vIy(x, y) = vy(x, y) − vy(x, −y) 2 vIIy(x, y) = vy(x, y) + vy(x, −y) 2 (2.6)
Ceci suppose que l’échelle de représentation est telle que la fissure puisse être localement représentée comme plane à front droit.
Soit un point x(x, y) dans un système de coordonnées local attaché au front d’une fissure. Nous cherchons à déterminer une forme simplifiée du déplacement de ce point connaissant le chargement appliqué à la fissure. L’objectif est de réduire le nombre de degrés de liberté du problème afin que l’outil de simulation final conduise à des temps de calcul réalistes vis-à-vis du problème industriel posé.
En mécanique élastique linéaire de la rupture, on obtient les champs de déplacement dans la région à l’extrémité de la fissure en effectuant un développement asymptotique vis-à-vis de la distance r à cette extrémité. Le premier terme de ce développement s’exprime comme le produit du facteur d’intensité des contraintes, variable au cours du temps, et d’un champ de référence qui ne dépend que des coordonnées du point considéré par rapport à l’extrémité de la fissure. Ainsi, au premier ordre, seul le facteur d’intensité des contraintes KI est variable au cours du temps. Les critères de fissuration pourront donc être écrits en fonction de KI qui devient le seul degré de liberté du problème.
On souhaite étendre cette démarche au cas de la fissuration quasi-fragile. Pour cela on cherche à représenter le champ de déplacement dans la région de l’extrémité de la fissure comme suit :
u(x, t) = X
j
aj(t)uj(x) (2.7)
où, uj(x) est une base de champs spatiaux, tandis que aj(t) sont les paramètres temporels du problème utilisés comme facteurs d’intensité des champs uj(x). Ces paramètres tem-porels seront les degrés de liberté du problème et pourront ensuite être employés dans un critère de fissuration.
2.2 Décomposition du champ de vitesse
La transformée de Karhunen-Loeve ([Karhunen, 1947]) est une méthode employée pour la construction d’une décomposition orthogonale d’une quantité qui varie à la fois
dans le temps et l’espace. Le principe est d’extraire de ce signal les éléments dont l’évolu-tion dans le temps est spatialement corrélée. Cette méthode est très efficace et est utilisée dans un large domaine d’application. On considère le déplacement U d’un ensemble de points N pour un nombre k de pas de temps. La matrice de données spatio-temporelles V et la matrice d’auto-corrélation spatiale C sont construites de la manière suivante :
V = U (n = 1, t = 1) · · · U(n = 1, t = k) ... ... U (n = N, t = 1) · · · U(n = N, t = k) , C = V.VT (2.8)
Les vecteurs propres de la matrice C, normalisés et notés Fk, permettent de construire une base orthogonale de champs spatiaux. Ces vecteurs propres sont rangés dans l’ordre décroissant de leur valeur propre associée. La matrice spatio-temporelle V est projetée sur cette base pour déterminer un ensemble de coefficients temporels Ak. Ceci permet de construire la décomposition orthogonale de Karhunen-Loeve de V :
Ak= VT.Fk et V =
N X k=1
AkFk (2.9)
Cette décomposition est exacte, mais le but de cette décomposition est d’obtenir une approximation ˜V de V . Ce qui peut être fait en conservant uniquement les h premiers modes de la décomposition. La solution approchée ˜V et son erreur sont alors calculées de la façon suivante : ˜ V = h X k=1 AkFk et erreur = v u u t P i,k(Vik− ˜Vik)2 P i,k(Vik)2 (2.10)
Cette méthode peut aussi être appliquée à des champs et permettre ainsi d’approcher l’évolution d’un champ par sa décomposition orthogonale propre : u(x, t) = a(t)f(x). Les vecteurs propres sont orthogonaux, ce qui, compte tenu du fait que C est la matrice d’auto-corrélation du mouvement, correspond au fait que les Fksont une base de mouve-ment dont le produit de corrélation spatiale est nul, ou cinématiquemouve-ment indépendants. 2.2.1 Reconstruction des vecteurs propres spatiaux à partir des vecteurs propres temporels et des valeurs propres par la décomposition en valeurs singulières Pour les problèmes à très grand nombre de degrés de liberté spatiaux et à nombre de pas de temps faible, il peut être intéressant d’utiliser la matrice d’auto-corrélation temporelle pour reconstruire les vecteurs propres spatiaux. Dans le cas où l’on a un très grand nombre de degré de liberté spatiaux et un nombre plus faible de pas de temps, il est beaucoup plus rapide de calculer les vecteurs propres temporels et les valeurs propres pour ensuite reconstruire les vecteurs propres spatiaux que de les calculer de manière directe. En effet, les matrices d’auto-corrélation spatiale et d’auto-corrélation temporelle possèdent les mêmes valeurs propres. Il est donc possible de reconstruire les vecteurs
Approche condensée 43
propres spatiaux associés aux valeurs propres.
Soit V une matrice m×n dont les composants sont réels ou complexes. Alors il existe une factorisation de la forme :
V = BΣDT (2.11)
avec B une matrice unitaire de m × m, Σ une matrice m × n, dont les termes diagonaux sont des réels positifs ou nuls et tous les autres nuls, et DT est la matrice transposée de D, qui est une matrice unitaire de n × n.
Les matrices B et D contiennent chacune un ensemble de vecteurs de base orthonor-mée pour V . La matrice Σ contient les valeurs singulières de V .
Considérons maintenant, que la matrice V est notre matrice du mouvement. On peut alors exprimer la matrice d’auto-corrélation temporelle C et la matrice d’auto-corrélation spatiale M comme suit :
C = V VT = (BΣDT)(BΣDT)T = B(ΣΣT)BT = BΣ2BT (2.12)
M = VTV = (BΣDT)T(BΣDT) = D(ΣTΣ)DT = DΣ2DT (2.13)
Le côté droit de ces relations décrit la décomposition en valeurs propres du côté gauche. Ainsi, le carré du module de chaque valeur singulière non-nulle de M est égal au module de la valeur propre non-nulle correspondante de VTV et de V VT. En outre, les colonnes de B (vecteurs singuliers à gauche) sont les vecteurs propres pour V VT, et les colonnes de D (vecteurs singuliers à droite) sont les vecteurs propres de VTV . On considère par la suite que la matrice B est composée de l’ensemble des vecteurs propres spatiaux ψ, stockés de la façon suivante :
B = {ψ1, . . . , ψT} (2.14)
et que la matrice D contient l’ensemble des vecteurs propres temporels ϕ :
D = {ϕ1, . . . , ϕT} (2.15)
Il est ainsi possible de calculer le kième vecteur propre spatial de la matrice d’auto-corrélation spatiale D à partir du kième vecteur propre de la matrice d’auto-d’auto-corrélation temporelle C, de la façon suivante :
ψk = √1 λk T X i=1 ϕk(i).Vi (2.16)