour Frege, s’entendre, c’est s’entendre sur l’origine. Autrement dit, Hilbert explique d’abord que Frege n’a pas compris, ou ne connaît pas, l’enjeu des Grundlagen der Geometrie, ce qui sous-entend d’emblée que les objections de Frege sont mineures, qu’il n’est pas question pour Hilbert d’un remaniement de grande ampleur.
Hilbert expose donc ses objectifs : répondre à des questions qui sont les questions qui traversent l’histoire de la géométrie et non pas à des questions du type "qu’est-ce qu’un point ?" ou encore "ceci est-il un point ?". Ce qui intéresse Hilbert, c’est la position relative des axiomes dans le système de la géométrie ou la démontrabilité des postulats (leur transformation en théorème), bien plus que la question de la définition.
Ce qu’il veut, c’est trouver de nouveaux principes, de nouveaux fondements à la géométrie, afin de limiter le rôle des axiomes euclidiens (les propositions évidentes) tout comme celui des postulats. Pour Hilbert, cet objectif est un objectif de logique qu’il pense avoir atteint en mettant en œuvre une méthode répondant aux exigences de la logique.
Une fois cette mise au point faite, Hilbert répond aux objections.
Réponse à la 1ère objection (n51)
Hilbert répond d’abord à l’objection concernant la définition. Pour lui cette objection est tout à fait secondaire et il y répond d’une manière typiquement nominaliste : il suffit de mettre définition devant la série des axiomes et de les considérer comme des caractéristiques. Bien sûr, cela ne change rien, du point de vue de Frege, à l’objection de Frege. Ce qui apparaît ici, ce sont deux conceptions radicalement opposées de la définition. Pour Frege, la définition fait le lien entre un signe et un objet, entre un signe et sa dénotation. La définition d’un concept (ou d’une relation) permet ensuite pour toute chose de savoir si elle tombe ou non sous le concept.
Pour Hilbert, ce qu’il appelle définition pour essayer de satisfaire Frege, est ce qu’on appelle aujourd’hui une définition par postulat qui reprend une notion introduite par Gergonne (n52) : le sens est fixé par l’usage. Ce qui implique qu’il peut être amené, non pas à se modifier radicalement, mais au moins à se préciser avec les développements démonstratifs. C’est la distinction entre définition explicite, celle de Frege, et définition implicite. Les définitions par postulats ont donc cette
caractéristique : l’équivocité. D’un point de vue ontologique, cela signifie que pour Hilbert, le principe ne contient pas en lui-même, analytiquement, tout son développement.
Réponse à la 2ème objection (n53)
Avec la deuxième réponse, Hilbert met à jour "le cœur du malentendu" : il "ne désire rien supposer connu" tandis que c’était "l’impression" de Frege dans sa deuxième objection. Le malentendu s’éclaire donc et semble bien d’ordre ontologique : pour Frege, il y a du supposé connu, pas pour Hilbert. Pour Frege, ce supposé connu c’est ce qui est donné dans l’évidence intuitive, dans l’intuition pure de l’espace. Ce supposé connu sous-entend donc un supposé existant. On sait que pour Frege, les propositions de la géométrie sont synthétiques a priori. Hilbert par contre rejette toute définition d’ordre intuitive ou métaphysique qui poserait de l’être a priori. Il ne désire rien supposer connu et ses définitions ne supposent pas l’existence mais elles
"amènent… à l’existence". C’est pourquoi il rejette toute définition métaphysique qui dégénère forcément en un jeu de cache-cache.
Après ces quelques remarques d’ordre terminologiques, Hilbert note que les axiomes, constituant la définition (implicite), doivent pouvoir être posés librement.
C’est une nouvelle distinction ontologique qui apparaît car pour Frege, "le nombre n’est pas plus un objet psychologique ou un produit de nos processus psychiques que ne l’est la mer du nord… Le nombre est tout aussi objectif [que la mer du Nord]" (n54). La définition ne saurait donc être libre. Comme il le dit dans sa première lettre : dans une définition, rien n’est affirmé, prétendu, mais quelque chose est constaté. Ce platonisme caractéristique de Frege peut cependant être nuancé puisqu’il distingue aussi entre objectif et réel. L’équateur est objectif bien que ce soit une ligne fictive : ce n’est pas un produit de notre imagination, mais on ne peut pas non plus l’appeler réel comme la terre elle-même. "Par objectivité, j’entends indépendance par rapport à nos sensations, intuitions et représentations… mais non indépendance par rapport à la raison. Prétendre dire ce que sont les choses indépendamment de la raison, ce serait prétendre juger sans juger, laver le cuir sans le mouiller" (n55). Cette nuance conceptualiste n’est cependant pas faite pour améliorer l’entente entre Frege et Hilbert.
