Na referˆencia [5] Baird e Daniello apresentam uma descri¸c˜ao das estruturas de solitons de Ricci sobre Sol3, m´odulo campos de Killing. Motivados por esse resultado, procuramos obter uma descri¸c˜ao mais clara de tais estruturas, apresentando express˜oes gerais que englobam todos os poss´ıveis exemplos de solitons de Ricci sobre Sol3. Nesse sentido, enunciamos agora o primeiro teorema.
Teorema 4.1 Seja (Sol3, X, λ) um soliton de Ricci, ent˜ao λ = −2 e al´em disso X = ϕ1E1+ ϕ2E2+ ϕ3E3,
com ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ C∞(Sol3) definidas por
ϕ1(x, y, t) = −[(c + 2)x + a]et,
ϕ2(x, y, t) = [(c − 2)y + b]e−t,
ϕ3(x, y, t) = c,
onde a, b e c s˜ao constantes reais.
Demonstra¸c˜ao: Considerando o Exemplo 4.1 e usando a Proposi¸c˜ao 3.6, temos que
λ = −2, (4.14)
ent˜ao a equa¸c˜ao (4.3) nos fornece
E3hX, E3i = 0, (4.15)
da´ı aplicamos E3 na equa¸c˜ao (4.1) para obter
E3E1hX, E1i = 0. (4.16)
Derivando a equa¸c˜ao (4.4) em rela¸c˜ao a E3, chegamos em
E2E3hX, E1i + E2hX, E1i + E1E3hX, E2i − E1hX, E2i = 0, (4.17)
no entanto, aplicando E1 e E2 nas equa¸c˜oes (4.6) e (4.5) respectivamente, temos ainda
E2E3hX, E1i = E2hX, E1i − E1E2hX, E3i
e tamb´em
E1E3hX, E1i = −E1hX, E2i − E1E2hX, E3i.
Substituindo as duas ´ultimas igualdades em (4.17), chegamos em E2hX, E1i − E1hX, E2i = E1E2hX, E3i
e combinando-a com (4.4), segue-se que
por fim, aplicamos E3 em cada membro e usamos a equa¸c˜ao (4.3) para obter
E2E3hX, E1i + E2hX, E1i = 0. (4.18)
Aplicando E1 na igualdade (4.18) e depois usando (4.16), temos
E1E2hX, E1i = 0, (4.19)
ent˜ao derivamos (4.1) com respeito a E2 resultando em
E2E1hX, E1i + E2hX, E3i = 0,
em seguida, comutamos E1 e E2 e usamos (4.19) para deduzir que
E2hX, E3i = 0. (4.20)
Observe que derivando (4.5) na dire¸c˜ao de E2 e usando (4.20), obtemos
E2E3hX, E1i − E2hX, E1i = 0,
da´ı comparando a ´ultima igualdade com (4.18), vamos ter E2hX, E1i = 0,
a qual comparamos com (4.4) que nos fornece E1hX, E2i = 0.
Finalmente, derivamos (4.2) na dire¸c˜ao de E1 para obter a igualdade
E1hX, E3i = 0
e junto com (4.15) e (4.17), temos que hX, E3i ´e constante e escrevemos
hX, E3i = c,
ent˜ao comparamos (4.1) e (4.5), depois (4.2) e (4.6) para concluir que hX, E1i = −[(c + 2)x + a]et e hX, E2i = [(c − 2)y + b]e−t,
Como consequˆencia do Teorema 4.1, temos o Corol´ario 4.1 que tamb´em foi obtido de forma independente por Baird e Danielo em [5], no entanto apresentamos aqui uma prova elementar.
Corol´ario 4.1 Sol3 n˜ao admite estrutura de soliton de Ricci gradiente.
