Décomposition pour une forme intérieure pure

En suivant les idées de Vogan, supposons toujours que G est non-ramifié et nous allons traiter toutes ses formes intérieures pures.

Soit u ∈ Z1_{(F, G}nr_{). Ce dernier permet de définir un Frobenius twisté F}

u := Ad(u) ◦ F

donnant lieu à une forme intérieure pure (Gnr)Fu _{de G. Pour g ∈ G}nr_{, la conjugaison par g}

induit un isomorphisme

Ad(g) : (Gnr)Fu _{−→ (G}nr₎Fg∗u

où g ∗ u = guF(g)−1. Ainsi les formes intérieures pures sont paramétrées par les ω ∈ H1(F, Gnr), mais à un ω fixé nous n’avons pas de Frobenius twisté canonique associé. Pour remédier à cela nous allons considérer dans cette partie non pas des paires (S, θ) mais des triplets (S, θ, u) avec u ∈ Z1(F, Gnr).

Considérons les triplets (S, θ, n) où n ∈ N (S) donne un cocyle dans Z1(F, Gnr), S est un Fnr-tore déployé maximal F_n-stable de G (on rappelle que F_n = Ad(n) ◦ F) et θ ∈ X∗(S)/(Fn,S− 1)X∗(S), avec Fn,S := wϑS◦ ψ, où w est l’image de n dans W (S). Alors

dans ce cas, la paire (S, θ) est un élément dePΛ comme dans la section 2.2, mais pour le

groupe (Gnr)Fn_{. Notons cet ensemble}P

Λ((Gnr)Fn).

Deux triplets (S₁, θ1, n1) et (S2, θ2, n2) sont dit Gnr-conjugués s’il existe g ∈ Gnr tel que g_S

1 = S2, gθ1= θ2et g∗n1= n2. Prenons (S, θ, n) un triplet. La paire (S, θ) appartient alors

àP_Λ((Gnr)Fn_{). Nommons ω l’image de n par Z}1_{(F, G}nr_{) → H}1_{(F, G}nr_{). Si m ∈ Z}1_{(F, G}nr₎

est un autre cocycle d’image ω, alors il existe g ∈ Gnr tel que g ∗ n = m. Alors la paire (gS, gθ) appartient à PΛ((Gnr)Fm). Si g0 ∈ Gnr est un autre élément tel que g0∗ n = m,

2.4. LA RELATION D’ÉQUIVALENCE ∼E 109

alors g(g0)−1 = Fm(g(g0)−1), de sorte que (S, θ, n) définit une paire (Sω, θω) ∈ PΛ(Gω)

bien définie à G_ω-conjugaison près, où G_ω est une forme intérieure pure de G associée à ω. Cette application induit une bijection

{(S, θ, n)}/∼_Gnr

∼

→ {(ω, (S_ω, θω)), ω ∈ H1(F, Gnr), (Sω, θω) ∈PΛ(Gω)/∼Gω}.

On peut étendre, de la même façon, la relation d’équivalence ∼_e aux triplets de la manière suivante

2.4.4.1 Définition. Deux triplets (S₁, θ1, n1) et (S2, θ2, n2) sont dit ∼r-équivalents (resp.

∼e-équivalents) si et seulement s’il existe m ∈ N∗ , g ∈ Gnr et h ∈ Gnr tels que

1. g ∗ n2 = n1 2. hSF m n1 1 =gS Fm n2 2 3. hθ1hmi = gθ2hmi 4. h−1Fn1(h) ∈ N ◦_(S 1, θ1) (resp. h−1Fn1(h) ∈ N a_(S 1, θ1))

Notons que dans la définition précédente, θ₁hmi est relatif à F_n1 et θ₂hmi à F_n2. Soient (S1, θ1, n1) et (S2, θ2, n2) deux triplets et notons respectivement (S1,ω1, θ1,ω1) ∈

PΛ(Gω1)/∼G_ω1 et (S2,ω2, θ2,ω2) ∈ PΛ(Gω2)/∼G_ω2 les paires associées par l’application

précédente. Alors (S₁, θ1, n1) ∼r(S2, θ2, n2) si et seulement si ω1= ω2 et (S1,ω1, θ1,ω1) ∼r

(S2,ω2, θ2,ω2) (et de même pour ∼e). En effet, fixons par exemple n1 et prenons Gω1 =

(Gnr)Fn1. Alors ω1 = ω2 si et seulement s’il existe g ∈ Gnr tel que g ∗ n2 = n1. Dans ce

cas on peut prendre (S_2,ω2, θ2,ω2) = (

g_S

2, gθ2) et (S1,ω1, θ1,ω1) = (S1, θ1) et la condition

pour que ces deux paires soient ∼r-équivalentes (resp. ∼e-équivalentes) est exactement la

définition 2.4.4.1. On obtient donc en particulier une bijection

{(S, θ, n)}/∼e ∼

→ {(ω, (Sω, θω)), ω ∈ H1(F, Gnr), (Sω, θω) ∈PΛ(Gω)/∼e}.

