Le GLS a choisi l’activité « Les 99 carrés » pour les deux leçons de recherche du cycle d.
(Danalet et al., 1999c, p. 187)
Les 99 carrés
Tâche Mise en œuvre
• Chercher la somme de nombreux termes égaux. • La calculatrice n' est pas à la disposition des
Les 99 carrés
Pour former cette suite de 3 carrés, il a fallu 10 allumettes.
Combien faut-il d'allumettes pour former une suite de 99 carrés?
• Les élèves comparent leurs solutions et confron-tent leurs démarches.
Prolongement
• L'enseignant propose les énoncés suivants:
"Combien faut-il d'allumettes pour former une suite de 42 7 carrés?"
"Combien faut-il d'allumettes pour former une suite de 736 de ces nouveaux carrés?"
1
·1
Quelques démarches
Concernant la résolution du problème
• Dessiner des carrés et dénombrer les allu-mettes
• Inscrire sous forme de liste:
1 carré __,.._ 4 allumettes, 2 carrés __,.._ 7 allumettes, ...
• Représenter la situation par une opération
• (98 x 3) + 4
• (99 x 3) + 1 Concernant les opérations
• Utiliser un algorithme de multiplication
• Utiliser un tableau de correspondance, par exemple:
3 carrés__,.._ 9 + 1 allumettes 30 carrés __,.._ 90 + 1 allumettes 90 carrés __,.._ 270 + 1 allumettes
Annexe 40 Balises
Annexe 41 Analyse a priori
Connaissances mathématiques en jeu
Dans le livre du maitre de 6H (Danalet et al., 1999c, p. 187), l’activité « Les 99 carrés » se situe dans le Module 4 : « Des problèmes pour connaître la multiplication » et dans le champ B « Apprendre à calculer ». Cette tâche consiste à « chercher la somme de nombreux termes égaux ».
Dans l’énoncé, il y a une suite de 3 carrés formés avec 10 allumettes. L’activité consiste à déterminer le nombre d’allumettes pour former une suite de 99 carrés.
Les connaissances mathématiques travaillées sont : - la résolution de problème
- la reconnaissance et l’établissement de suite numérique
La suite numérique est : pour tout entier n non nul, un = 3n +1. Il s’agit de calculer le 99ème terme de cette suite (u99= 3x99+1=298) pour répondre à l’activité demandée.
Plusieurs représentations de cette suite sont possibles pour répondre à la tâche. Il faut d’abord identifier que n correspond au nombre de carrés et un au nombre d’allumettes.
En notant un = 1 + 3n = 1 + 3 + 3 + ... + 3 (avec n termes 3), on compte 1 allumette à laquelle on ajoute 3 allumettes pour chaque carré supplémentaire.
En notant un = 4 + 3 (n – 1) = 4 + 3 + 3 + ... + 3 (avec n – 1 termes 3), on peut représenter un
comme un carré de 4 allumettes auquel on ajoute 3 allumettes pour chaque carré supplémentaire.
En notant un = 4n – (n – 1), on compte 4 allumettes par carré, puis on soustrait les n – 1 allumettes verticales comptées en double.
En notant un = n + n + (n + 1), on additionne n allumettes horizontales du « haut » du carré, n allumettes horizontales du « bas » du carré et (n + 1) allumettes verticales.
Stratégies
Une première stratégie consiste à réaliser les 99 carrés et compter le nombre d’allumettes utilisées. Une variante de cette stratégie consiste à représenter les 99 carrés plutôt qu’à les réaliser. Ces deux stratégies reposent sur des stratégies de comptage jusqu’à 99 carrés. Elles sont difficilement réalisables car elles sont coûteuses en temps pour la réalisation et le comptage. Pour représenter les 99 carrés en taille réelle, il est nécessaire d’utiliser 17 feuilles A4 disposées les unes à côté des autres horizontalement.
