1.4 Caractérisation d’environnements naturels avec la polarimétrie SAR
1.4.1 Théorèmes de décomposition polarimétrique
1.4.1.3 Décomposition mathématique en valeurs/vecteurs propres
La projection d’une représentation polarimétrique incohérente (3 x 3) sur la base de ses vecteurs propres permet de décomposer de façon unique une cible distribuée en une somme de trois cibles pures dont les vecteurs cibles sont orthogonaux. La matrice de cohérence T se décompose dans la base de ses vecteurs propres de la façon suivante :
T = VΛV∗T =
3
X
k=1
λkvkvk∗T (1.86)
où V et Λ représentent, respectivement, les matrices (3 x 3) des vecteurs et valeurs propres de T. La matrice T étant hermitienne semi-définie positive, ses valeurs propres λk sont
réelles, positives ou nulles. Les vecteurs propres complexes vksont orthonormaux. L’idée de la décomposition en valeurs/vecteurs propres est d’utiliser la diagonalisation de la matrice T, qui est en général de rang 3, en une somme non cohérente de trois matrices de cohérence, Tk, chacune étant pondérée par sa valeur propre associée [Cloude 96] :
T =
3
X
k=1
λkTk (1.87)
Les matrices Tk étant de trace unitaire, les valeurs propres représentent la puissance
associée à chacune des composantes et sont ordonnées telles que λ1 ≥ λ2≥ λ3 ≥ 0.
Paramètres dérivés des valeurs propres
L’ensemble des valeurs propres indique la répartition de la puissance totale sur les différentes composantes de la décomposition. A chaque valeur propre est associée une pseudo-probabilité pk liées aux propriétés statistiques des phénomènes de rétrodiffusion.
L’ensemble des pk correspond à une normalisation des valeurs propres λk : pk = λk P3 k=1λk avec 3 X k=1 pk= 1 et pk ≤ 1 (1.88)
Il est possible de décrire le spectre des valeurs propres au moyen de deux paramètres réels : l’entropie et l’anisotropie. L’entropie de la cible, H, est définie comme l’indicateur du caractère aléatoire du phénomène de rétrodiffusion global. Elle est obtenue suivant :
H = −
3
X
k=1
pklog3(pk) (1.89)
Une entropie nulle indique que la cible observée est pure et que la rétrodiffusion est déter- ministe. Ceci se traduit par la présence d’une seule valeur propre normalisée non nulle et égale à 1. Un caractère complètement aléatoire est défini par une entropie égale à 1, indi- quant que les pseudo-probabilités sont égales. Enfin, l’anisotropie permet de caractériser l’importance relative des mécanismes secondaires et est définie comme :
A = p2− p3 p2+ p3
(1.90) A partir de ces deux paramètres issus des valeurs propres, il est possible d’évaluer le nombre de mécanismes de diffusion présents, i.e la distribution des valeurs propres. En partant de l’égalité suivante déterminée par [Pottier 98] :
HA + (1 − H)A + H(1 − A) + (1 − H)(1 − A) = 1 (1.91) l’importance d’un des termes de la somme détermine la structure du mécanisme global de rétrodiffusion comme indiqué sur la figure 1.11.
Fig. 1.11 – Représentation du spectre des pseudo-probabilités en fonction de la combinai- son H/A.
Paramètres dérivés des vecteurs propres
Les vecteurs propres sont paramètrés et associés à des caractéristiques physiques corres- pondantes aux mécanismes de diffusion. En effet, un vecteur unitaire à trois dimensions
possède cinq degrés de liberté et peut donc être paramètré au moyen de cinq angles : vk= ejφk cosαk sinαkcosβkejδk sinαksinβkejγk (1.92)
Le terme de phase φk n’étant pas observable dans la structure de la matrice de cohérence
associée, il est supposé nul. Une interprétation des quatre paramètres restants est proposée [Cloude 96][Cloude 97] :
- Le paramètre αk est associé à la nature du mécanisme de diffusion. Si αk est nul
alors le mécanisme est celui d’une diffusion de surface canonique. Dans l’autre cas extrême, c’est-à-dire αk = 90◦, le mécanisme de rétrodiffusion est celui d’un dièdre ou d’une hélice. Toutes autres valeurs intermédiaires représentent un mécanisme de diffusion anisotrope. Pour αk= 45◦, le mécanisme est celui d’un dipôle canonique.
- Le paramètre βka été interprété comme étant un indicateur de l’orientation de l’axe de symétrie principal d’une cible par rapport à l’axe de visée du radar.
- δk et γk sont liés à l’orientation de l’axe de symétrie principal de la cible.
En tenant compte de la probabilité de chaque mécanisme (p1, p2, p3), la moyenne des
différents αk est calculée comme :
¯ α = 3 X k=1 pkαk (1.93)
De la même manière, les autres paramètres dérivés des vecteurs propres peuvent être ainsi moyennés. Cet ensemble de paramètres moyens caractérise alors le vecteur propre associé à la matrice de diffusion déterministe moyenne équivalente. Cette matrice définit le comportement polarimétrique équivalent du milieu imagé.
1.4.2 Classification de données SAR polarimétriques
La classification d’environnements naturels est l’une des applications les plus importantes de l’imagerie SAR. De nombreuses méthodes existent :
- Les classifications dites “hiérarchiques” consistent à utiliser des seuils sur des pa- ramètres issues des données SAR polarimétriques afin de séparer deux à deux les milieux naturels. Les paramètres utilisés peuvent être les coefficients de rétrodiffu- sion dans les différents canaux ou bien des paramètres issus de la représentation matricielle (corrélation inter-canaux, puissance issue de décomposition, ...). Toute- fois, les seuils déterminés pour un capteur ou une zone donnée peuvent se révéler inadaptés lors de l’application sur d’autres données. En combinant cette approche avec des méthodes statistiques, il est alors possible d’adapter le schéma de classifica- tion aux données. Bien que relativement simple à mettre en oeuvre, cette méthode se révèle particulièrement efficace pour la discrimination de la neige humide [Nagler 00] ou la segmentation d’environnements agricoles [Skriver 05].
- Un deuxième type de classification utilise les caractéristiques statistiques globales des images SAR polarimétriques telles que la distribution Gaussienne complexe pour le vecteur cible [Kong 90] ou bien la distribution de Wishart dans le cas de représen- tations matricielles multi-vues [Lee 94]. Ces méthodes ont été étendues au cas de données multi-fréquentielles [Ferro-Famil 01]. Dans les cas où la dimensionalité des
données est faible (cas de données en polarisation double où seuls les canaux HH/VV ou HH/VH ou VV/VH sont disponibles), des informations sur la texture de l’image peuvent s’ajouter au processus décisionnel [Du 02].
- Une alternative à ces méthodes statistiques repose sur les caractéristiques des méca- nismes de rétrodiffusion. Les différents type de terrain peuvent être séparés en trois catégories selon les mécanismes de diffusion prépondérant (rebond pair, impair et diffusion de volume) [Van Zyl 89]. Une autre méthode basée sur la décomposition mathématique des matrices de covariance ou de cohérence (cf. section 1.4.1.3) a été aussi formulée [Cloude 97].
La première méthode étant fortement dépendant du milieu étudié, cette partie s’attache à décrire les concepts de base inhérents aux deux dernières méthodologies qui peuvent en effet s’appliquer quelque soit le milieu imagé.