Commentaires sur la position de Frege : la définition des axiomes (n56) Hilbert approfondit encore le différent en revenant sur un passage de la lettre de Frege dans lequel il exposait sa doctrine et particulièrement sa conception de l’axiome.
Pour Frege, les axiomes de l’intuition (la géométrie fregéenne est euclidienne et kantienne) viennent de la réalité des choses. Si ces axiomes sont vrais (c’est-à-dire si notre intuition ne nous a pas trompés), alors il s’en suit qu’ils ne se contredisent pas.
Donc la vérité atomique de l’axiome porte en elle-même la possibilité de sa coexistence non-contradictoire avec les autres axiomes. Dans cette position, le fondement est intuitif.
Pour Hilbert c’est exactement le contraire : "si les axiomes arbitrairement posés avec toutes leurs conséquences ne se contredisent pas, alors ils sont vrais et les choses qu’ils définissent existent. C’est pour moi le critère de la vérité et de l’existence" (n57). Ce point est extrêmement important pour Hilbert : il en donne un exemple puis dit que c’est la clé pour comprendre ses Grundlagen der Geometrie. Puis disant que le changement de nom (caractéristique au lieu d’axiomes, etc.) est un point superficiel, il
confirme le fait que les réponses terminologiques qu’il a apportées aux premières objections ne peuvent évidemment pas satisfaire Frege. Ce qui importe c’est que "il est impossible de donner en trois lignes une définition complète. Chaque axiome apporte quelque chose à la définition, et donc chaque nouvel axiome modifie le concept."
L’important pour Hilbert c’est sa définition de la définition. Ce qui la caractérise et l’oppose à celle de Frege, c’est qu’elle n’est pas atomique. Elle est constituée d’axiomes (n58). Elle n’est pas absolue, elle est fonction d’un tout plus vaste qu’elle. En conséquence de quoi, le point sera différent selon les géométries, euclidienne ou non.
Cependant, bien que "chaque axiome apporte quelque chose à la définition, et donc chaque nouvel axiome modifie le concept", n’en demeure pas moins que "une fois qu’un concept a été complètement et univoquement fixé, il est… illogique d’ajouter un axiome." C’est-à-dire que pour Hilbert la vérité atomique d’un axiome ne suffit pas à garantir le maintien de la non-contradiction d’un système auquel il serait intégré. Pour illustrer cette différence majeure qui l’oppose avec Frege, Hilbert critique certaines pratiques des physiciens.
Réponse à la 4ème objection : la question de l’équivocité (n59)
Pour Hilbert, chaque théorie peut toujours être appliquée à une infinité de systèmes d’éléments de base. Autrement dit, puisqu’une théorie est faite d’explications-définitions qui posent et amènent à l’existence des concepts caractérisés par les axiomes, cette existence ne peut être conçue, pour éviter prolifération ontologique et contradiction, que d’un point de vue nominaliste. En terme fregéen cela signifie que chaque système de définition peut toujours dénoter une infinité de systèmes d’objets, ce qui est à l’opposé de la conception fregéenne pour qui la définition ne fait que découvrir une réalité objective univoque. Pour Hilbert, la définition est équivoque : la totalité des assertions d’une théorie peut être appliquée à diverses parties du monde phénoménal à la seule condition que les axiomes requis soient satisfaits. Il faut du coup "une certaine bonne volonté et un certain tact pour appliquer une théorie au monde phénoménal".
Cependant plus la théorie est développée et ramifiée et plus l’application au monde phénoménal est aisée, plus une application à un monde phénoménal ne correspondant pas est difficile.