Demonstra¸c˜ao: Suponha por absurdo que existe soliton de Ricci gradiente (Sol3, X, λ) com fun¸c˜ao potencial f ∈ C∞(Sol3), ent˜ao a Proposi¸c˜ao 3.3 e a Proposi¸c˜ao 3 de [36] nos
fornecem
Ric(X, X) = −2hX, E3i2 = 0,
portanto hX, E3i = 0 e junto com a equa¸c˜ao (4.5), temos que hX, E1i = 0 e isso contraria
o Teorema 4.1, finalizando a prova do corol´ario.
O pr´oximo resultado descreve explicitamente todas as estruturas se solitons de Ricci sobre S2
κ× R e H2κ× R.
Teorema 4.2 Seja (M, g, X, λ) um soliton de Ricci com (M, g) = S2
κ × R ou (M, g) =
H2
κ× R, ent˜ao λ = κ e al´em disso
X = ϕ1E1+ ϕ2E2+ ϕ3E3,
com ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ C∞(M ) definidas por
ϕ1(x, y, t) = [3κa(x2− y2) − 2κbxy + 2cy + 3a]ρ,
ϕ2(x, y, t) = [κb(x2− y2) + 6κaxy − 2cx − b ]ρ e
ϕ3(x, y, t) = κt + d,
onde a, b, c e d s˜ao constantes reais.
Demonstra¸c˜ao: Considerando os Exemplos 4.3 e 4.5 e usando a Proposi¸c˜ao 3.6, obtemos λ = κ,
ent˜ao a equa¸c˜ao (4.10) nos d´a
E3hX, E3i = κ
e pelo Lema 4.3, segue-se que
hX, E3i = κt + d,
Agora escrevemos hX, E1i = Fρ e hX, E2i = Gρ, da´ı subtraimos (4.9) de (4.8) para
deduzir a igualdade
∂xF = ∂yG (4.21)
e al´em disso a equa¸c˜ao (4.11) nos d´a
∂yF + ∂xG = 0, (4.22)
combinando as duas igualdades, temos que
∂xx2 F + ∂yy2 F = 0 (4.23)
e tamb´em
∂xx2 G + ∂yy2 G = 0. (4.24)
Novamente usando a equa¸c˜ao (4.8) e (4.9), chegamos em ρ−1∂
xF = ρ−1∂yG = κ(xF + yG), (4.25)
ent˜ao aplicando E1 e usando (4.22), temos que
ρ−1∂2
xxF = κ[F − y∂yF ] ,
da´ı aplicamos E2 em cada membro, depois usamos (4.22) e (4.23) para obter
∂yxx3 F = ∂yyy3 F = 0,
da mesma forma aplicamos E1 em cada membro e usamos (4.21) e (4.23) para obter
∂xxx3 F = ∂xyy3 F = 0, portanto ∂2
xxF , ∂yy2 F , ∂xy2 F s˜ao constantes e F tem express˜ao polinomial.
Observe que (4.25) implica que ∂xF n˜ao possui termo independente, da´ı escrevemos
F = 3κa(x2− y2) − 2κbxy + 2cy + 3e, de modo an´alogo, obtemos
da mesma forma aplicamos E1 em cada membro e usamos (4.21) e (4.23) para obter
∂3
xxxG = ∂xyy3 G = 0,
concluindo que ∂2
xxG, ∂yy2 G e ∂xy2 G s˜ao constantes, da´ı escrevemos
G = κa(x2− y2) + κbxy + cx + e, onde a, a, b, b, c, c, e e e s˜ao constantes reais.
Substituindo as express˜oes acima em (4.21), (4.22) e (4.25), obtemos a = b, b = 6a, c = −2c, e = a e e = −b, da´ı reescrevemos F e G na forma
F = 3κa(x2− y2) − 2κbxy + 2cy + 3a e ainda
G = κb(x2− y2) + 6κaxy − 2cx − b, consequentemente,
hX, E1i = [3κa(x2− y2) − 2κbxy + 2cy + 3a]ρ,
e ainda
hX, E2i = [κb(x2− y2) + 6κaxy − 2cx − b ]ρ.
concluindo a prova.
