Quelque dé…nitions

Unicité forte

On dit que l’équation (1.1) admet une solution forte unique,si pour chaque deux solutions fortes X = (X_t)_t2R

+etY = (Y_t)_t2R

+ on a : P sup

t2R⁺jX_t Y_tj>0 = 0 c’est à dire

P fX_t =Y_t;8t2R⁺g= 1

Unicité faible : Dé…nition 1.7.1

1.7. QUELQUE DÉFINITIONS On dit que l’équation (1.1) admet une solution faible unique, si pour chaque deux solutions faibles

;F;(F^t)_t2R

+; P; B;(X_t)

t2R+ et ~;F~; F~^t

t2R+

;P ;~ B;~ X~_t

t2R+

:il y’a coincidence des distributions des processus X etX:~

C’est à dire, pour tout A 2 on a :

Pf! 2 =X(!)2Ag=P f!2 =Y (!)2Ag

Les théorèmes fondamentaux de Yamada-Watanabe suivants, nous donnent la relation entre les solutions faibles et les solutions fortes :

Théorème 1.7.1 (Yamada-Watanabe) : L’unicité forte implique l’unicité faible.

Preuve. :vior [11],[13].

Théorème 1.7.2 (Yamada-Watanabe) :

L’exitence faible plus l’unicité forte entraine l’exitence et l’unicité forte.

Preuve. :voir [11],[13].

Les théorèmes de Yamada-Watanabe jouent un rôle clé dans la démonstra-tion des résultats d’exitence et d’unicité pour les équadémonstra-tions di¤érentielles stochastiques à coe¢ cients non lipschitziens.

Stabilité des solutions des EDS

2.1 Théorème de Skorokhod

L’outil fondamental utilisé dans les preuves est le théorème seléction de Sko-rokhod qu’on le presente dans les deux lemmes suivantes :

Lemme 2.1.1 ([11]) Soit (S; ) un espace polonais (métrisable ,séparable ,complet), p_n ;

n= 1;2; : : :etp des mesures de probabilité sur(S; B(S))telle que : p_n ! p:Alors il existe un espace de probabilité ^;F^;P^ , et une suite de variables aléatoires,X_n; n= 1;2; : : :etXdé…nissent sur ^;F^;P^ dans(S; B(S))telle que :

i) P^_Xn =P_n; n = 1;2; : : :et P^_X =P;

ii) X_n converge vers X ;P^.p:s:

Lemme 2.1.2 ([11] page18) :

Soit (X_n(t)) n = 1;2; : : :une suite de processus continues d- dimensionnelle satisfaisant les deux conditions suivantes :

i) Il existe deux constantes positives M et telle que E[jX_n(0)j ] M pour touten2N.

2.2. VARIATION DE SOLUTION PAR RAPPORT DE CONDITION INITIALE

ii) Il existe des contantes positives ; ; M_K :

k = 1;2; : : : telles que :E[jX_n(t) X_n(s)j ] M_Kjt sj¹⁺ 8n 2 N et 8t; s 2[0; k] ; k = 1;2; : : :

Alors il existe une sous suite(n_k); et un espace de probabilité ^;F^;P^ et une suite de processus continues de dimension d, X^_nk; k = 1;2; : : : ;X^ dé…nissent sur ^;F^;P^ telle que :

1. Les lois de X^_nk et X_nk sont coincide8 k = 1;2; : : :

2. X^n_k(t)converge vers X^(t)uniformément en tout intervale …nieP^.p:s:

2.2 Variation de solution par rapport de condi-tion initiale

Dé…nition 2.2.1

Si on a l’unicité forte de l ’équation (1) et on a deux solutions faibles de l

’équation (1) :(X:B:( :F:P):F^t)et X:B:( :F:P):F^^t de même espace de probabilité et Mouvment Brownien (avec possibilté des …ltrations di¤érentes) telle que :

Ph

X₀ =X₀i

= 1 alors X etX sont indistinguable.

Dans la theorie des équations di¤érentielles ordinaires à coe¢ cients continus, l’unicité de la solution est su¢ sante pour la dépendence et la continuité de la solution par rapport à la condition initiale, le théorème suivant est analogue au resultat ci-dessus dans le cas stochastique.