Passage de la théorie au monde phénoménal (n60)
Cette question de la méthode d’application de la théorie au monde phénoménal mérite qu’on s’y attarde. Elle rejoint les deux questions transcendantales capitales selon Kant : comment la mathématique pure est-elle possible et comment la science pure de la nature est-elle possible ? Pour Kant, "outre ce qui est empirique et de façon générale outre ce qui est donné à l’intuition sensible, il faut encore que s’ajoutent des concepts particuliers, qui ont leur origine tout à fait a priori dans l’entendement pur, sous lesquels chaque perception peut être subsumée et grâce auxquels elle peut ensuite être transformée en expérience" (n61). Ces concepts, ce sont les concepts purs de l’entendement ou catégories. Le phénomène c’est "l’objet indéterminé d’une intuition empirique… Assurément la matière de tout phénomène [ce qui correspond à la sensation] ne nous est-elle donnée qu’a posteriori, mais il faut que sa forme [ce qui fait que le divers du phénomène est intuitionné selon certains rapports qui l’ordonnent]
réside a priori dans l’esprit… abstraction faite de toute sensation." (n62) Du coté des mathématiques, toute connaissance "présente ceci comme particularité qui lui est propre : il faut qu’elle commence par présenter son concept dans l’intuition et même a
priori, donc dans une intuition qui n’est pas empirique, mais pure… Il faut qu’elle ait pour fondement quelque intuition pure, où elle puisse présenter tous ses concepts in concreto et cependant a priori, ce qui s’appelle : les construire." (n63)
Hilbert distingue bien sur la théorie du monde phénoménal. Mais du côté de la théorie, il range les mathématiques, du côté du monde phénoménal, la physique. Ainsi le point peut-il s’appliquer aux petits corps, la droite aux rayons lumineux. Les mathématiques ne sont donc plus liées à la réalité par l’intuition pure de l’espace et du temps. Ce sera la première remarque de la réponse de Frege : si ses fondements de l’arithmétique avaient pour objectif de faire de l’arithmétique une science purement logique, les fondements de la géométrie ont pour objectif de faire de la géométrie, et par là de toutes les mathématiques, une science purement logique. Du coup, c’est la question même du fondement qui est en jeu, c’est l’évidence intuitive comme subsomption fondatrice qui est remise en cause et donc l’acception euclidienne de l’axiome en tant que proposition évidente. Cette évidence atomique venant à disparaître, la définition, au moins dans le cas de la géométrie, ne peut pas se réduire à quelques lignes, c’est-à-dire à une formule classique de subsomption. Dans le cas de l’arithmétique, la définition est encore possible, même en rejetant l’intuition temporelle pure, parce que cette intuition temporelle fondait le nombre dans son acception ordinale : compter est fondé sur le temps. Mais l’acception cardinale du nombre est indépendante du temps et Frege a voulu montrer qu’elle pouvait être fondée sur la seule logique. Dans le cas de la géométrie, le problème est différent parce que l’évidence intuitive des éléments de la géométrie (le point, la droite, etc.) semble plus évidente que celle des éléments de l’arithmétique, c’est-à-dire que la géométrie semble plus directement liée à l’espace que l’arithmétique au temps. Finalement, on peut dire que si Frege déplace les fondements de l’arithmétique de l’intuition pure à la logique, ce n’est qu’un déplacement en ce sens que pour Frege, le vrai et le faux sont tout autant objectifs que les nombres ou la mer du nord et que du coup la définition de la définition (et donc la définition des axiomes) n’en est pas transformée. Avec Hilbert, on pourrait dire qu’il y a une dissolution du fondement objectif de la géométrie : le déplacement des fondements de la géométrie de l’intuition pure à la logique n’est pas un déplacement des objets de l’intuition pure vers les objets de la logique mais bien une nouvelle définition de la définition et de l’axiome.
Frege à Hilbert, 6 janvier 1900
Dans sa première lettre, Frege avait pointé essentiellement la question de la définition et de l’axiome. La première partie de cette nouvelle lettre va reprendre ces questions en présentant les points communs et en synthétisant l’opposition avec Hilbert en une formule : vos axiomes ne permettent pas de savoir si ma montre est un point. La dernière partie de la lettre va reprendre la question ontologique en y introduisant une nouveauté : la distinction entre les concepts de premier et de second degré.
Trois accords relatifs
Indépendance mutuelle et non-contradiction (n64)
Dans la première partie de sa deuxième lettre, Frege va se placer du point de vue de Hilbert.
