séparation de sources en spectroscopie de uorescence
2.7 Décomposition CP quadrilinéaire
Précédemment, nous avons montré l'intérêt de l'identi cation des systèmes bactéries-solutions par des modèles trilinéaires. dans lesquels les diérents modes représentent les diversités spec-trales des sources de uorescence, les comportements diérentiels des promoteurs réagissant aux variations de concentrations d'un métal et les variations de quantités de biosenseurs soit par l'évolution temporelle soir par des combinaisons variables de biosenseurs. Or, dans certains cas pratique, il est intéressant d'étudier la réponse des promoteurs à plusieurs métaux ou d'associer la réponse cinétique aux variations de ratio de biosenseurs. Dans ces cas, on obtient des données quadrilinéaires que l'on peut représenter sous la forme d'un tenseur de données X (I ×J ×K ×L) qui contiendra JKL spectres de taille I correspondant à JKL échantillons. Nous disposons alors d'un jeu de données contenant les mesures de uorescence xi,j,k,l en fonction de quatre para-mètres i, j, k, l. Le modèle quadrilinéaire de X consiste en une combinaison linéaire de F vecteurs af, bf, cf, sf qui s'exprime comme suit :
X = F X f =1
af ◦ bf ◦ cf ◦ sf (2.14)
où af, bf, cf représente l'évolution de la uorescence de la source f en fonction de trois paramètres diérents et sf est le spectre de uorescence de la source f.
2.7. Décomposition CP quadrilinéaire Le principale intérêt de la décomposition quadrilinéaire réside dans les propriétés d'identi a-bilité du modèle dans les cas de colinéarité dans un ou plusieurs modes. On peut citer quelques cas pratiques pour lesquels il existe une ou plusieurs colinéarités :
Lorsque deux gènes promoteurs diérents ont la même réponse aux variations d'un élément stressant (e.g. métal).
Lorsque le choix des instants de mesures ne permettent pas de diérencier les cinétiques de chaque marqueur (e.g. un temps trop long entre deux mesures ou entre le début de l'expérience et la première mesure).
Lorsque le protocole expérimental génère deux populations de biosenseurs percevant deux environnements diérents (e.g. un biosenseur mis en présence de particules minérales peut avoir deux comportements. Par exemple, son comportement en suspension dans le milieu sera diérent de son comportement en contact direct avec la particule.
Le fait de pouvoir assurer l'unicité du modèle quadrilinéaire dans un cas présentant des colinéa-rités est un avantage sur les modèles trilinéaires. Dans un cas où il est impossible de résoudre de manière unique un problème trilinéaire le simple ajout d'une diversité peut assouplir les condi-tions d'unicité et fournir une décomposition unique. Cependant, le choix de nouveaux paramètres doit respecter les propriétés de linéarité avec les précédents paramètres ainsi que les conditions d'identi abilité des modèles quadrilinéaires.
2.7.1 Application
Pour tester l'obtention d'une unicité partielle à l'ordre 4, une procédure expérimentale simu-lant le comportement de biosenseurs bactériens par le mélange de trois colorants. Trois colorants uorescents (Oregon Green 514 (OG514), Rhodamine 6G (R6G), la rhodamine B (RB)) ont été choisis pour le recouvrement de leur spectre d'émission et de leurs réponses diérentes à des conditions physico-chimiques comme la température et le pH. L'intensité de uorescence de OG514 répond au pH tandis que R6G et RB y sont insensibles. L'intensité de uorescence de RB dépend fortement de la température tandis que l'émission des OG514 et R6G varie peu en fonction de la température.
Trente-six mélanges ont été créés dans les puits d'une microplaque (6 valeurs diérentes du pH × 6 concentrations diérentes de R6G). Puis les spectres de uorescence ont été mesurés à 6 températures diérentes. Les données ont été organisées dans un tableau à 4 dimensions ( gure 2.21).
Les variations de concentration et pH correspondent, respectivement, aux diérents gra-phiques verticaux et horizontaux. En utilisant la réponse spectrale des colorants et la diversité du plan d'expérience (mélanges des colorants), un modèle CP à 4 modes d'ordre de décomposition 3 peut être proposé :
X = 3 X f =1
af◦ bf ◦ cf ◦ sf
Figure 2.21 Spectres d'émission de uorescence mesurés (λ de 500 à 650 nm) pour diérents mélanges de colorants (Oregon Green 514 (OG514), Rhodamine 6G (R6G), Rhodamine B (RB)) et six diérentes valeurs de températures (de 10◦C à 45◦C) et six valeurs diérentes de pH. Chaque graphique représente les spectres obtenus dans un même puits pour les 6 températures diérentes. 500 550 600 650 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 mode 1 Longueur d'ondes 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 mode 2 Concentration 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 mode 3 pH 10 15 25 35 45 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 mode 4 Température (◦C)
Figure 2.22 Décomposition CP. Le mode 1 représente les trois sources de uorescence. Les modes 2, 3 et 4 représentent l'évolution de ces trois sources en fonction des paramètres de concen-tration, de pH et de température.
2.7. Décomposition CP quadrilinéaire uorescentes diérentes assure que la matrice S est de rang plein. Chacune des autres matrices représente les réponses des colorants aux autres diversités (concentration de R6G, pH, tempéra-ture) et les colinéarités dans les modes peuvent s'écrire comme suit :
A = [a1 a2 a1], rA= 2, rangk(A) = 1; (2.15) B = [b1 b1 b2], rB = 2, rangk(B) = 1; (2.16) C = [c1 c2 c2], rC= 2, rangk(C) = 1. (2.17) La gure 2.22 montre les résultats obtenus en eectuant la décomposition CP de données organisées sous forme de tableau à 4 modes. Pour chaque mode, les vecteurs sont normalisés à une valeur maximale égale à un. La décomposition a été eectuée en utilisant l'algorithme ALS avec des contraintes de positivité sur tous les modes. La décomposition a été réalisée sans contraintes avec diérentes initialisations. Les résultats obtenus sont tous similaires et en accords avec ce qui était attendu. En particulier, le mode 1 représente les spectres des diérents colorants. Le mode 2 montre clairement la variation de la concentration de R6G, tandis que les deux autres restent constants. De même, pour le mode 3, la réponse de OG514 varie avec le pH. Et nalement, pour le mode 4, la rhodamine B répond plus fortement que les deux autres colorants. Cette expérience con rme l'unicité du modèle garanti par le théorème énoncé précédemment.