Décomposition en éléments simples

Sage calcule la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle

Fractions rationnelles corps des fractions K(x) Frac(K['x']) numérateur r.numerator() dénominateur r.denominator() simplification (modifie r) r.reduce()

décomposition en éléments simples r.partial_fraction_decomposition() reconstruction rationnelle de s mod m s.rational_reconstruct(m)

Séries tronquées

anneau A[[t]] PowerSeriesRing(A, 'x', default_prec=n) anneau A((t)) LaurentSeriesRing(A, 'x', default_prec=n) coefficient [xk_{] f(x) f[k]}

troncature x + O(x^n) précision f.prec()

dérivée, primitive (nulle en 0) f.derivative(), f.integral() opérations usuellespf , exp f , ... f.sqrt(), f.exp(), ...

réciproque (f ◦ g = g ◦ f = x) g = f.reversion()

solution de y′_{= ay + b a.solve_linear_de(precision, b)}

Tableau 7.6– Objets construits à partir des polynômes.

de la décomposition en éléments simples sur K. Le résultat est formé d’une partie polynomiale p et d’une liste de fractions rationnelles dont les dénominateurs sont des puissances de facteurs irréductibles de b :

sage: R.<x> = QQ[]; r = x^10 / ((x^2-1)^2 * (x^2+3))

sage: poly, parts = r.partial_fraction_decomposition()

sage: poly x^4 - x^2 + 6

sage: for part in parts: part.factor() (17/32) * (x - 1)^-2 * (x - 15/17) (-17/32) * (x + 1)^-2 * (x + 15/17) (-243/16) * (x^2 + 3)^-1

On a ainsi obtenu la décomposition en éléments simples sur les rationnels

r = x 10 (x2_{− 1)}2_(x2_{+ 3)} = x 4 − x2+ 6 + 17 32x− 15 32 (x − 1)2 + −1732x− 15 32 (x + 1)2 + −24316 x2_{+ 3}.

Il n’est pas difficile de voir que c’est aussi la décomposition de r sur les réels. Sur les complexes en revanche, le dénominateur du dernier terme n’est pas irréductible, et donc la fraction rationnelle peut encore se décomposer. On peut calculer la décomposition en éléments simples sur les réels ou les complexes numériquement :

sage: C = ComplexField(15)

sage: Frac(C['x'])(r).partial_fraction_decomposition()

(x^4 - x^2 + 6.000, [(0.5312*x - 0.4688)/(x^2 - 2.000*x + 1.000), 4.384*I/(x - 1.732*I), (-4.384*I)/(x + 1.732*I),

La décomposition exacte sur C s’obtient de la même façon, en remplaçant C par QQbar. En faisant le calcul sur AA, on aurait la décomposition sur les réels même quand toutes les racines réelles du dénominateur ne sont pas rationnelles.

7.4.3 Reconstruction rationnelle

Un analogue de la reconstruction rationnelle présentée en §6.1.3existe pour les polynômes à coefficients dans A = Z/nZ. Étant donnés m, s ∈ A[x], la commande

sage: s.rational_reconstruct(m, dp, dq)

calcule lorsque c’est possible des polynômes p, q ∈ A[x] tels que

qs_{≡ p mod m,} deg p 6 dp, deg q 6 dq.

Restreignons-nous pour simplifier au cas où n est premier. Une telle relation avec q et m premiers entre eux entraîne p/q = s dans A[x]/hmi, d’où le nom de reconstruction rationnelle.

Le problème de reconstruction rationnelle se traduit par un système linéaire sur les coefficients de p et q, et un simple argument de dimension montre qu’il admet une solution non triviale dès que dp+ dq>deg m − 1. Il n’y a pas toujours de solution avec q et m premiers entre eux (par exemple, les solutions de p ≡ qx mod x2 _{avec deg p 6 0, deg q 6 1 sont les multiples constants de (p, q) = (0, x)),}

mais rational_reconstruct cherche en priorité les solutions q premières avec m. Approximants de Padé. Le cas m = xn _{est appelé approximation de Padé.} Un approximant de Padé de type (k, n − k) d’une série formelle f ∈ K[[x]] est une fraction rationnelle p/q ∈ K(x) telle que deg p 6 k − 1, deg q 6 n − k, q(0) = 1, et p/q = f + O(xn_{). On a alors p/q ≡ f mod x}n_.

Commençons par un exemple purement formel. Les commandes suivantes calculent un approximant de Padé de la série f =P∞

i=0(i + 1)2xi à coefficients dans Z/101Z :

sage: A = Integers(101); R.<x> = A[]

sage: f6 = sum( (i+1)^2 * x^i for i in (0..5) ); f6 36*x^5 + 25*x^4 + 16*x^3 + 9*x^2 + 4*x + 1

sage: num, den = f6.rational_reconstruct(x^6, 1, 3); num/den (100*x + 100)/(x^3 + 98*x^2 + 3*x + 100)

En développant à nouveau en série la fraction rationnelle trouvée, on observe que non seulement les développements coïncident jusqu’à l’ordre 6, mais le terme suivant aussi « est juste » !

sage: S = PowerSeriesRing(A, 'x', 7); S(num)/S(den)

1 + 4*x + 9*x^2 + 16*x^3 + 25*x^4 + 36*x^5 + 49*x^6 + O(x^7)

En effet, f est elle-même une fraction rationnelle : on a f = (1 + x)/(1 − x)3_{. Le}

développement tronqué f6, accompagné de bornes sur les degrés du numérateur et du dénominateur, suffit à la représenter sans ambiguïté. De ce point de vue, le calcul d’approximants de Padé est l’inverse du développement en série des fractions rationnelles : il permet de repasser de cette représentation alternative à la représentation habituelle comme quotient de deux polynômes.