De modo similar, descrevemos a seguir as poss´ıveis estruturas de solitons de Ricci sobre o espa¸co de Heisenberg.
Teorema 4.3 Seja (N il3, X, λ) um soliton de Ricci, ent˜ao λ = −6τ2 e al´em disso
X = ϕ1E1+ ϕ2E2+ ϕ3E3,
com ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ C∞(M ) definidas por
ϕ1(x, y, t) = −4τ2x + ay + b,
ϕ2(x, y, t) = −ax − 4τ2y + c e
ϕ3(x, y, t) = τ [a(x2+ y2) − 2(cx − by) − 8τt + d ]
Demonstra¸c˜ao: Considerando o Exemplo 4.7 e aplicando a Proposi¸c˜ao 3.6, temos que λ = −6τ2,
ent˜ao usando as equa¸c˜oes (4.8), (4.9) e (4.10), vamos ter E1hX, E1i = E2hX, E2i = −4τ2,
e ainda
E3hX, E3i = −8τ2.
Derivando (4.12) e (4.13) com respeito a E3 e usando a equa¸c˜ao (4.10), obtemos
E3E3hX, E1i = −2τE3hX, E2i (4.26)
e tamb´em
E3E3hX, E2i = 2τE3hX, E1i, (4.27)
da´ı substituimos (4.13) e (4.12) em (4.26) e (4.27) respectivamente, chegando nas identi- dades
E3E3hX, E1i = 2τ(E2hX, E3i − 2τhX, E1i) (4.28)
e ainda
E3E3hX, E2i = −2τ(E1hX, E3i + 2τhX, E2i). (4.29)
Al´em disso, calculando a derivada de (4.8) na dire¸c˜ao de E3 e substituindo (4.28) na
igualdade resultante, vamos ter
E3∂xhX, E1i − 2τ2yE2hX, E3i + 4τ3yhX, E1i = 0,
mais uma vez aplicamos E3 em cada membro, usamos (4.10) e em seguida substitu´ımos
(4.28), obtendo
2τ ∂xE2hX, E3i − 4τ2(∂xhX, E1i − τy∂thX, E1i) = 0,
usamos ainda (4.8), para chegar em
e por fim, usamos a equa¸c˜ao (4.10) na igualdade acima, tornando-a ∂2
xyhX, E3i = 0. (4.31)
Observe que a equa¸c˜ao (4.8) nos d´a
∂xhX, E1i − τy E3hX, E1i = −4τ2
e combinando com (4.12), obtemos
∂xhX, E1i + τy (E1hX, E3i + 2τhX, E2i) = −4τ2,
da´ı aplicamos E3 em cada membro e usamos (4.10) para deduzir que
E3∂xhX, E1i + 2τ2yE3hX, E2i = 0. (4.32)
Derivando (4.12) na dire¸c˜ao de ∂x, temos a igualdade
E3∂xhX, E1i + ∂xE1hX, E3i + 2τ∂xhX, E2i = 0, (4.33)
ent˜ao comparando-a com (4.32), chegamos em
∂xE1hX, E3i = −2τE1hX, E2i
e usando a equa¸c˜ao (4.10), segue-se que
∂xx2 hX, E3i = −2τE1hX, E2i. (4.34)
Por outro lado, observe que (4.9) nos fornece a igualdade ∂yhX, E2i + τx E3hX, E2i = −4τ2,
da´ı combinando-a com a equa¸c˜ao (4.13), vamos ter
∂yhX, E2i − τx (E2hX, E3i − 2τhX, E1i) = −4τ2,
no entanto, aplicando E3 em cada membro e usando (4.10), obtemos ainda
E3∂yhX, E2i + 2τ2xE3hX, E1i = 0. (4.35)
Calculando a derivada de (4.13) com respeito a ∂y, chegamos na igualdade
a qual comparamos com (4.35), resultando em
∂yE2hX, E3i = 2τE2hX, E1i,
usamos ainda (4.10) para obter
∂yy2 hX, E3i = 2τE2hX, E1i (4.36)
e portanto, segue de (4.11), (4.34) e (4.36) que