Une classe de ∼e-équivalence de triplets (S, θ, n) correspond donc à un système d’idempo-

tents cohérent minimal de Gω.

Considérons un triplet (S, θ, e) (e désigne l’élément neutre de Gnr) et n ∈ N◦(S, θ) donnant un cocyle dans Z1(F, Gnr_{). Le tore S est F-stable et comme n ∈ N (S) il est}

également Fn-stable. La preuve du lemme 2.2.5.8 montre qu’il existe θn∈ X∗(S)/(Fn,S−

1)X∗(S) tel que θhmi = θnhmi pour un certain m ∈ N∗. Notons que ce θnest unique. En effet,

s’il existe θ_n0 ∈ X∗(S)/(Fn,S− 1)X∗(S) tel que θhm0i = θn0hm0i, alors θnhmm0i = θn0hmm0i

et θn= θn0 par injectivité de TrFmm0_/F (lemme 2.2.4.1). On vient donc de construire une

application qui à (S, θ, e) associe le triplet (S, θn, n).

Comme θhmi = θ_nhmi, on a en particulier que ˜W◦(S, θ) = ˜W◦(S, θn) et Wa(S, θ) =

Wa_{(S, θ}

n). On obtient de la sorte

2.4.4.2 Corollaire. La multiplication par n−1 (à droite) nous donne le diagramme com- mutatif suivant ˜ H1(F, ˜W◦(S, θ)/Wa(S, θ)) // ×n−1  H1(F, ˜W /Wa) ×n−1  ˜ H1(Fn, ˜W◦(S, θn)/Wa(S, θn)) //H1(Fn, ˜W /Wa) .

Revenons à nos classes d’équivalence pour ∼e. Rappelons que hφ,σ est l’application

hφ,σ : ˜H1(F, G◦,nr_φ,σ ) −→ H1(F, Gnr).

2.4.4.3 Proposition. Soient ω ∈ H1(F, G). Nous avons alors une bijection Cr_{(φ, σ, G}

ω)/∼e ∼

−→ h−1_φ,σ(ω),

où Cr(φ, σ, Gω) est la classe de ∼r-équivalence image réciproque de (φ, σ) par l’injection

PΛ(Gω)/∼r ,→ eΦm(IFΛ,LG).

De plus, cette bijection ne dépend que du choix du sommet hyperspécial o fait en 2.4.3.

Démonstration. Considérons (S, θ) une paire construite à partir de (φ, σ) et o comme dans la section 2.4.3. La proposition 2.4.3.2 montre que l’on peut identifier h_φ,σ à l’ap- plication ˜H1(F, ˜W◦(S, θ)/Wa(S, θ)) → H1(F, ˜W /Wa). On voit donc ω comme un élé- ment de H1(F, ˜W /Wa_{) dans l’image de ˜H}1_{(F, ˜W}◦_{(S, θ)/W}a_{(S, θ)). Le lemme 2.4.1.2 ainsi}

que la preuve de la proposition 2.4.1.4 montrent que l’application H1(F, N◦(S, θ)) → H1(F, ˜W◦(S, θ)/Wa(S, θ)) est surjective. En particulier, il existe n ∈ N◦(S, θ) donnant un cocycle de Z1_{(F, N}◦_{(S, θ)) et ayant pour image ω par l’application Z}1_{(F, N}◦_{(S, θ)) →}

˜

H1(F, ˜W◦(S, θ)/Wa(S, θ)) → H1(F, ˜W /Wa).

Nous savons alors construire un triplet (S, θn, n) tel que Cr(φ, σ, Gω) = [S, θn, n]r (où

[S, θn, n]rdésigne la classe de ∼r-équivalence de (S, θn, n)). La proposition 2.4.1.4 nous donne

une bijection entre [S, θn, n]r/∼e et ker[ ˜H1(Fn, ˜W◦(S, θn)/Wa(S, θn)) → H1(Fn, ˜W /Wa)]

et donc par le corollaire 2.4.4.2 une bijection

[S, θn, n]r/∼e ∼

→ h−1_φ,σ(ω).