Théorème 2.2.1

Soient (t; x)etb(t; x)deux fonctions continues satisfaisant la condition de la croissance au plus linéaire :

i)8 T 0;il existe M > 0telle que :

j (t; x)j+jb(t; x)j M(1 +jxj) 8t2[0; T] Alors si on a l’unicité forte de l ’équation (1) on a

xlim!x0

E sup

t T jX_t(x) X_t(x₀)j² = 0;8T 0:

Preuve. :

On suppose que la conclusion de notre théorème est faux . Alors il existe un nombre positif et une suite (x_n) qui converge versx telle que :

infn E sup

t T jX_t(x_n) X_t(x)j² ((2.1)) On indique parXⁿ(respX) la solution de (1) correspondant la valeur initiale x_n (resp ,x ) par les arguments standart de le théorie des équations di¤éren-tielles stochastiques ([13] page289), on peut voir que la suite (Xⁿ; X; B) sa-tis…e les conditions i) et ii) du lemme 2.1.2 avec = 4; = 1 . Alors il existe un espace de probabilité ^:F^:P^ et une suite de processus stochastique

X^ⁿ;Y^ⁿ;B^ⁿ dé…nis sur ^:F^:P^ telle que :

1. Les lois de (Xⁿ; X; B) et X^ⁿ;Y^ⁿ;B^ⁿ coincident8n 2N:

2. Il existe une sous suite X^^nk;Y^^nk;B^^nk qui converge vers X;^ Y ;^ B^ uniformément pour tout intervalle …nieP^ .p:s:

Si on indique parF^tⁿ = X^_sⁿ;Y^_sⁿ;B^_sⁿ; s t et F^^t= X^_s;Y^_s;B^_s; s t alors B^_tⁿ;F^tⁿ et B^t;F^^t sont des Mouvment Brownien.

D’après la propriété 1) on aX_tⁿetX_tsatisfont l ’équation (1) avec des valeurs initialesxn etx , et on peut preuver par([15] page 89) que8n 2N,8t 0 :

E^ X^_tⁿ x_n Zt

0

s;X^_sⁿ dB^_sⁿ Zt

0

b s;X^_sⁿ ds

2

= 0

D’autre part , X^ⁿ veri…e l ’équation di¤érentielle stochastique :

2.2. VARIATION DE SOLUTION PAR RAPPORT DE

avec les mêmes relations ,on obtient :

Y^_tⁿ=x+

Par l ’utilusation de propriété 2) et théorème limite de skorokhod[19 page 32]

alors on a :

Ainsi X^ et Y^ satisfont la même équation di¤érentielle stochastique (1) sur

^:F^:P^ avec le même Mouvment BrownienB^ et même valeur initiale, alors

2.3 Variation de solutions par rapport à un paramètre :

On considère une famille de fonctions dépandant d’un paramètre et on considère l’équation di¤érentielle stochastique suivante :

dX_t = ; t; X_t dB_t+b ; t; X_t dt

X₀ ='( ) ((2.2))

Théorème 2.3.1

On suppose que ( ; t; x) et b( ; t; x) sont deux fonctions continues, 8 T 0 et pour toute ensemble compact K il existe L >0 telle que :

i) lim

! 0

sup

x2K

sup

t T

(j ( ; t; x) ( ₀; t; x)j+jb( ; t; x) b( ₀; t; x)j) = 0 ii) '( ) est continue en = ₀

iii) sup

t T

(j ( ; t; x)j+jb( ; t; x)j) L(1 +jxj)uniformémemt en si l’unicité forte de l’équation (2.2) est véri…e a 0 alors :

lim _{! 0}Eh

sup_{t T} X_t X_t^{0 2}i

= 0;8T 0:

Preuve. On suppose que la conclusion de notre théorème est faux .Alors il existe un nombre positif et une suite ( n)converge vers telle que :

infn E sup

t T jX_t( _n) X_t( )j² ((2.3)) On indique parXⁿ(respX) la solution de (1) correspondant le paramètre n