∂xx2 hX, E3i = ∂yy2 hX, E3i. (4.37)
Agora combinando a ´ultima igualdade com (4.10) e (4.31), podemos afirmar que ∂2
xxhX, E3i e ∂yy2 hX, E3i s˜ao constantes, ent˜ao escrevemos
∂xx2 hX, E3i = ∂yy2 hX, E3i = 2τa, (4.38)
onde a ´e uma constante real. Nessas condi¸c˜oes, aplicamos E3 em (4.36) para obter
∂yE3hX, E1i + τxE3E3hX, E1i = 0, (4.39)
no entanto, derivando (4.8) em rela¸c˜ao a ∂y, temos ainda
∂xy2 hX, E1i − τE3hX, E1i − τy∂yE3hX, E1i = 0,
e substituindo (4.39) na igualdade acima, chegamos em
∂xy2 hX, E1i = τ(E3hX, E1i − τxyE3E3hX, E1i). (4.40)
De modo an´alogo, aplicando ∂x em cada membro da igualdade (4.36) e usando (4.38),
temos que
∂xy2 hX, E1i + τE3hX, E1i + τxE3∂xhX, E1i = 0,
mas observe que (4.8) nos d´a
E3∂xhX, E1i = τyE3E3hX, E1i,
logo a igualdade anterior torna-se
Comparando a ´ultima igualdade com (4.40), chegamos em
E3hX, E1i = 0 (4.41)
da´ı substitu´ımos em (4.8) e usamos o ´ıtem anterior, obtendo ∂xhX, E1i = −4τ2,
tamb´em substituindo (4.38) e (4.41) em (4.36), vamos ter ∂yhX, E1i = a,
logo podemos escrever
hX, E1i = −4τ2x + ay + b (4.42)
onde b ´e uma constante real.
Substituindo (4.41) em (4.26), temos a igualdade
E3hX, E2i = 0, (4.43)
a qual substitu´ıda em (4.34) juntamente com (4.38), resulta em ∂xhX, E2i = −a,
tamb´em substituindo a mesma igualdade em (4.9), segue-se que ∂yhX, E2i = −4τ2,
donde chegamos na express˜ao
hX, E2i = −ax − 4τ2y + c, (4.44)
onde c ´e uma constante real.
Finalmente, substitu´ımos (4.10) e as igualdades (4.42) e (4.44) nas equa¸c˜oes (4.12) e (4.13), obtendo
e tamb´em
∂yhX, E3i = 2τ(ay + b). (4.46)
portanto, segue de (4.10), (4.45) e (4.46) que
hX, E3i = τ[a(x2 + y2) − 2(cx − by) − 8τt + d ],
concluindo assim a prova.
O pr´oximo teorema foi obtido por Baird e Danielo em [5] e encerra a descri¸c˜ao dos solitons de Ricci homogˆeneos com grupo de isometria de dimens˜ao quatro, implicando que as ´unicas estruturas existentes foram todas descritas nos teoremas apresentados an- teriormente.
Teorema 4.4(Baird e Daniello [5]) ]P Sl2 n˜ao admite estrutura de soliton de Ricci.
O corol´ario a seguir determina quais variedades homogˆeneas simplesmente conexas de dimens˜ao trˆes admitem estrutura de soliton de Ricci gradiente e descreve tais estruturas. Corol´ario 4.2 Seja (M3, g, X, λ) um soliton de Ricci gradiente n˜ao-trivial e n˜ao-flat,
homogˆeneo e de dimens˜ao trˆes, ent˜ao (M3, g) = S2
κ× R ou (M3, g) = H2κ× R, λ = κ e a
fun¸c˜ao potencial ´e dada por
f (x, y, t) = 1 2κt
2+ at + b,
onde a e b s˜ao constantes reais.