-6 -4 -2 2 4 6 -3 -2 -1 1 2 3 type (4, 2) · · · · type (8, 4) ·− ·− ·− type (12, 6) − − − − −

Figure 7.1_{– La fonction tangente et quelques approximants de Padé sur [−2π, 2π].}

Un exemple analytique. Historiquement, les approximants de Padé ne sont pas nés de ce genre de considérations formelles, mais de la théorie de l’ap- proximation des fonctions analytiques. En effet, les approximants de Padé du développement en série d’une fonction analytique approchent souvent mieux la fonction que les troncatures de la série. Quand le degré du dénominateur est assez grand, ils peuvent même fournir de bonnes approximations même en-dehors du disque de convergence de la série. On dit parfois qu’ils « avalent les pôles ». La figure7.1, qui montre la convergence des approximants de type (2k, k) de la fonction tangente au voisinage de 0, illustre ce phénomène.

Bien que rational_reconstruct soit limité aux polynômes sur Z/nZ, il est possible de s’en servir pour calculer des approximants de Padé à coefficients rationnels, et aboutir à cette figure. Le plus simple est de commencer par effectuer la reconstruction rationnelle modulo un nombre premier assez grand :

sage: x = var('x'); s = tan(x).taylor(x, 0, 20)

sage: p = previous_prime(2^30); ZpZx = Integers(p)['x']

sage: Qx = QQ['x']

sage: num, den = ZpZx(s).rational_reconstruct(ZpZx(x)^10,4,5)

sage: num/den

(1073741779*x^3 + 105*x)/(x^4 + 1073741744*x^2 + 105)

puis de relever la solution trouvée. La fonction suivante relève un élément a de Z/pZ en un entier de valeur absolue au plus p/2.

sage: def lift_sym(a):

....: m = a.parent().defining_ideal().gen() ....: n = a.lift()

....: if n <= m // 2:return n ....: else:return n - m On obtient :

(-10*x^3 + 105*x)/(x^4 - 45*x^2 + 105)

Lorsque les coefficients cherchés sont trop grands pour cette technique, on peut faire le calcul modulo plusieurs premiers, et appliquer le « théorème chinois » afin de retrouver une solution à coefficients entiers, comme expliqué en §6.1.4. Une autre possibilité est de calculer une relation de récurrence à coefficients constants satisfaite par les coefficients de la série. Ce calcul est presque équivalent à celui d’un approximant de Padé (voir exercice27), mais la fonction berlekamp_massey de Sage permet de le faire sur un corps quelconque.

Systématisons un peu le calcul précédent, en écrivant une fonction qui cal- cule directement l’approximant à coefficients rationnels, sous des hypothèses suffisamment favorables :

sage: def mypade(pol, n, k): ....: x = ZpZx.gen();

....: n,d = ZpZx(pol).rational_reconstruct(x^n, k-1, n-k) ....: returnQx(map(lift_sym, n))/Qx(map(lift_sym, d))

Il n’y a plus alors qu’à appeler plot sur les résultats de cette fonction (convertis en éléments de SR, car plot ne permet pas de tracer directement le graphe d’une fraction rationnelle « algébrique ») pour obtenir le graphique de la figure7.1:

sage: add(

....: plot(expr, -2*pi, 2*pi, ymin=-3, ymax=3,

....: linestyle=sty, detect_poles=True, aspect_ratio=1) ....: for (expr, sty) in [

....: (tan(x), '-'),

....: (SR(mypade(s, 4, 2)), ':' ), ....: (SR(mypade(s, 8, 4)), '-.'), ....: (SR(mypade(s, 12, 6)), '--') ])

Les exercices suivants présentent deux autres applications classiques de la reconstruction rationnelle.

Exercice 27. 1. Montrer que si (u_n)_n∈Nsatisfait une récurrence linéaire à co-

efficients constants, la série formelle P_n∈Nunzn est une fraction rationnelle.

Comment s’interprètent le numérateur et le dénominateur ? 2. Deviner les termes suivants de la suite

1, 1, 2, 3, 8, 11, 34, 39, 148, 127, 662, 339, 3056, 371, 14602, −4257, . . . , en utilisant rational_reconstruct. Retrouver le résultat à l’aide de la fonction berlekamp_massey.

Exercice 28(Interpolation de Cauchy). Trouver une fraction rationnelle r = p/q ∈

F17(x) telle que r(0) = −1, r(1) = 0, r(2) = 7, r(3) = 5, avec p de degré minimal.