À chaque jeu fini est associé un graphe4
dont les sommets correspondent aux pro- fils d’actions et dont les arrêtes relient les couples des profils d’actions entre lesquels a lieu une déviation unilatérale. Cette procédure est dévelopée dans Candogan et al.
[2011].
Désignons le graphe d’un jeu arbitraire par Γ = (S, A) où S sont ses sommets et A ses arrêtes. On peut ainsi définir un flôt sur ce graphe en attribuant un nombre réel à chaque arrête qui est égal à la différence des paiements du joueur qui dévie entre les couples d’actions correspondants. Étant donné un chemin sur ce graphe, on appelle flôt total sur ce chemin, la somme des valeurs sur les arrêtes parcourues par le chemin. Le graphe d’un jeu et son flôt contiennent et préservent toute l’information nécessaire pour la détérmination des équilibres de Nash. Aussi, la représentation du flôt sur le graphe d’un jeu fini permet d’établir les caractéristiques fondamentals des préférences des joueurs et en particulier il permet la caractérisation suivante des jeux de potentiel dûe à Monderer and Shapley [1996] :
Théorème 4.5.1. Un jeu fini est de potentiel si et seulement si son flôt total sur chaque chemin de longeur 4 de son graphe associé est égal à zéro.
Exemple 4.5.2. (La bataille des sexes) Un couple décide de faire une sortie. L’ homme (joueur 1) préfère aller à un match de foot et la femme (joueur 2) préfère aller à l’ Opéra. Pour chacun, sortir avec son conjoint est plus important que le lieu où ils vont aller. Les deux joueurs doivent choisir le Match de foot ou l’Opéra. Les paiements sont indiqués dans la case qui correspond au couple d’actions choisies.
4
Des idées rélatives à propos du graphe associé à un jeu fini sont donnés dansGoemans et al.[2005] et Christodoulou et al.[2012], pour étudier différents concepts des solutions dans la théorie des jeux.
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4.5. DÉCOMPOSITION DES JEUX FINIS ET LEURS GRAPHES ASSOCIÉS
M O
M (2, 1) (0, 0) O (0, 0) (1, 2)
Dans ce jeu, il y a deux équilibres de Nash et les profils d’actions (M, M) et (O, O). Il s’agit d’un jeu de potentiel dont la fonction de potentiel est définie par ϕ(s) = 3 si s = (M, M) et s = (O, O), ϕ(s) = 2 si s = (O, M) et ϕ(s) = 1 si s = (M, O). Si les joueurs sont authorisés d’utiliser de manière aléatoire leurs actions, alors un nouveau équilibre de Nash fait son apparition dont le profil des stratégies mixtes est donné par les vecteurs de probabilité �2
3, 1 3 � et �1 3, 2 3 � . Le graphe et le flôt associé à ce jeu sont présentés ci-dessous et puisque il s’agit d’un jeu de potentiel le flôt total est zéro : ← 1 ↑ 2 → 2 ↓ 1 (O,M) (O,O) (M,M) (M,O)
Aux graphes associés aux jeux finis, les seuls triangles qui apparaîssent sont dûs aux déviations successives du même joueur. Vu la définition (4.4.2) de l’opérateur curl, les flôts sur les graphes associés aux jeux appartiennent au Ker(δ1) ; ainsi vu
(4.4.3) les flôts harmoniques associés à ces graphes sont contenus au Ker(δ∗
0). Bien
évidemment, la définition suivante qui caractérise les jeux harmoniques dépend du produit scalaire par lequel est muni l’espace C0.
Définition 4.5.3. Un flôt X sur le graphe associé à un jeu fini s’appelle harmonique si X ∈ Ker(δ∗
0). Les jeux dont le flôt est harmonique s’appellent jeux harmoniques.
Si C0 est muni du produit scalaire standard, cette définition s’interprète par le fait
qu’un jeu fini est harmonique si et seulement si à tout noeud de son graphe la somme des flôts entrants et des flôts sortants est égale à zéro. Dans ce cas, les jeux harmoniques sont de jeux à somme nulle lorsque les joueurs possèdent le même nombre d’actions, cf. Candogan et al.[2011]. L’espace des jeux harmoniques est un sous espace vectoriel des jeux, noté H ; il contient de jeux celèbres comme Pile ou Face et Pierre-Feuille-Cissaux. ,
Exemple 4.5.4. (Version du jeu Pile ou Face) Deux joueurs, le premier cher- chant à attraper le second, ont le choix entre aller à la Caverne ou à la Forêt ; autrement dit, chacun des joueurs choisit un élément dans l’ensemble I = J = {M, C}. Si le premier joueur attrape le second alors il gagne un point ; sinon il perd un point et réciproquement. Ce jeu est représenté par la matrice ci-dessous :
C F
C +1 −1
INTRODUCTION PARTIE II 75
Dans ce jeu, le joueur 1 cherche à maximiser son paiement et le joueur 2 à le minimiser. À chaque profil d’actions, il y a un joueur qui a intérêt à dévier de son action choisie. L’unique équilibre de Nash est en stratégies mixtes et il est défini par les vecteurs de probabilité �1
2, 1 2 � et �1 2, 1 2 �
. Si l’espace C0 est muni du produit
scalaire standard alors ce jeu est harmonique, cela résulte de son graphe et de son flôt représentés ci-dessous : → 2 ↑ 2 ← 2 ↓ 2 (F,P) (F,F) (P,P) (P,F)
Inspirés de la décomposition de Helmholtz-Hodge, Candogan et al. [2011] four- nissent une décomposition de l’espace des jeux finis en somme directe orthogonale pour le produit scalaire standard dont les composantes des jeux potentiels, har- moniques et non-stratégiques :
Théorème 4.5.5. L’espace des jeux est la somme directe orthogonale pour le produit scalaire défini par (5.2.2) :
G =�P ∩ N O� ❣�H ∩ N O� ❣N S.
Notons que le sous espace des jeux potentiels résulte de la somme du sous espace des jeux potentiels normalisés et de sous espace des jeux non-stratégiques. Du théorème précédent découle la caractérisation des équilibres approximatifs d’un jeu fini via les équilibres purs de la composante potentielle qui apparaît dans cette décomposition :
Corollaire 4.5.6. Soit un jeu fini g et gP sa composante potentielle. Tout ˜�-équilibre
de gP est un �-équilibre de g pour un certain � ≤ max i∈N
2�g−gP�G
√
hi où hi est le nombre
d’actions du joueur i ∈ N.