(resp ), par les arguments standart de la théorie de les équations di¤eren-tielles stochastiques ([13]page289) on peut voir que la suite (Xⁿ; X; B) sa-tis…e les conditions i) et ii) de lemme 2.1.2 avec = 4; = 1. alors il existe un espace de probabilité ^:F^:P^ et suite de processus stochastique X^ⁿ;Y^ⁿ;B^ⁿ dé…nit sur ^:F^:P^ telle que :

2.3. VARIATION DE SOLUTIONS PAR RAPPORT À UN PARAMÈTRE :

1. Les lois de (Xⁿ; X; B)et X^ⁿ;Y^ⁿ;B^ⁿ sont coincide 8n2N:

2. Il existe une sous suite X^^nk;Y^^nk;B^^nk converge vers X;^ Y ;^ B^ uniformément pour toute intervale …nie P^ .p:s

si on indique par F^tⁿ = X^_sⁿ;Y^_sⁿ;B^_sⁿ; s t et F^^t = X^_s;Y^_s;B^_s; s t

D’autre part , X^ⁿ véri…e l ’équation di¤érentielle stochastique :

X^_tⁿ='( _n) + Avec les mêmes relations ,on obtient :

Y^_tⁿ ='( ) +

Par l’utilusation de la propriété (2) et du théorème de skorokhod[19 page 32], alors on a :

Z

0

b _n; s;X^_s^nk ds _K!

!1

Z

0

b ; s;X^_s ds en probabilite et'( _n)_n!

!1'( )puisque ' continue en

AinsiX^ etY^ satisfont la même équation di¤eréntielle stochastique (2.2) sur

^:F^:P^ avec le même Mouvment BrownienB^ et la valeur initiale , alors d

’après l’unicité forte , on conclue que : 8t X^_t = ^Y_t P^ .p:s par l’integrabilité uniforme on a :

lim inf_n2NE sup_{t T} jX_tⁿ X_tj²

lim inf_k2NE^ sup_{t T} X^_t^nk Y^_t^{nk 2} = ^E sup_{t T} X^_t Y^_t ² contradiction avec (2.3).

Remarque 2.3.1

Malgré que (2.2) ne possède pas l ’unicité forte de la solution pour 6= ₀ ,de plus leur solutions sont continues par rapport le parametre en 0. la même méthode peut appliquer pour voir la convergence de shémas d’ap-proximation comme le shema d’Eulere. l’appximation par l’équation [9], et sous la méthode[7] et l’approximation polygonale [12].

2.4 Extension du résultat à l’espace de Höl-der

Soit > 0 on indique par C [0;1] ;R^d l ’ensemble de fonctions continues Hölder muni de la norme dé…nit par :

kfk = sup

0 t 1jf(t)j+ sup

0 s<t 1

jf(t) f(s)j jt sj

2.4. EXTENSION DU RÉSULTAT À L’ESPACE DE HÖLDER

D’après ([13]page53) les solutions de (1) sont Hölder continues 8 2 0;¹₂ :

soitX;(respXⁿ)indique la solution de (1) correspendent de valeur inlialex (resp x_n) et Y_n=X X_n:

Lemme 2.4.1

8 p >1 , >0 et 8 < ^p_2p¹ alors on a les estimateurs suivantes : i) sup_nEjY_n(t) Y_n(s)j^2p c(p)jt sj^p;

ii) sup_nP sup_s<t ^{jYn(t) Yn(s)j}

jt sj > c(p; ) ^2p: Preuve.

i) est conséquence de formule d’Itô ,et ii) conséquence simple de lemme de Garcia - Rodemich - Rusmy ([20] page 49).

Lemme 2.4.2

sous les hypothèses de théorème 2.2.1 ,8 2 0;¹₂ ;8" >0 on a :

nlim!1P(kX_n Xk > ") = 0

Preuve.

P(kX_n Xk > ") =P sup_{0 t 1}jX_n(t) X(t)j+ sup_s<t ^jYn(t)_{jt s}^Y_j^n(s)j > "

P sup_{0 t 1}jX_n(t) X(t)j> ^"₂ +P sup_s<t ^{jYn(t) Yn(s)j}

jt sj > ₂^"

D’aprés le théorème 2.2.1 , le premier terme à gauche tend vers 0 si n tend vers 1.

