Décomposition de Dantzig-Wolfe

Tel qu’illustré à la section précédente, on peut décomposer le coût total d’échec ainsi que le domaine réalisable des variables de seconde étape par véhicule. Même si on ne présente pas la formulation explicite du programme stochastique en nombres entiers à deux étapes explicitement, on sait qu’il possède la structure suivante (selon la notation utilisée à la section 3) : A x = b Dv1 = ev1 . .. y .. . DvV = evV Tv1 . . . W = hv1 . .. . . . . .. = ... TvV W = hvV (3.34)

En utilisant l’expression fermée de Q(x), on peut calculer le coût espéré d’échec pour toute solution de première étape. On considère donc implicitement les variables de seconde étape dans la fonction objectif et on omet ces dernières ainsi que les contraintes de la forme T x + W y = h dans dans le problème équivalent déterministe. Comme on utilise le graphe GS pour résoudre DEP s, ce problème présente alors la forme :

ˆ A ˆ x = ˆ_b ˆ Dv1 = eˆv1 . .. .._. ˆ DvV = eˆvV (3.35)

On peut donc écrire DEP s comme {minˆxcˆTx| ˆˆAˆx = ˆb, ˆDˆx = ˆe, ˆx ∈ {0, 1}|AS||V|} où ˆc

représente le vecteur de coût tenant compte du coût total espéré d’échec. ˆAˆx = ˆb représente les contraintes liantes ou difficiles associées aux contraintes (3.27) dans DEP s et ˆDˆx = ˆe représente les contraintes faciles associées aux contraintes (3.28) à (3.29) de DEP s.

La matrice ˆ_{A ∈ N}|N |×|AS||V| _{possède le même nombre de lignes que A ∈ N}|N |×|A||V|, mais beaucoup plus de colonnes (un facteur de O(Q) par rapport à A). Pour chaque véhicule, la matrice ˆDv _{∈ N}|N S0_|×|AS|

contient également un facteur de O(Q) lignes et colonnes ad- ditionnelles par rapport à Dv _{∈ N}|N0_|×|A|

correspondants dans DEP . Bien que la taille de ces matrices augmente, la formulation DEP s permet d’incorporer directement le coût espéré d’échec dans le graphe sous-jacent et on peut éliminer toutes les contraintes de la forme Tvxv + W yv = hv.

On observe également que DEP s présente une structure bloc angulaire où l’on peut sépa- rer les contraintes liantes de la forme Aˆx = ˆb des contraintes faciles. De plus, les contraintes faciles peuvent être regroupées par véhicule v. Selon le principe de décomposition de Dantzig- Wolfe (Desrosiers et Lubbecke, 2005), on peut donc décomposer DEP s en un problème maître P M et un sous-problème SP . Sous sa forme générique, le problème maître peut s’écrire comme :

min x X v∈V X p∈Λv ˆ cpλp (3.36) (P M0) s. à : X v∈V X p∈Λv αipλp = 1 ∀i ∈ N . (3.37) λp ∈ {0, 1} ∀v ∈ V, p ∈ Λv (3.38)

où Λv représente l’ensemble des points extrêmes du domaine Σv = {ˆxv : ˆDvxˆv = ˆev}

défini par le sous-ensemble des contraintes de DEP s (3.28) à (3.29) associées au véhicule v. Le sous-problème possède la propriété d’intégrité, ce qui veut dire que la solution optimale du sous-problème est entière. Ainsi, les points extrêmes des domaines {ˆxv : ˆDvxˆv = ˆev}, et {ˆxv : ˆDvxˆv = ˆev, ˆxv _{∈ N}|AS|} sont identiques. Chaque point extrême du domaine Σv corres-

pond à un chemin entier de la source os au puits os0 emprunté pas le véhicule v qui visite un ensemble d’arcs (i, j) ∈ A et respecte les contraintes de conservation de flot et de capacité. ˆ

cp =P(i,j)∈pˆcij représente le coût d’un tel chemin.

La variable λp = 1 si on choisit ce chemin et λp = 0 sinon. (3.38) impose donc que

l’on choisisse une combinaison convexe des points extrêmes du domaine Σv si on choisit le

véhicule v. La combinaison de (3.38) et de la propriété d’intégrité assure que les variables xv_ij originales seront entières et respectent la contrainte (3.30). En effet, on peut toujours retrouver les variables xv_ij originales à l’aide de la transformation xv_ij =P

p∈Λvλpαijp où αijp

indique le nombre de fois qu’un véhicule qui choisit la route p emprunte l’arc (i, j). On note que P

(b,a)∈δ_GS− (C(j));b∈C(i)αbap= αijp et

P

j∈δ_G−({j})αijp = αjp.

De plus, le paramètre αip = 1 indique le nombre de fois que le chemin p visite le client

i ∈ N . Les contraintes (3.37) assurent donc que chaque client sera visité exactement une fois. Comme les véhicules sont identiques, il suffit de considérer un seul ensemble de points extrêmes Λ correspondant à un des ensembles Λv. On obtient ainsi le problème maître suivant :

min x X p∈Λ ˆ cpλp (3.39) (P M ) s. à : X p∈Λ αipλp = 1, ∀i ∈ N (3.40) λp ∈ {0, 1}, ∀p ∈ Λ (3.41)

Comme il existe un très grand nombre de routes réalisables, mais que seulement quelques- unes de ces dernières sont utilisées dans la solution optimale du problème maître, il est inutile et inefficace de toutes les énumérer. À l’itération k, l’algorithme de génération de colonnes fait donc appel à P M Rk, le problème maître restreint qui considère Λk ⊂ Λ, un sous-ensemble

restreint des routes réalisables de os à os0.