Il nous reste à vérifier que cette bijection est indépendante du choix de n. Prenons m ∈ Z1_{(F, N}◦_{(S, θ)) un autre relèvement de ω. Nous allons montrer que l’image de}

(S, θm, m) par la bijection précédente est l’image de m dans ˜H1(F, ˜W◦(S, θ)/Wa(S, θ)) ce

qui achèvera la preuve. Comme les triplets (S, θ_n, n) et (S, θm, m) sont ∼r-équivalents, il

existe k ∈ N∗ , g ∈ Gnr et h ∈ Gnr tels que g ∗ m = n,h(SFkn_{) =} g_SFkm_{, hθ}

nhki = gθmhki

et h−1Fn(h) ∈ N◦(S, θn). Alors par construction de la bijection [S, θn, n]r/∼e ∼

→ h−1_φ,σ(ω), l’image de (S, θm, m) est l’image de h−1nF(h) dans ˜H1(F, ˜W◦(S, θ)/Wa(S, θ)). Nous savons

qu’il existe kn, km∈ N∗ tels que θnhkni = θhkni et θmhkmi = θhkmi. Ainsi, il existe k0 ∈ N∗

tel que Fk_n0 = Fk_m0 = Fk0,h(SFk0) =gSFk0 et hθhk0i = gθhk0_{i, de sorte que g}−1_{h ∈ N (S, θ).}

Nous pouvons alors conclure que h−1nF(h) = (h−1g)mF(g−1h) et m ont même image dans ˜

H1(F, ˜W◦(S, θ)/Wa(S, θ)).

On déduit de la proposition 2.4.4.3 précédente et du théorème 2.2.5.12 le théorème suivant.

2.4.4.4 Théorème. Soient G un groupe réductif connexe non-ramifié et ω ∈ H1(F, G). À ω correspond Gω, une forme intérieure pure deG.

Soient φ : I_FΛ→L_{G un paramètre inertiel et σ ∈ Σ(h bϑi,}

e

π0(φ)). Nous avons la décom-

position suivante de la catégorie Rep(φ,σ)_Λ (Gω)

Rep(φ,σ)_Λ (Gω) =

Y

α∈h−1_φ,σ(ω)

2.4. LA RELATION D’ÉQUIVALENCE ∼E 111

On peut également réinterpréter ce résultat grâce à la section 2.4.2, en une décomposition de Repφ_Λ(Gω) en un produit de sous-catégories indexées par ψ_φ−1(ω), où ψφ est l’application

ψφ: Σ(φ) → H1(F, G).

De plus toutes ces catégories sont construites à partir de systèmes de classes de conju- gaison 0-cohérents minimaux.

Notons que cette décomposition n’est pas canonique mais dépend du choix d’un sommet hyperspécial (voir remarque 2.4.3.5).

2.4.5 _{Lien entre Z}` et Q`

Explicitons le lien entre les catégories sur Q` et sur Z`.

Soit (φ, σ) ∈ eΦm(IF,LG) et (φ0, σ0) ∈ eΦm(I_F(`),LG) l’image de (φ, σ) par l’application

e Φm(IF,LG) → eΦm(IF(`),LG) de la section 2.3.5. Alors Z(CGb(φ 0₎◦₎σ0_{( bϑ)} ⊆ Z(C b G(φ) ◦₎σ( bϑ)

et l’on obtient une application

Irr[π0(Z(CGb(φ)

◦₎σ( bϑ)_{)] → Irr[π}

0(Z(CGb(φ

0₎◦₎σ0_{( bϑ)}

)]

induisant une application naturelle ˜H1(F, G◦_φ,σ) → ˜H1(F, G◦_φ0_,σ0).

Il est alors aisé d’obtenir la proposition suivante.

2.4.5.1 Proposition. Soit ω ∈ H1(F, G). Nous avons Rep(φ0,σ0,α0)

Z` (Gω) ∩ RepQ`(Gω) =

Q

(φ,σ,α)Rep (φ,σ,α) Q`

(Gω), où le produit est pris sur les (φ, σ) ∈ eΦm(IF,LG) s’envoyant sur

(φ0, σ0) par eΦm(IF,LG) → eΦm(I (`) F ,LG) et α ∈ h −1 φ,σ(ω) s’envoyant sur α 0_{par ˜H}1_{(F, G}◦ φ,σ) → ˜ H1(F, G◦_φ0_,σ0).

2.4.6 Compatibilité à l’induction et à la restriction parabolique

Vérifions ici la compatibilité de la décomposition du théorème 2.4.4.4 aux foncteurs d’induction et de restriction parabolique.

Soit P un F -sous-groupe parabolique de G de quotient de Levi M défini sur F . Considé- rons c_{M un dual de M sur Q`}muni d’un plongement ι :LM ,→LG. Soient φ_M ∈ Φ_m(I_kΛ,LM) et σM ∈ Σ(h bϑi,πe0(φM)). Nous avons vu à la section 2.3.6 que nous pouvions associer à φM et σ_M le paramètre φ := ι ◦ φ_M ∈ Φ_m(I_FΛ,LG) et σ := ι ◦ σ_M ∈ Σ(h bϑi,π_e0(φ)).