Soit >0 telle que + < ^p_2p¹ et >0 on a :

P sup_s<t ^{jYn(t) Yn(s)j}

jt sj > ^"₂ =P sup_s<t ^{jYn(t) Yn(s)j}

jt sj > ^"₂;jt sj<

+P sup_s<t ^{jYn(t) Yn(s)j}

jt sj > ^"₂;jt sj >

P sup_s<t^{jYn(t) Yn(s)j}

jt sj ⁺ > ^"₂ + 2P sup_{0 t 1}jX_n(t) X(t)j> ^"₄ c ^"₂ ^2p+ 2P sup_{0 t 1}jXn(t) X(t)j> ^"₄ :

si on prend trés petit et d’aprés le téorème 2.2.1 on arrive à le résultat.

2.5 Unicité forte et approximations succes-sives

Soient etb les mêmes de théorème 2.2.1 , et on considère l ’équation di¤é-rentielle stochastique (1) ,la suite de les approximations successives associée de (1) et dé…nit comme le suit :

8<

:

X_tⁿ⁺¹ =x+ Rt

0

(s; X_sⁿ)dB_s+ Rt

0

b(s; X_sⁿ)ds X⁰ =x

((2.4)) Si les coe¢ cients sont continues lipschitziens alors(Xⁿ)converge en moyenne quadratique vers la solution unique de (1) (voir[11]).

Maintenant si les coe¢ cients sont non Lipschitziens et on à seulement que l’équation (1) admet solution forte unique, est ce que la suite(Xⁿ) converge vers X?

la réponse est négative dans le cas déteministe ,voir ([4]pp.114,124).

Le but de le théoréme suivant est établir et additionner la condition nécessaire et su¢ sante qui assure le convergence des approximations successives.

2.5. UNICITÉ FORTE ET APPROXIMATIONS SUCCESSIVES

Théorème 2.5.1 Soient et b comme le théorème 2.2.1 , sous l ’unicité forte de l’équation di¤érentielle stochastique (1) ,(Xⁿ) converge en moyenne quadratique vers la solution de (1) si et seulment siXⁿ⁺¹ Xⁿ converge vers 0:

Par l’appliquation de l’inégalité de Hölder on a :

Rt

Et d’après Burkholder-Davis-Gundy et l’ inégalite de Hölder on montre l

’estimateur suivant :

E

Et par l’utilusation du condition de la croissance au plus linéaire on a :

E sup telle que les constants C_k depend seulement de T; m; d

si on étire l ’inégalite precédente on a :

E sup de le preuve précedent on a :

2.5. UNICITÉ FORTE ET APPROXIMATIONS SUCCESSIVES

Eh

jX_n(t) X_n(s)j^2Pi

C₆jt sj^{p 1} Zt

s

1 +E sup

v u

X_v^{n 1 2P} du

alors par utilusation du résultat précedente on obtient : Eh

jX_n(t) X_n(s)j^2Pi

C₇jt sj^p telle que C₇ depand dex; p; d; T:

Preuve. (du theorème 2.5.1)

On suppose que Xⁿ⁺¹ Xⁿ converge vers 0 et il existe >0 telle que : infn E max

0 t TjX_tⁿ X_tj² ((2.5))

D’après le lemme 2.5.2 la famille (Xⁿ; Xⁿ⁺¹; X; B) satis…e les conditions i) et ii) de lemme 2.1.2

Alors par le théorème selection de Skorokhod,il existe un espace de probabilité

^;F^;P^ et une suite de processus stochastique X^ⁿ;Z^ⁿ;Y^ⁿ;B^ⁿ dé…nit sur

^;F^;P^ telle que :

i) les lois de (Xⁿ; Xⁿ⁺¹; X; B)et X^ⁿ;Z^ⁿ;Y^ⁿ;B^ⁿ sont coincide 8n 2N. ii) il existe une sous suite fnkgtelle que X^^nk;Z^^nk;Y^^nk;B^^nk converge vers