Afin d’identifier de nouvelles routes p 6∈ Λk dans GS permettant d’améliorer la solution

actuelle du problème maître, on résout un sous-problème SPk qui identifie les routes réali-

sables de coût réduit strictement négatif. Pour ce faire, il faut modifier le coût des arcs du graphe GS afin de refléter leur coût réduit par rapport à la solution optimale actuelle du problème maître réduit. Étant donné λ ∈ R|Λk|_{, une solution primale réalisable de la relaxa-}

tion linéaire de P M Rk, on est capable de calculer une solution duale optimale π ∈ Rm où les

élément du vecteur π sont associés à une contrainte (3.40) et donc à un client. On peut ainsi résoudre SPk, qui s’énonce comme :

(SPk) min p∈Λ\Λk

ˆ

cp− πkTAp (3.42)

où ¯cp = ˆcp− πTkAp =P(i,j)∈p;a∈C(i),b∈C(j)(ˆcab− πjk)ˆxpabreprésente le coût réduit d’une route

p ∈ Λ et (i, j) ∈ p indique que l’arc (i, j) ∈ A appartient à p. Ap représente la colonne asso-

ciée à ce chemin. On ajoute cette colonne ainsi que la variable de décision λp correspondante

à P M Rk si ¯cp < 0.

SPkcorrespond à un problème de plus court chemin avec contraintes de ressources (« shor-

test path problem with ressource constraints » - SPPRC) où le coût sur les arcs correspond à leur coût réduit par rapport à la solution optimale de P M Rk. Bien que les contraintes de

ressources ne soient pas explicites dans la formulation de DEP s, on note que l’utilisation du graphe sous-jacent GS implique que les routes sont réalisables en moyenne, c.-à-d. que la demande cumulée ne dépasse pas la capacité du véhicule. On remarque également que trouver un plus court chemin dans GS est équivalent à trouver un plus court chemin dans G dont la demande cumulée espérée respecte les contraintes de capacité. La complexité théorique est la même pour ces deux problèmes. On peut formuler le SPPRC à l’itération k comme suit :

min ˆ x X a∈N S0 a∈C(i) X b∈N S0 b∈C(j) (ˆcab− πjk)ˆxab (3.43) (SPk(non − elem)) s. à. X (a,b)∈δ+_({a}) ˆ xab = X (b,a)∈δ−_({a}) ˆ xba ∀a ∈ N S (3.44) X (os,a)∈δ+_({os}) ˆ xos,a = X (a,os0_)∈δ−_({os0_}) ˆ xa,os0 = 1 (3.45) ˆ xab ∈ {0, 1} ∀a, b ∈ N S0 (3.46)

Les contraintes (3.44) assurent la conservation de flot sur les arcs incidents à un noeud donné alors que (3.45) impose le départ et l’arrivée à partir d’un dépôt. Pour un problème de plus court chemin (avec ou sans contraintes de ressources) avec des coûts strictement positifs sur les arcs, les contraintes (3.44) et (3.45) sont suffisantes pour s’assurer que la solution ne comprend pas de sous-tours (cycles n’incluant pas la source ou le puits) ou de routes avec des cycles. La solution optimale correspond donc bien à un chemin élémentaire de os à os0. En effet, avec des coûts strictement positifs sur les arcs, si une solution possède des sous-tours ou des cycles, elle ne peut être optimale, car on obtient une solution réalisable de coût stric- tement plus petit en supprimant ce sous-tour. Cependant, ce n’est pas nécessairement le cas pour notre sous-problème, car on considère le coût réduit des arcs.

On appelle le sous-problème SPk(non − elem) pour mettre l’accent sur le fait qu’on peut

générer des routes visitant un client plus d’une fois. En effet, bien que la contrainte (3.46) indique qu’un arc peut uniquement être emprunté une fois, il est possible que la route revi- site un client plus d’une fois avec différentes demandes cumulées. Ceci est équivalent à poser Λ = P, l’ensemble des routes de os à os0 réalisables (pouvant passer plusieurs fois par un client donné avec différentes demandes cumulées espérées).

Même si on considèrePk et non PEk, le sous-ensemble des routes de P passant exac-

tement une fois par chaque client, chaque route dans la solution optimale de P M visitera exactement une fois chaque client. En effet, la contrainte (3.40) du problème maître assure que seulement des routes élémentaires pourront être utilisées dans la solution. Même si l’on permettait l’utilisation de routes non élémentaires dans la solution de P M , une solution en- tière qui couvre un client plus d’une fois ne serait pas optimale pour ce programme. Avec des routes entières, il est effectivement possible de couvrir un client plus d’une fois dans deux situations : deux routes différentes couvrent le client ou une route possède un cycle.

Ces deux cas sont sous-optimaux pour P M , car cij > 0 ∀(i, j) ∈ A et les coûts de dépla-

cement respectent l’inégalité du triangle. Par ailleurs EFC(µj, j) est croissante par rapport à

µj (voir la preuve en annexe). Il n’est donc pas optimal qu’une solution sur-couvre certains

clients (visite un client plus d’une fois).

On en conclut qu’on pourrait changer l’égalité de la contrainte (3.40) par ≥ et conser- ver la solution optimale initiale de P M . Les travaux de (Desrochers et al., 1992) expliquent pourquoi cette technique peut se révéler bénéfique. Elle permet effectivement de stabiliser la valeur des variables duales et ainsi d’augmenter la stabilité numérique de l’algorithme de génération de colonnes. De plus, elle permet d’inclure des variables de décision associées à des routes non élémentaires à des bases du problème maître.

Les sections suivantes présentent l’algorithme général de BCP ainsi que l’algorithme utilisé pour résoudre le sous-problème.