Demonstra¸c˜ao: Sabendo que o referido soliton ´e n˜ao-trivial e n˜ao-flat, ent˜ao (M3, g)
n˜ao pode ser nenhuma das formas espaciais e usando o Corol´ario 4.1, garantimos que (M3, g) n˜ao pode ser Sol3. Observe ainda que (M3, g) n˜ao pode ser S3
κ,τ, pois as esferas
de Berger s˜ao compactas e n˜ao pode ser ]P Sl2, devido ao Teorema 4.4.
Agora supondo por absurdo que existe uma estrutura (N il3, X, λ) de soliton de Ricci
gradiente com fun¸c˜ao potencial f ∈ C∞(N il
3) e usando a equa¸c˜ao (4.10), obtemos
E3E3hX, E1i = E3E3E1(f ) = E1E3E3(f ) = E1E3hX, E3i = 0,
no entanto, aplicando E3 em (4.12) e usando a ´ultima igualdade, chegamos em
da´ı usando (4.13), temos ainda
hX, E1i = 0,
contrariando o Teorema 4.3 e portanto (M3, g) n˜ao pode ser N il 3.
Podemos afirmar que (M3, g) = S2
κ× R ou H2κ × R, ent˜ao o Teorema 4.2 nos fornece
λ = κ, enquanto a Proposi¸c˜ao 3.2 e a Proposi¸c˜ao 3 de [36] implicam na igualdade Ric(X, X) = κ(hX, E1i2+ hX, E2i2) = 0,
consequentemente,
hX, E1i = hX, E2i = 0
ent˜ao segue das equa¸c˜oes (4.10), (4.12) e (4.13) que hX, E3i = κt + a, portanto
f (x, y, t) = 1 2κt
2+ at + b,
onde a e b s˜ao constantes reais.
O corol´ario a seguir ´e uma consequˆencia imediata do Corol´ario 4.2 e al´em disso a hip´otese ”n˜ao-flat”n˜ao pode ser retirada, pois ter´ıamos um contra-exemplo com os solitons Gaussianos.
Corol´ario 4.3 Seja (M3, g, X, λ) um soliton de Ricci gradiente n˜ao-flat, expansivo, ho-
mogˆeneo e de dimens˜ao trˆes, ent˜ao (M3, g) = H2 κ× R.
O pr´oximo corol´ario decorre dos Teoremas 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4, novamente a hip´otese ”n˜ao-flat”n˜ao pode ser retirada, pela mesma raz˜ao alegada anteriormente.
Corol´ario 4.4 Seja (M3, g, X, λ) um soliton de Ricci contr´atil n˜ao-flat, homogˆeneo e de
dimens˜ao trˆes, ent˜ao (M3, g) = S2 κ× R.
Mais uma consequˆencia do Corol´ario 4.2 ´e apresentada no Corol´ario 4.5 que j´a era esperado devido aos resultados obtidos por Petersen e Wylie [35] sobre solitons r´ıgidos e por Lauret [27] sobre nilsolitons.
Corol´ario 4.5 Seja (N il3, X, λ) um soliton de Ricci, ent˜ao o referido soliton n˜ao pode
Usando a Proposi¸c˜ao 3.6 junto com os Teoremas 4.1, 4.2 e 4.3, obtemos express˜oes que descrevem explicitamente todos os campos de Killing sobre Sol3, S2
κ × R, H2κ × R e
N il3. Mais precisamente, temos os corol´arios a seguir.
Corol´ario 4.6 Seja K um campo de Killing sobre Sol3, ent˜ao K = ϕ1E1+ ϕ2E2+ ϕ3E3
com ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ C∞(Sol3) definidas por
ϕ1(x, y, t) = −(cx + a)et,
ϕ2(x, y, t) = (cy + b)e−t,
ϕ3(x, y, t) = c,
onde a, b e c s˜ao constantes reais.