X;^ Z;^ Y ;^ B^ uniformément sur tout intervale …nie P ; p; s.^

Mais on sais que Xⁿ⁺¹ Xⁿconverge vers 0;alors on peut voir tout sim-plement que :

X^ = ^Z; P ; p; s:^

Par utilusation de meme arguments du preuve de théorème (2.2.1) on peut voir que :

Z^^nk =x+

on prend la limite dek tend vers 1 on obtient : X^_t =x+

D’autre terme X^ et Y^ sont deux solutions de l’equation (1).alors d ’aprés l’unicité forte on a :

X^ = ^Y P ; p; s:^

Si on a l’unicité forte, la sérieP

Xⁿ⁺¹ Xⁿconverge si et seulement siXⁿ⁺¹ Xⁿconverge vers0. comme généralisation de la condition de K.Kawabata[14]

.on suppose le suivant : condition A)

1. il existe deux fonctions mesurables m et telle que :

2.5. UNICITÉ FORTE ET APPROXIMATIONS SUCCESSIVES

j (t; x) (t; y)j²+jb(t; x) b(t; y)j² m(t) jx yj² etm et dans L¹_loc:

1. est une fonction continue ,non décoissent,concave,dé…nit sur R⁺telle que :

Si etbsatisfont la condition A),alors les approximations successives converge en moyenne quadratique vers la solution unique de (1).

Sous la condition A), l’unicité forte est véri…e (voir[22]):

Maintenant il su¢ t que preuver que Xⁿ⁺¹ Xⁿconverge vers 0 en moyenne quadratique.vers 0.

Soit :

'_n(t) =E max

0 s t X_sⁿ⁺¹ X_s^{n 2}

par l’utilusation de l’inégalité de Doob et schwartz on obtient :

'_n+1(t) (8 + 2T)E

puisque est non décroissant, concave alors :

'_n+1(t) (8 + 2T)

Par l’utilisation du lemme dans ([4] page 114-124) voir aussi [14], il est pos-sible de choisir une fonctionu telle que :

1. 8t2[0; T] u(t) '₀(t) 2. u(t) (8 + 2T)

Rt 0

(u(s))m(s)ds

On peut prouver que'_n(s) _n(s) 8n 2N et la suite n est décroissante.

On pose (t) = lim _n(t), cette convergence est uniforme et et satisfait à l’équation :

(t) = (8 + 2T) Zt

0

( (s))m(s)ds;8t2[0; T] la condition A) 2) implique que = 0 alors lim'_n(t) = 0:

Exemples

Quelques exemple de fonctions non lipschtziennes,et satisfont la condition A 2) :

?) (u) = ujlog (u)j ;(0< <1).

??) (u) = ujlog (u)j jlogjlog (u)jj ;(0< <1):

Dé…nissons une autre classe de modules de continutég(t; x) non nécessaire-ment décomposé sous la formel(t):m(x);(voir [21] [8]):

soit l’ensemble de fonctions g : ]0; T] R⁺ !R⁺ satisfaisant à :

i) g est continue,non décroissent,concave,par rapport à la deuxieme variable.

ii) lim

t!0g(t;0) = 0:

iii) siF : [0; T]!R⁺est continue telle queF(0) = 0;et siF (t) Rt

0

g(s; F(s))ds alors F = 0 sur[0; T]:

Théorème 2.5.3 Soient etbdeux fonctions continues satisfaisant la condi-tion de la croissance au plus linéaire (2), aussi on suppose qu’il existe g 2 telle que :

2.5. UNICITÉ FORTE ET APPROXIMATIONS SUCCESSIVES

j (t; x) (t; y)j²+jb(t; x) b(t; y)j² g t;jx yj²

alors l’unicité forte est véri…e et la suite Xⁿconverge vers la solution unique de (1·).

Preuve.

i)L’unicitè forte est conséquence immédiate de la propriété de la fonction g:

Montrons la convergence des approximations successives,d’après théorème 2.5.1 il su¢ t de prouver que :

nlim!1E max

0 s t X_sⁿ⁺¹ X_s^{n 2} = 0 Soit

'_n(t) =E max

0 s t X_sⁿ⁺¹ X_s^{n 2} et

A_T =ft2[0; T] : lim'_n(t) = 0g

CertainementA_T est non vide puisque(02A_T);il reste à établir que A_T est ouvert et fermé dans [0T]:

1) premièr étape : A_T est fermé.

soit 0 < t₁ 2 A_T ; " > 0 et min (t₁; ");pour sa il existe t₀ 2 A_Ttelle que t₁ t₀ .