Nous avons que ι(Z(C

c M(φM)

◦_{) ⊇ Z(C} b G(φ)

◦_{) donc ι induit une application}

Irr[π0(Z(CMc(φM)

◦₎σM( bϑ)_{)] → Irr[π}

0(Z(CGb(φ)

◦₎σ( bϑ)_)].

L’isomorphisme de Kottwitz nous définit alors une application

˜

H1(F, M_φ◦,nr

M,σM) −→ ˜H

1_{(F, G}◦,nr φ,σ )

qui rend le diagramme suivant commutatif ˜ H1(F, M_φ◦,nr M,σM) //  ˜ H1(F, G◦,nr_φ,σ )  H1(F, Mnr) //H1(F, Gnr) .

Soit ω_M ∈ H1_{(F, M}nr_{) et ω ∈ H}1_{(F, G}nr_{) son image par H}1_{(F, M}nr_{) → H}1_{(F, G}nr_).

Ainsi αM ∈ ψ−1_(φ

M,σM)(ωM) est envoyé sur α ∈ h

−1

φ,σ(ω). On notera par la suite ιGM, comme

dans la section 2.3.6 l’application qui à (φ_M, σM, αM) associe (φ, σ, α). Notons que comme

ω est l’image de ωM, alors MωM est un Levi de Gω et l’on a un plongement de BT

e_(M ωM)

dans BTe(Gω).

Réinterprétons l’application αM → α en terme de groupes de Weyl. Nommons t ∈ M∗ss,Λ

la classe de conjugaison semi-simple associée à (φ_M, σM). Fixons o un sommet hyperspécial

de BTe(M ) donnant un sommet hyperspécial de BTe(G) (que l’on nomme encore o). La section 2.4.3 construit alors à partir de (φM, σM) une paire (S, θ) où S est un tore maximal

non-ramifié de M. Ce dernier permet de définir les groupes ˜W_M◦ (S, θ),W_Ma(S, θ), ˜WM, WMa

(on rajoute des indices M pour signifier que ces groupes sont définis vis à vis de M ). Le tore S peut également être vu comme un tore maximal non-ramifié de G et donc définit également les groupes ˜W◦(S, θ),Wa(S, θ), ˜W , Wa. Les inclusions ˜W_M◦ (S, θ) ⊆ ˜W◦(S, θ) et W_Ma(S, θ) ⊆ Wa(S, θ) permettent de définir une application

˜

H1(F, ˜W_M◦ (S, θ)/W_Ma(S, θ)) −→ ˜H1(F, ˜W◦(S, θ)/Wa(S, θ)). Cette application correspond à ˜H1(F, M_φ◦,nr

M,σM) −→ ˜H

1_{(F, G}◦,nr

φ,σ ) via la proposition 2.4.3.2.

2.4.6.1 Lemme. Notons N une forme intérieure pure de M associée à ωM. Soient x

un sommet dans l’immeuble de Bruhat-Tits étendu de N et s ∈ (N∗_x)ss,Λ. Nommons

(φM, σM, αM) les données associées à s. Notons également (φ, σ, α) les données associées à

s vu comme un élément de (G∗_x)ss,Λ (où x est vu ici comme un élément de BTe(Gω)). Alors

(φ, σ, α) = ιG_M(φM, σM, αM).

Démonstration. Cela découle aisément de la définition de l’application ιG_M, puisque à s on associe une paire (S0, θ0), avec S0 un tore maximal non-ramifié de N , et lorsque s est vu comme un élément de (G∗_x)ss,Λ, on peut lui associer la même pair (S0, θ0) mais en voyant

cette fois-ci S0 comme un tore maximal non-ramifié de Gω.

2.4.6.2 Théorème. Soit P un sous-groupe parabolique de G ayant pour facteur de Levi M. 1. rG_P(Rep(φ,σ,α)_Λ (Gω)) ⊆ Y (φM,σM,αM) ιG M(φM,σM,αM)=(φ,σ,α) Rep(φM,σM,αM) Λ (MωM) 2. iG_P(Rep(φM,σM,αM) Λ (MωM)) ⊆ Rep ιG M(φM,σM,αM) Λ (Gω)

2.4. LA RELATION D’ÉQUIVALENCE ∼E 113

2.4.6.3 Théorème. Si C

b

G(φ) ⊆ ι(cM) le foncteur d’induction parabolique i G

P réalise une

équivalence de catégories entre Rep(φM,σM,αM)

Λ (MωM) et Rep

ιG

M(φM,σM,αM)

Λ (Gω).

Démonstration. Cela découle du théorème 2.4.6.2 et du théorème 1.4.4.6.

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