Corol´ario 4.7 Seja (M3, g) = S2
κ × R ou (M3, g) = H2κ × R e K um campo de Killing
sobre (M3, g), ent˜ao
K = ϕ1E1+ ϕ2E2+ ϕ3E3
com ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ C∞(M ), definidas por
ϕ1(x, y, t) = [3κa(x2− y2) − 2κbxy + 2cy + 3a]ρ,
ϕ2(x, y, t) = [κb(x2− y2) + 6κaxy − 2cx − b ]ρ e
ϕ3(x, y, t) = d,
onde a, b, c e d s˜ao constantes reais.
Corol´ario 4.8 Seja K um campo de Killing sobre N il3, ent˜ao
K = ϕ1E1+ ϕ2E2+ ϕ3E3,
onde as fun¸c˜oes ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ C∞(N il3) s˜ao definidas por
ϕ1(x, y, t) = ay + b,
ϕ2(x, y, t) = −ax + c e
ϕ3(x, y, t) = τ [a(x2+ y2) − 2(cx − by) + d ]
59
5 VARIEDADES QUASI-EINSTEIN HOMOGˆENEAS DE DIMENS ˜AO 3
Neste cap´ıtulo vamos apresentar os resultados obtidos em parceria com Barros e Ri- beiro Jr em [7] para m´etricas m-quasi-Einstein gradientes com m finito e em variedades homogˆeneas de dimens˜ao trˆes, bem como resultados obtidos posteriormente. Na primeira se¸c˜ao apresentamos os lemas-chave do cap´ıtulo e exemplos que obtivemos ao longo do tra- balho, entre eles um contra-exemplo que mostra n˜ao ser poss´ıvel estender para m´etricas quasi-Einstein um famoso teorema de Perelman, v´alido para solitons de Ricci compac- tos. Na segunda se¸c˜ao, trazemos os resultados principais que nos permitem concluir que as ´unicas variedades homogˆeneas de dimens˜ao trˆes que admitem estrutura n˜ao-trivial de m´etricas quasi-Einstein gradiente s˜ao H3 e H2
κ× R.
5.1 Exemplos e Lemas-chave
Iniciamos essa se¸c˜ao, relembrando a defini¸c˜ao de m´etrica quasi-Einstein e na sequˆencia, apresentamos alguns exemplos que obtivemos de variedades quasi-Einstein homogˆeneas de dimens˜ao trˆes que constru´ımos. Na sequˆencia da se¸c˜ao, encerramos apresentando os lemas que ser˜ao utilizados ao longo do cap´ıtulo.
Defini¸c˜ao 5.1 Uma m´etrica g sobre uma variedade diferenci´avel Mn ´e chamada de m-
quasi Einstein, quando existem um campo de vetores X e uma constante λ ∈ R, satisfa- zendo Ric +1 2LXg − 1 mX ♭ ⊗ X♭= λg e al´em disso, (Mn, g) ser´a dita uma variedade m-quasi-Einstein.
A seguir trazemos uma fam´ılia de exemplos sobre variedades homogˆeneas de dimens˜ao trˆes com grupo de isometria de dimens˜ao quatro, n˜ao incluindo apenas S2
κ× R.
Exemplo 5.1 Sejam E3(κ, τ ) uma variedade homogˆenea de dimens˜ao trˆes, simplesmente
conexa com grupo de isometria de dimens˜ao quatro, satisfazendo a desigualdade κ < 4τ2
e X ∈ X(E3(κ, τ )) o campo de vetores, definido por
X = ±pm(4τ2− κ)E 3,
onde E3 ´e o campo de Killing vertical tangente as fibras. Nessas condi¸c˜oes, podemos
De fato, observe que X ´e um campo de Killing, ent˜ao LXg = 0 e portanto Ric +1 2LXg − 1 mX ♭ ⊗ X♭ = Ric − 1 mX ♭ ⊗ X♭ = Ric + (κ − 4τ2)E3♭⊗ E3♭, finalmente usamos a Proposi¸c˜ao 3.2 para concluir que
Ric +1 2LXg − 1 mX ♭ ⊗ X♭= (κ − 2τ2)g, conforme quer´ıamos verificar.