Certainement AT est un intervale contient 0;(puisque t ! '_n(t) est une fonction décroissante), il su¢ t montrer que :

nlim!1E max

t1 s t1

X_sⁿ⁺¹ X_s^{n 2} = 0:

Par l’inégalité de Doob et la condition de non explosion , il existe n₀ 2 N telle que 8n n₀ :

E max

t1 s t1

X_sⁿ⁺¹ X_s^{n 2} "+ 12 (8 + 2T)K_T (1 +H) telle que

H = sup

n

E sup

t T jX_tⁿj² <1; (voir lemme 2.5.1) ce qui montre que t₁ 2A_T:

2) Deuxiéme étape : A_T est ouvert . Soit t₀ 2A_T;t₀ 6=Tett₀ 6= 0:

On va preuver qu’il existe r > 0 telle que t₀ + r 2 A_T ce qui signi…er 9r >0telle que :

lim'_n(t) = 08 2[0; t₀+r[

Puisque A_T est un intervalle (et t₀ 2A_T) il su¢ t de voir que :

nlim!1E max

t0 s t X_sⁿ⁺¹ X_s^{n 2} = 0

Il est facile de voir que il existe une suite:("_n) de nombres réels positifs décoissante vers0 telle que :

E max

t0 s t X_sⁿ⁺¹ X_s^{n 2} 3"_n+ct:8t T t_0:

telle quec est une constante dépendant seulement de T et x:

Soit :

M = supfg(t; v) : (t; v)2[t₀,T] [0;3"₀+ 2H]g

r= min T t₀; 2H

3 (8 + 2T) sup (c; M) On considère l’équation di¤érentielle ordinaire suivante

( ) u(t) = g₁(t; u(t)) t 2[t₀,t0+r]

u(t₀) = 0

avec g₁(t; u(t)) = 3 (8 + 2T)g(t; u(t)) On dé…nit l’approximation de ( ) par :

8<

:

u₀( ) = 3"₀+ 3 (8 + 2T) sup (c; M) ( t₀) u_n+1( ) = 3"_n+1+R

0

g₁(t; u_n(t))dt

On peut montrer que 8n 2 N; (u_n( )) est une suite positive décroissante, par l’application du théorème de convergence monotone et la continuté de g₁,on obtient :

u( ) = lim

n!1u_n( ) = lim

n!13"_n+ lim

n!1

Z

0

g₁(t; u_{n 1}(t))dt= Z

0

g₁(t; u(t))dt Puisque g₁ 2 ,alors :

u( ) = 0;8 2[t₀; t₀+r]: et soit

n(t) =E max

t0 s t X_sⁿ⁺¹ X_s^{n 2}

On remarque que n(t) est majoreé paru_n(t);8t 2[t₀; t₀+r] alors

nlim!1 n(t) = 0;

ce qui implique que

nlim!1'_n(t) = 0;8t2[t₀; t₀+r]:

Ainsi on arrive à le preuve.

On rappelle la condition donnée par S.Nakao, qui assure l’unicité forte, mais que les approximations successives ne convergent pas.

Soient et b deux fonctions mesurables bornées à valeurs dans R et à variation bornée telle que " pour quelque " >0:

Le problème de la convergence des approximations successives reste ouvert pour une classe importante d’équations di¤érentielles stochastiques.

Quelques applications et propriétés génériques

3.1 Stabilité de les équations stochastiques dirigées par des semi-martingales conti-nues

Dans cette section , on considère une équation di¤érentielle stochastique di-rigée par semi-martingale continue . On établit le résultat de continuté par rapport aux processus directeurs sous la condition d’unicité forte de la so-lution.

Soient

b : [0;1] R^d!R^d : [0;1] R^d!R^{d r} deux fonctions continues et bornées .

