Le suivi d’une quasi-énergie lorsqu’un paramètre perturbatif varie continûment permet de mettre à jour un phénomène apparaissant dans des contextes adiabatiques : l’anholonomie de Cheon. Cet anholonomie utilise les quasi-énergies qui sont les valeurs propres de l’opérateur de monodromie. Il permet de changer de quasi-énergies en fin de période sans transition d’état. Une quasi-énergie est une sorte d’énergie du système habillé par les frappes. L’étude reprise ici a été réalisée dans les publications [99] et [68].
Nous devons considérer les états des quasi-énergies car nous ne pouvons pas faire du contrôle adiabatique avec les états d’énergie (à cause des frappes ultra-courtes qui sont des variations rapides). Alors que les états des quasi-énergies ne dépendent que des paramètres de contrôle évoluant lentement (λ, ϕ), nous pouvons donc leur appliquer une approche adiabatique.
3.2.1 L’anholonomie de Cheon
Soit Uλ l’opérateur de monodromie pour une force de frappe λ et Uλ0 l’opérateur de monodromie pour la première force de frappe choisie λ0.
Figure 3.3 – Manifestation de l’anholonomie de Cheon. Le suivi continu d’une quasi-énergie en fonction d’un paramètre variant périodiquement permet de passer sur une autre quasi-énergie au bout d’une période de ce dernier. L’axe horizontal représente le spectre des quasi-énergies périodiques sur R.
Proposition 6. Anholonomie de Cheon
Soit un système caractérisé par l’ensemble des équations données dans la section précédente. Le seul paramètre variant est λ. L’espace des paramètres de contrôle est donc un cercle S1. Ce système pos- sède un ensemble de quasi-énergies {χn(λ)}n=0,....,N que nous supposons non-dégénérées ∀λ avec N le nombre de quasi-énergies par cycle 2π~T (le spectre de quasi-énergies étant cyclique, elles reviennent tous les 2π~T ). Elles sont définies dans un espace de Hilbert pour lequel il faut d’une part, que |wi ne soit pas vecteur propre de Uλ0 et d’autre part, il faut réduire l’espace de Hilbert en excluant les éventuels vecteurs propres de Uλ0 orthogonaux à |wi (l’explication détaillée est donnée en annexe B). L’opérateur de frappe étant un projecteur, il vérifie W = W2. Tout ceci permet d’obtenir la phénomène d’anholonomie de Cheon
χn(λ0+ 2π−) = χn+1(λ0) mod(2π~T−1) (3.17) avec le signe moins signifiant par valeur inférieure. Ainsi lorsque nous suivons continûment χn(λ) après un tour (λ → λ + 2π) χn est devenue χn+1.
⇒ N −1 X n=0 ∆χn= 2~π T (3.18) avec ∆χn= χn(λ0+ 2π−) − χn+1(λ0).
Cette proposition se représente schématiquement pour trois quasi-énergies par la figure 3.3. Lorsque
λ varie de 0 à 2π, la quasi-énergie varie de χn à χn+1. Dans notre exemple, il faut que λ varie de 6π
pour revenir à la quasi-énergie de départ. La mise en place des équations de cette anholonomie est réalisée en annexe B.
L’anholonomie de Cheon permettant de suivre les quasi-énergies et d’en changer au bout d’une période, il est intéressant de déterminer les groupes de quasi-énergies pouvant être adiabatiquement suivis. Si un croisement de quasi-énergies se produit, alors nous ne pouvons suivre que le groupe constitué des quasi-énergies se croisant et non une quasi-énergie seule.
3.2.2 Le spin
Considérons un système constitué d’un spin tel que l’Hamiltonien du système isolé soit H0 = ~w1
2 | ↓ ih↓ | avec un effet Zeeman pour lever le dégénérescence. Le spin est soumis à un opérateur de
frappe dont la direction est
|wi = p 1
|a|2+ |c + id|2 (a| ↑i + (c + id)| ↓i) (3.19)
Le calcul analytique de l’opérateur de monodromie equation 3.3 donne
Uλ(2π) = 1+a2(e−ıλ−1) |a|2+|c+ıd|2 (e −ıλ− 1) a(c−ıd) |a|2+|c+ıd|2e −ıπw1 w0 (e−ıλ− 1)|a|a(c+ıd)2+|c+ıd|2 e −ıπw1 w0 + (e−ıλ− 1) c2+d2 |a|2+|c+ıd|2e −ıπw1 w0 (3.20)
2 Π 4 ΠΛ -12 0 1 2 H Χ mod ÑΩ0LÑΩ1 Èw\=20 w\ + x\ 401 , Ω0=1.6Ω1
Figure 3.4 – Anholonomie de Cheon avec anti-croisements.
2 Π 4 ΠΛ -12 0 1 2 H Χ mod ÑΩ0LÑΩ1 Èw\=Èw\, Ω0=1.6Ω1 2 Π 4 ΠΛ -12 0 1 2 H Χ mod ÑΩ0LÑΩ1 Èw\=20 w\ + x\ 401 , Ω0=1.6Ω1
Figure 3.5 – Le premier graphique montre une anholonomie non-vérifiée lorsque la direction de frappe correspond à celle d’un vecteur propre. Le second graphique met en avant des anti-croisements apparaissant lorsque la direction de frappe est très proche d’un vecteur propre |wi = 20|↑i+|↓i√
401 . L’an-
holonomie est vérifiée.
De manière générale, nous obtenons le graphique 3.4. Nous voyons très clairement qu’au bout d’une période de λ = 2π, nous sommes passés de la quasi-énergie χn à χn+1.
Par contre, nous devons faire attention à un cas particulier. Si l’opérateur de frappe est suivant un état propre, |wi = | ↑i, l’opérateur de monodromie devient
Uλ(2π) =
e−ıλ 0
0 eıπw1w0
!
(3.21)
Nous obtenons donc deux valeurs propres e−ıλ suivant | ↑i et eıπw1w0 suivant | ↓i dont la seconde est indépendantes de λ. Aucun changement de quasi-énergie ne s’effectue au bout d’une période à cause de la valeur propre constante. L’anholonomie de Cheon n’est pas vérifiée comme en atteste le premier graphique de la figure 3.5. Par contre si nous nous plaçons très proche d’un vecteur propre mais sans être dans sa direction, l’anholonomie est vérifiée grâce à l’anti-croisement (voir le second graphique figure de la 3.5).
Pour faire du contrôle adiabatique, le phénomène d’anholonomie peut être utilisé. Par exemple si nous faisons varier lentement la force des frappes λ de 0 à 2π nous passerons de χ0 à χ1 et de χ1 à χ0
Effets du désordre de l’environnement
Dans ce chapitre, nous étudions le modèle de systèmes de spins frappés [8, 13] afin de voir com- ment la perturbation de l’environnement peut entraîner du désordre dans les systèmes de spins. Nous regarderons les phénomènes apparaissant dans deux systèmes : un ensemble de spins non couplés et une chaîne de spins [34]. Nous avons déjà vu dans la partie 1 que le couplage, en particulier le couplage Ising-X, pouvait introduire du désordre. Il est intéressant de voir si la perturbation de l’environnement accentue ce désordre ou permet, sous certaines conditions, de le diminuer. Afin d’étudier ces systèmes, nous allons reprendre les outils utilisés dans la première partie, à savoir la population, la cohérence et la distribution d’Husimi, auxquelles nous rajoutons une analyse de l’entropie. Dans tout ce chapitre nous supposerons que les spins sont initialement dans le même état.