Agora vamos detalhar melhor o exemplo acima, observando o que acontece em cada variedade E3(κ, τ ) e analisando a natureza do exemplo em cada caso. Diante disso, apre-
sentamos os quatro exemplos a seguir: Exemplo 5.2 Sejam E3(κ, τ ) = H2
κ × R e X ∈ X(H2κ× R) o campo de vetores, definido
por
X = ±√−mκE3,
ent˜ao (H2
κ× R, X, λ = κ) ´e uma variedade quasi-Einstein expansiva gradiente com fun¸c˜ao
potencial, dada por f (x, y, t) = ±√−mκ t.
Observa¸c˜ao 5.1 O exemplo acima foi descrito de forma mais geral sobre Hn × R por
Bezerra e Ribeiro Jr em [10].
Os dois pr´oximos exemplos n˜ao s˜ao gradientes e encerram a lista dos representantes n˜ao-compactos da fam´ılia que estamos descrevendo. O fato desses exemplos n˜ao serem gradientes ´e uma consequˆencia direta do Teorema 5.2, mas tamb´em ´e consequˆencia do fato de E3 n˜ao ser um campo gradiente e isso pode ser verificado diretamente.
Exemplo 5.3 Sejam E3(κ, τ ) = N il
3 e X ∈ X(Nil3) o campo de vetores, definido por
X = ±2τ√mE3,
ent˜ao (N il3, X, λ = −2τ2) ´e uma variedade m-quasi-Einstein expansiva n˜ao-gradiente.
Exemplo 5.4 Sejam E3(κ, τ ) = ]P Sl
2 e X ∈ X(P Sl]2) o campo de vetores, definido por
X = ±pm(4τ2− κ)E 3,
Um resultado bem conhecido no estudo de solitons de Ricci, conjecturado e provado por Perelman em [33], afirma que todo soliton de Ricci compacto ´e do tipo gradiente, no entanto o pr´oximo exemplo mostra que esse resultado n˜ao pode ser estendido para m´etricas quasi-Einstein. De fato, apresentamos a seguir estruturas de m´etricas quasi- Einstein n˜ao-gradientes nas esferas de Berger que s˜ao variedades compactas.
Exemplo 5.5 Sejam E3(κ, τ ) = S3
κ,τ com κ < 4τ2 e X ∈ X(S3κ,τ) o campo de vetores,
definido por
X = ±pm(4τ2− κ)E 3,
ent˜ao (S3
κ,τ, X, λ = κ−2τ2) ´e uma variedade m-quasi-Einstein n˜ao-gradiente. Dependendo
dos valores assumidos por κ e τ , podemos obter estruturas expansiva, est´avel ou contr´atil.
Partimos para a apresenta¸c˜ao dos lemas principais do cap´ıtulo e iniciamos com um lema de E.D.O. que ser´a muito importante na prova dos Teoremas 5.2 e 5.3.
Lema 5.1 Seja ϕ : R → R uma fun¸c˜ao deriv´avel, tal que mϕ′ ≡ ϕ2− r
para constantes m ∈ Z∗ e r ∈ R, ent˜ao r ≥ 0. Al´em disso ϕ ´e uma fun¸c˜ao constante,
dada por ϕ ≡ ±√r ou ϕ ´e n˜ao-constante, dada por ϕ(t) = −√r tanh√r t + c
m
(c constante).