On considère l’équation di¤érentielle stochastique : dX_t= (t; X_t)dM_t+b(t; X_t)dA_t

X₀ =x ((3.1))

telle queA_t un est processus adapté continu à variation bornée . M_t est une

martingale locale continue. Par la propiété de l’unicité forte si(X; M; A;( ;F; P);F^t)

3.1. STABILITÉ DE LES ÉQUATIONS STOCHASTIQUES DIRIGÉES PAR DES SEMI-MARTINGALES CONTINUES

et X; M ; A;( ;F; P);F^t deux solutions faibles de (3.1) telle que(M; A) = M ; A P; p; salors X =X P; p; s:

Soit (Mⁿ) une suite de (F^t; P) -martingales locales, (Aⁿ) une suite de pro-cessus continus F^t adaptés à variation bornée.

On considère l’équation suivante :

dX_tⁿ = (t; X_tⁿ)dM_tⁿ+b(t; X_tⁿ)dAⁿ_t

X₀ⁿ =x ((3.2))

On suppose que la suite (A; Aⁿ; M; Mⁿ) satisfait aux conditions suivantes : (H₁) la famille(A; Aⁿ; M; Mⁿ)est bornée en probabilité sur C[0;1]⁴: (H₂)Mⁿ M !ⁿ!1 0en probabilité sur C[0;1]:

(H4)V ar(Aⁿ A)!ⁿ!1 0en probabilité.

Théorème 3.1.1 Si les conditions H₁; H₂; H₃sont satisfaites et l’ unicité forte est véri…ée alors :

8" >0 lim

n!1P sup

0 t 1jX_tⁿ X_tj> " = 0 On a besoin des lemmes suivants donnés dans [9]:

Lemme 3.1.1

Soitff_n(t); f(t); t2[0;1]gune famille de processus continus et soitfc_n(t); c(t); t2[0;1]g une famille de processus continus à variation bornée telle que :

lim_n!1f_n=f en probabilité dansC[0;1]: lim_n!1c_n=cen probabilité dansC[0;1]: alors on à le résultat suivant :

8" >0 lim

n!1P 2 4sup

0 t 1

Zt 0

f_ndc_n Zt

0

f dc > "

3 5= 0

Lemme 3.1.2

On considère la famille de …ltrations (Ftⁿ);(F^t) satisfaisant aux conditions habituelles. Soit ff_n(t); f(t); t 2[0;1]g suite de processus continus adap-tés etfN_n(t); N(t); t2[0;1]g une suite de martingales locale continue par rapport à(Ftⁿ);(F^t) respectivement . On suppose que :

lim_n!1f_n=f en probabilité dans C[0;1]: lim_n!1N_n =N en probabilité dansC[0;1]: Alors :

8" >0 lim

n!1P 2 4sup

0 t 1

Zt 0

f_ndN_n Zt

0

f dN > "

3 5= 0

Preuve. du théorème 3.1.1 :

On suppose que la conclusion de notre théorème et fausse. Alors il existe

" >0 telle que :

infn P [kXⁿ Xk₁> "] "

Il est clair que la familleZⁿ= (Xⁿ; X; Aⁿ; A; Mⁿ; M)est tendue dans C [0;1] ;R^{d 6} alors :

d’aprés théorème limite de Skorokod, il existe un espace de probabilité ;F; P ;et une suite de processus stochastiquesZⁿ= Xⁿ;X~ⁿ; Aⁿ;A~ⁿ; Mⁿ;M~ⁿ dé…nit sur ;F; P véri…ant :

i) loi(Zⁿ) =loi Zⁿ 8n2N:

ii) il existe une sous suite Z^nk de Zⁿ convergeP ; p; sversZ = X;X; A;~ A; M ;~ M ;dans~ C [0;1] ;R^{d 6}:soitGⁿ_t le algèbre complète engendrée parZ_tⁿ(t2[0;1]);on

pose Ftⁿ = \^s<tGⁿ_s d’une manière analogue on va dé…nir la algèbre F^t; t 2[0;1] pour le processus limite Z.

Dans le document Théorèmes Limites et Stabilité des Equations Différentielles Stochastiques (Page 23-46)