D’abord (n65), il exprime qu’il a compris que Hilbert souhaite détacher la géométrie de l’intuition spatiale. On vient de voir certaines conséquences que cela pouvait avoir sur le dialogue entre Frege et Hilbert. Dans ces conditions, l’axiome ne peut plus être une évidence intuitive et fondatrice : il n’est qu’une hypothèse, une condition des théorèmes (n66).
De là (n67), Frege comprend qu’il faille prouver d’une part l’indépendance mutuelle et l’absence de contradiction des axiomes (n68) et d’autre part l’indémontrabilité de certaines propositions à partir des axiomes. Frege aborde le problème logiquement et montre d’abord que ces deux éléments sont équivalents.
Puis (n69) il estime que 1) prouver que des propriétés ne se contredisent pas c’est trouver un objet possédant ces propriétés et que 2) prouver l’indépendance mutuelle des axiomes c’est montrer que la non-occurrence (n70) de l’un ne contredit pas l’occurrence des autres, autrement dit en reprenant le principe précédent, c’est trouver un objet possédant les propriétés des seconds mais pas du premier.
Pour Frege, cette démonstration est impossible dans la géométrie euclidienne. Ici (n71) l'argumentation de Frege n’est pas des plus claires étant donné que 1) d’un côté il prétend se résigner à l’usage hilbertien du mot axiome (si les axiomes arbitrairement posés avec toutes leurs conséquences ne se contredisent pas, alors ils sont vrais et les choses qu’ils définissent existent), et que 2) d’un autre coté il revient à un usage euclidien, celui de l’axiome intuitivement et surtout atomiquement vrai. À la fois il lui paraît "essentiel [que Hilbert veuille] considérer la géométrie euclidienne d’un point de vue supérieur" et il a des doutes sur ce point de vue plus élevé (n72). Pour Frege, "cette entreprise a un intérêt scientifique de premier plan, si elle concerne les axiomes au sens traditionnel de la géométrie euclidienne", par contre l’intérêt lui semble moindre avec un "système de propositions arbitrairement posées", c’est-à-dire les axiomes de Hilbert.
Il semble que ce que dit Frege c’est qu’une réduction de la géométrie à la logique lui semble intéressante du point de vue logiciste, c’est-à-dire en maintenant la vérité atomique des axiomes logiques, et que par contre la démarche formaliste de Hilbert ne lui paraît pas intéressante.
Méthode génétique (n73)
Sur la méthode génétique, méthode de définition par extension successive, Frege est d’accord avec Hilbert : une fois qu’un concept a été complètement et univoquement fixé, il est… tout à fait illégal et illogique d’ajouter un axiome. On peut cependant douter que ce soit pour les mêmes raisons !
Les indéfinissables (n74)
Enfin Frege convient que le point, notion première de la géométrie, ne puisse pas être défini.
Suite de la 2ème objection (n75)
Reprenant la deuxième objection de sa première lettre, Frege revient sur le statut des axiomes et leur rapport avec la définition. Dans un exemple à la manière de Hilbert, Frege présente son objection concernant la définition. Pour Frege, une définition doit toujours permettre de savoir si un objet tombe sous un concept (ou si un n-uplet d’objets tombe sous une relation). Pour cela, il faut que tous les termes de la définition aient une dénotation, excepté celui qu’on définit. Ce n’est pas le cas pour "entre" dont les axiomes constituant la définition contiennent aussi "point" et "droite" dont on ne connaît pas la dénotation. Et pour "point", on ne peut finalement pas "décider de la question de savoir si ma montre est un point".
Constatons ici que Frege a dit un peu avant qu’il ne craignait pas d’admettre que
"point" ne puisse pas du tout être défini, autrement dit qu’il soit impossible de savoir si un objet tombe ou pas sous le concept de point. Pour Frege, peut être que "point" n’est pas définissable, mais s’il l’est, ou bien si on prétend le définir, alors la définition doit être telle qu’on puisse savoir pour tout objet s’il tombe ou non sous le concept de point.
Frege penche plutôt du côté de l’indéfinissabilité car pour lui la géométrie est synthétique a priori donc fondée sur l’intuition pure de l’espace. Si le point est une intuition, sa définition est impossible. Dans l’éventualité où il serait possible de fonder la géométrie sur la logique, alors une définition du point serait possible, au même titre qu’une définition du nombre ainsi que Frege l’a montré dans ses Fondements de l’arithmétique. Mais cette définition devra permettre de savoir si un objet tombe ou pas sous le concept de "point".
Dernières objections