Une deuxième stratégie consiste à réaliser 1 carré et à compter le nombre d’allumettes utilisées, de même avec 2 carrés, 3 carrés, 4 carrés, 5 carrés..., puis à chercher une relation entre le nombre de carrés et le nombre d’allumettes. Une variante de cette stratégie consiste à représenter plutôt qu’à réaliser les carrés. Ces stratégies reposent sur le comptage du nombre d’allumettes pour quelques carrés puis sur une généralisation dans laquelle il faut calculer le 99ème terme de la suite numérique.
Une troisième stratégie consiste à chercher une relation entre le nombre de carrés et le nombre d’allumettes. Cette stratégie s’effectue sans réalisation, sans représentation et sans comptage des allumettes. Il s’agit de la stratégie visée par l’activité. Dans cette stratégie, on peut effectuer un tableau à deux colonnes dans lequel on fait correspondre le nombre de carrés (n) au nombre d’allumettes (un).
Étude des variables didactiques
La première variable didactique est le nombre de carrés. Dans l’activité, la valeur 99 de la variable est choisie pour rendre coûteuses en temps les stratégies de comptage et rendre optimale la troisième stratégie. La valeur 4 de la variable rendrait la première stratégie optimale.
La deuxième variable est le choix du polygone, ici le carré.
Avec une suite de triangles équilatéraux, nous aurions la suite numérique : pour tout entier n, un = 3 + 2 (n – 1) = 2n + 1
Avec une suite de pentagones réguliers, nous aurions la suite numérique : pour tout entier n, un = 4n + 1
Avec une suite de polygones réguliers à p côtés, nous aurions la suite numérique : pour tout entier n, un = (p – 1) n + 1
Le choix du polygone régulier modifie la suite numérique en jeu dans l’activité.
La troisième variable didactique est le matériel utilisé pour former les quadrilatères. Avec des
La quatrième variable didactique est le choix de réaliser des suites composées d’une succession de polygones réguliers.
Si on réalise une suite constituée de la succession d’un carré et d’un triangle équilatéral avec des allumettes toutes de même longueur, nous aurions la suite numérique :
pour tout entier n, 𝑢036 = 𝑢0+ 5 avec 𝑢4 = 4 et 𝑢6 = 6
Si on réalise une suite constituée de la succession d’un pentagone régulier, d’un carré et d’un triangle équilatéral avec des allumettes toutes de même longueur, nous aurions la suite numérique :
pour tout entier n, 𝑢03A = 𝑢0+ 4 + 3 + 2 avec 𝑢4 = 5 , 𝑢6 = 8 et 𝑢A = 10
Si on réalise une suite constituée de la succession d’un polygone régulier à p côtés (pour p entier supérieur ou égal à 5), d’un polygone régulier à (p – 1) côtés..., un polygone régulier à 3 côtés avec des allumettes toutes de même longueur, nous aurions la suite numérique : pour tout entier n, 𝑢03UV6 = 𝑢0+ 𝑝 − 1 + ⋯ + 4 + 3 + 2
avec 𝑢4 = 𝑝 , 𝑢6 = 2𝑝 − 2 , 𝑢A = 3𝑝 − (2 + 3),...
jusque 𝑢UV6 = 𝑝 − 2 𝑝 − (2 + 3 + ⋯ + 𝑝 − 3)
La reconnaissance des suites numériques en jeu devient plus complexe car elles sont définies avec plusieurs termes initiaux et les termes sont définis en fonction de leurs prédécesseurs.
Cette variable complexifie la stratégie 3. Quant aux stratégies une et deux, elles sont réalisables dans la mesure où il faut déterminer un terme de la suite « pas trop grand ».
La cinquième variable didactique est l’agencement des carrés. Ici, les carrés sont disposés côte à côte sur une seule et même ligne.
Si l’agencement consiste à disposer les carrés les uns en dessous des autres, 3 par rangée, nous aurions la suite numérique pour tout entier n, vn = 10 + 7 (n – 1) = 7n + 3 où n correspond à une rangée de 3 carrés et vn le nombre d’allumettes par rangée.
Il faut calculer ici le 33ème terme (v33=234) pour répondre à la tâche.