Demonstra¸c˜ao: Inicialmente, observe que se a fun¸c˜ao ϕ satisfaz uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria separ´avel de primeira ordem, ent˜ao supondo por absurdo que r < 0, obtemos
ϕ(t) = √−r tan √−rt + c m
(c constante),
mas com ϕ ´e deriv´avel, chegamos a um absurdo. Observe que no caso r ≥ 0, temos ϕ dada por ϕ(t) = m c − t (c constante), para r = 0 e por ϕ(t) = −√r coth√r t + c m (c constante), ou ainda ϕ(t) = −√r tanh√r t + c m (c constante),
para r > 0 e temos ainda ϕ ≡ ±√r para r ≥ 0, por fim usamos o fato de ϕ ser uma
Lema 5.2 Suponha que (Sol3, ∇f, λ) ´e uma variedade m-quasi-Einstein gradiente, ent˜ao as seguintes equa¸c˜oes s˜ao satisfeitas
E1E1(f ) + E3(f ) = 1 mE1(f ) 2+ λ (5.1) E2E2(f ) − E3(f ) = 1 mE2(f ) 2+ λ (5.2) E3E3(f ) = 1 mE3(f ) 2+ λ + 2, (5.3) E1E2(f ) = E2E1(f ) = 1 mE1(f )E2(f ), (5.4) E1E3(f ) − E1(f ) = E3E1(f ) = 1 mE1(f )E3(f ), (5.5) E1E3(f ) + E2(f ) = E3E2(f ) = 1 mE2(f )E3(f ), (5.6)
onde os campos de vetores E1, E2 e E3 s˜ao tais como na Subse¸c˜ao 3.1.1.
Demonstra¸c˜ao: As equa¸c˜oes enunciadas acima s˜ao obtidas da igualdade Ric (Ei, Ej) + Hessf (Ei, Ej) −
1
mdf (Ei) ⊗ df(Ej) = λhEi, Eji, (i, j = 1, 2 e 3) a qual pode ser reescrita na forma
Hessf (Ei, Ej) =
1
mEi(f )Ej(f ) + λ δij − Ric (Ei, Ej), ent˜ao usando a defini¸c˜ao de hessiano e as propriedades da conex˜ao, temos
EiEj(f ) + EjEi(f ) −(∇EiEj+ ∇EjEi)(f ) = 1
mEi(f )Ej(f ) + λ δij−Ric (Ei, Ej). (5.7) Observe que para i = j, obtemos a igualdade
EiEi(f ) − (∇EiEi)(f ) = 1 mEi(f )
2
+ λ − Ric (Ei, Ei),
da´ı fazendo i = 1, 2 e 3, usando a Proposi¸c˜ao 3.1 e as conex˜oes apresentadas na Se¸c˜ao 3.1.1, obtemos (5.1), (5.2) e (5.3). Para o caso i 6= j, a igualdade (5.7) torna-se
EiEj(f ) + EjEi(f ) − (∇EiEj + ∇EjEi)(f ) = 1
mEi(f )Ej(f ),
finalmente, fazendo i, j = 1, 2 e 3 e repetindo o procedimento anterior, chegamos nas
Lema 5.3 Seja (E3(κ, τ ), X, λ) um variedade m-quasi-Einstein n˜ao-compacta homogˆenea,
simplesmente conexa e com grupo de isometria de dimens˜ao quatro, ent˜ao s˜ao satisfeitas as equa¸c˜oes E1E1(f ) − κyE2(f ) = 1 mE1(f ) 2 + λ − (κ − 2τ2), (5.8) E2E2(f ) − κxE1(f ) = 1 mE2(f ) 2 + λ − (κ − 2τ2), (5.9) E3E3(f ) = 1 mE3(f ) 2 + λ − 2τ2, (5.10) E1E2(f ) + κyE1(f ) − τE3(f ) = 1 mE1(f )E2(f ), (5.11) E1E3(f ) + τ E2(f ) = 1 mE1(f )E3(f ), (5.12) E2E3(f ) − τE1(f ) = 1 mE2(f )E3(f ), (5.13)
onde os campos de vetores E1, E2 e E3 s˜ao tais como na Se¸c˜ao 3.1.2.
Demonstra¸c˜ao: Completamente an´aloga `a do Lema 5.2.