Neste procedimento, deslocam-se apenas os pontos fontes ξ referentes ao nós duplos associados a diferentes elementos de contorno adjacentes, mantendo-se a posição dos nós funcionais nos extremo dos elementos. Para tal, a incógnita no ponto fonte ξ, isto é, o ponto deslocado, passa a ser expressa através da utilização das funções de interpolação (vide seção II.2) em função dos valores das incógnitas nos pontos nodais funcionais, conforme observa-se na figura II.6-4.
U3 U4 U 5 U2 3 4 ξ3 ξ4 U1 U 6 2 1 5 6
Figura II.6-4 - Representação de dois elementos de contorno quadráticos com pontos de colocação não nodais, pontos ξ3 e ξ4.
Para definir-se a posição do ponto ξ, vide figura II.6-4, ao longo dos elementos de contorno com ponto de colocação não nodal, ponto ξ4, utiliza-se o sistema de coordenadas
naturais sobre o elemento, o qual varia entre -1 e +1 (seção II.1). Neste trabalho refere-se a esta posição, através do parâmetro γ, definido como sendo o valor absoluto desta posição no sistema coordenadas naturais. Desta forma, quando desloca-se o ponto nodal funcional inicial de um elemento sua posição no sistema de coordenadas naturais é -γ (ponto ξ4), e,
analogamente, quando desloca-se o ponto nodal funcional final de um elemento sua posição é +γ (ponto ξ3).
Pode-se, então, de acordo com a equação integral discretizada para o Método dos Elementos de Contorno, vide Capítulo III equação III.2-15 (repetida a seguir para maior comodidade), observar que o deslocamento do ponto fonte ξ não acarreta alteração no modo de cálculo das integrais sobre os elementos de contorno, mas somente no primeiro termo da equação II.6-4.
( ) ( )
∑∫
( ) ( )
∑∫
( ) ( )
= Γ = Γ Γ ξ = Γ ξ + ξ ξ NE j j * NE j j * j j d X ; u X q d X ; q X u u C 1 1 Eq. II.6-4De acordo com a figura II.6-3, apresenta-se a dedução para o ponto fonte ξ3,
mas ressalta-se que o procedimento é análogo para o ponto fonte ξ4. Sabe-se que o potencial
no ponto fonte ξ3 pode ser expresso de acordo com as funções de interpolação através dos
valores do potencial nos pontos nodais funcionais do elemento de contorno, equação II.2-3, vide seção II.2.
( )
U Ui i i ξ3 1 3 = =∑
N Eq. II.6-5Para a completa definição do primeiro termo da equação II.6-4 resta apenas a definição do valor de C(ξ) para este caso, mas de acordo com a equação III.1-13 sabe-se que o valor de C(ξ) para contornos suaves é igual a 0,5. Como no caso dos elementos de contorno com ponto de colocação não nodal, o ponto fonte, neste caso ξ3, encontra-se no interior de um
elemento de contorno onde a geometria é sempre suave, logo, neste caso, o valor de C(ξ)=0,5. De posse desta informação e aplicando-se a equações II.6-5 no primeiro termo do lado esquerdo da equação II.6-4 encontra-se:
( ) ( )
[
C ξ3 U ξ3 1 U N1 1 U N2 2 U N3 2
Desta forma a expressão integral discretizada do Método dos Elementos de Contorno, equação II.6-4, pode ser novamente reordenada de forma similar a apresentada na seção III.2, formando-se assim o sistema linear de equações algébricas. Este rearranjo é feito somando-se as novas contribuições na matriz H referentes a aplicação do deslocamento do ponto fonte ξ3, equação II.6-6.
Na utilização dos elementos de contorno com pontos de colocação não nodal surge um parâmetro importante, que consiste na escolha da distância de afastamento do ponto fonte ξ referente ao nó duplo, de tal forma a não distorcer os resultados e também não causar problemas de singularidade ou mal condicionamento no sistema.
Será apresentado na seção III.6 a análise de um problema envolvendo a equação de Laplace enfocando especificamente o efeito da variação da distância de afastamento do ponto fonte referente a um nó duplo.
II.7 - Integração Numérica
Sem dúvida, a integração numérica trata de um dos tópicos de maior relevância no Método dos Elementos de Contorno, sendo nas últimas décadas assunto de intensos trabalhos junto a diversos pesquisadores [10]. A importância desse tópico pode ser matematicamente caracterizada a partir da equação III.2-6 (repetida a seguir), onde os coeficientes ali representados podem ser chamados de coeficientes de influência, sendo que a precisão deste método está fortemente relacionada a obtenção correta de tais coeficientes.
[ ]
H U{ }
=[ ]
G Q{ }
Eq. II.7-1O cálculo analítico das integrais envolvidas torna-se praticamente inviável para elementos de ordem superior, isto é, onde a variação da variável básica ao longo do elemento não é considerada constante. Um agravante surge no caso de elementos com geometria não retilínea (elementos isoparamétricos quadráticos ou superiores) onde o Jacobiano, nestes casos, não é mais um valor constante e sim uma função da forma geométrica do elemento.
A filosofia das quadraturas numéricas consiste em obter-se o valor da integral almejada, através de uma combinação linear de valores da função a ser integrada, definida em
certos pontos de integração ζi, multiplicados por determinados coeficientes, os pesos ωi, assim: I f x dx f f f a b n n =
∫
( ) ≅ω ζ1 ( )1 +ω2 (ζ2)+ +L ω (ζ ) Eq. II.7-2A determinação dos pontos de integração ζi de avaliação da função f e dos
pesos é feita de acordo com diversos procedimentos, que de forma geral podem ser agrupados em duas categorias [11]:
x ( ) ωi
- quadraturas fixas - a escolha dos parâmetros ζi e ωi não depende do comportamento da
função ; trata-se apenas de uma escolha do tipo de esquema de integração a ser utilizado; e,
f x( )
- quadraturas adaptativas - neste caso a definição dos pontos de integração ζi é feita de
acordo com o comportamento da função , de tal forma a obter-se uma maior concentração dos pontos ζ
f x( )
i na região onde a
função apresente uma variação mais acentuada.
Os métodos amplamente utilizados para o cálculo das integrais são baseados na quadratura gaussiana, devido a sua simplicidade e rapidez. O processo de integração via Quadratura de Gauss pode ser ilustrado de acordo com a expressão que se segue [2, 11, 12, 13], equação II.7-3. Tal esquema de integração possui a vantagem de calcular de forma precisa as integrais de funções polinomiais de graus p=2NG−1.
I f x dx W fp p p NG = = = −
∫
∑
( ) (ζ ) 1 1 1 Eq. II.7-3onde: NG - número de pontos de integração; W - pesos da Quadratura de Gauss; e, p ζp - pontos de integração.
Os denominados pontos de integração, pontos ζp, são valores discretos, em
coordenadas naturais, limitados entre [-1; +1]. Tais pontos não se encontram igualmente espaçados ao longo do intervalo de integração. Pode-se adotar um número qualquer de pontos de integração, sendo que para integrandos não expressos por funções polinomiais a
escolha de um maior número de pontos de integração proporcionará uma melhor avaliação da integral.
Mesmo quando existe singularidade na função a ser integrada, a quadratura de Gauss ainda pode ser utilizada, pois como ocorre na formulação direta de Elementos de Contorno - aqui adotada para a equação de Laplace - o valor Principal de Cauchy das integrais resultantes e o valor obtido via quadratura de Gauss são coincidentes quando estas são calculadas no sentido usual de integração [7, 9].