Crit`ere de s´eparation des exposants de Lyapounov

Nous allons maintenant donner un crit`ere de s´eparation des exposants de Lyapounov, fond´e sur les propri´et´es de Lp-irr´eductibilit´e forte et de p-contractivit´e du sous-groupe

de F¨urstenberg associ´e `a une suite de matrices al´eatoires symplectiques. Ce r´esultat est le point le plus important de ce chapitre.

2.3 CHAPITRE 2

D´efinition 2.3.6. On dit que les exposants de Lyapounov sont s´epar´es lorsqu’ils sont distincts :

γ1 > γ2 > . . . > γ2N

On peut alors ´enoncer le th´eor`eme nous donnant le principal crit`ere de s´eparation des exposants de Lyapounov.

Th´eor`eme 2.3.7. Soit (Aω

n)n_∈Z une suite i.i.d. de matrices al´eatoires symplectiques

d’ordre 2N et soit p un entier dans _{{1, . . . , N}. Soit µ la distribution commune des A}ω n

comme d´efinie `a la section 2.2.1. On suppose que le sous-groupe de F¨urstenberg Gµ as-

soci´e `a la suite (Aω

n)n_∈Z est p-contractant et Lp-fortement irr´eductible et que l’esp´erance

E(log ||Aω

0||) est finie. On a alors :

(i) γp > γp+1

(ii) Pour tout ´el´ement non nul x de Lp :

lim n_→∞ 1 nlog|| ∧ p (Aωn₋₁. . . A ω 0)x|| = p X i=1 γi

(iii) Il existe une unique mesure de probabilit´e νp sur P(Lp), µ-invariante, telle que :

γ1 + . . . + γp = Z Sp_N(R)×P(Lp) log ||(∧ p_g)x|| ||x|| dµ(g) dνp(¯x)

D´emonstration. On se r´ef`ere `a [BL85], proposition 3.4, page 89. Pour la d´efinition d’une mesure invariante, voir la d´efinition 6.1.5.

Ce r´esultat va surtout nous int´eresser sous la forme du corollaire suivant : Corollaire 2.3.8. Soit (Aω

n)n∈Z une suite i.i.d. de matrices al´eatoires symplectiques

d’ordre 2N . Soit µ la distribution commune des Aω

n comme d´efinie `a la section 2.2.1.

On suppose que le sous-groupe de F¨urstenberg Gµ associ´e `a la suite (Aωn)n_∈Z est p-

contractant et Lp-fortement irr´eductible pour tout p ∈ {1, . . . , N} et que l’esp´erance

E(log ||Aω

0||) est finie.

Alors, les exposants de Lyapounov associ´es `a la suite (Aω

n)n_∈Z sont s´epar´es, en par-

ticulier :

γ1 > γ2 > . . . > γN > 0

D´emonstration. Le fait que γ1 > γ2 > . . . > γN est l’application r´ep´et´ee du point

(i) du th´eor`eme 2.3.7 ci-dessus, pour chaque p dans _{{1, . . . , N − 1}. Alors, γ}N est

strictement positif car d’apr`es la proposition 2.3.5, γN =−γN+1 et d’apr`es le th´eor`eme

2.3.7, γN > γN+1 et donc on ne peut pas avoir γN = γN+1 = 0.

Nous constatons donc que le lien est fait entre d’une part une propri´et´e dyna- mique associ´ee `a une suite i.i.d. de matrices al´eatoires symplectiques, en l’occurrence la s´eparation de ses exposants de Lyapounov, et des propri´et´es plus g´eom´etriques d’un

objet alg´ebrique associ´e `a cette suite, le sous-groupe de F¨urstenberg. Cela constitue un crit`ere tr`es puissant en pratique, puisqu’il permet de ne pas avoir `a ´etudier directement des limites de produits matriciels, mais plus simplement de se ramener `a des produits finis de telles matrices dans le sous-groupe de F¨urstenberg.

Nous pouvons aussi pr´eciser que le th´eor`eme 2.3.7 a son analogue pour N = 1. C’est le th´eor`eme de F¨urstenberg (voir [Fur63] ou encore [BL85], th´eor`eme 4.4, page 32) qui assure la stricte positivit´e de l’exposant de Lyapounov dominant associ´e `a la suite i.i.d. de matrices al´eatoires dans SL2(R) = Sp1(R). Dans ce cas, la 1-contractivit´e est rem-

plac´ee par la non compacit´e du sous-groupe de F¨urstenberg et la L1-forte irr´eductibilit´e

co¨ıncide avec la notion d’irr´eductibilit´e forte dans GL2(R). Ce th´eor`eme de F¨urstenberg

est suffisant pour traiter le mod`ele ´etudi´e dans [DSS02b].

Nous donnons un dernier r´esultat dans cette section qui d´ecoule du corollaire 2.3.8. Proposition 2.3.9. Si Gµ contient un ouvert de SpN(R), alors les exposants de Lya-

pounov sont s´epar´es.

D´emonstration. On suit la preuve de la proposition 3.5 page 91 dans [BL85]. Il suffit de v´erifier les hypoth`eses du corollaire 2.3.8. Nous devons prouver que pour tout p dans {1, . . . , N}, Gµ est Lp-fortement irr´eductible et p-contractant. On fixe p dans

{1, . . . , N}.

On commence par prouver que Gµ est Lp-fortement irr´eductible. Par hypoth`ese Gµ

contient un ouvert de SpN(R). Or, SpN(R) ´etant connexe, il vient Gµ= SpN(R). Dans

ce cas, nous pouvons appliquer l’exercice 2.9 page 87 dans [BL85]. Nous devons donc montrer qu’il n’y a pas de sous-espace strict V de Lp tel que (∧pM )(V )⊂ V pour tout

M dans SpN(R).

Supposons par l’absurde qu’il existe un tel V . On ´ecrit M = KAU avec K, A et U comme au point (iii) de la proposition 2.1.2. Alors si (e1, . . . , e2N) est la base canonique

de R2N_{, on a :}

(_∧p_A)(e

1∧ . . . ∧ ep) = a1. . . ape1∧ . . . ∧ ep

Et donc (_∧p_{A)(V )}

⊂ V . Mais si e1∧ . . . ∧ ep est dans V , alors M e1∧ . . . ∧ Mep est dans

V et donc V = Lp. Ainsi V n’est pas un sous-espace strict de Lp. Donc e1∧ . . . ∧ ep est

dans W , l’orthogonal de V dans Lp. Alors, si w ∈ W et v ∈ V :

(_∧p_{M w, v) = (w,}

∧p_{M∗v) = 0}

pour tout M dans SpN(R) (car tM est aussi dans SpN(R)). Ainsi, M e1 ∧ . . . ∧ Mep

est dans W pour tout M et donc W = Lp. Cela contredit encore le fait que V est un

sous-espace strict de Lp. Et donc Gµ est bien Lp-fortement irr´eductible.

Pour la preuve de la p-contractivit´e, on renvoie `a [BL85], page 91, proposition 3.5. Remarque 2.3.10. On a seulement prouv´e la Lp-irr´eductibilit´e forte puisqu’en fait,

ce que l’on vient de prouver est que le groupe symplectique SpN(R) est lui-mˆeme Lp-

fortement irr´eductible. Et c’est tout ce dont nous aurons besoin dans la suite pour justifier l’application de la th´eorie de Gol’dsheid et Margulis au chapitre 3.

2.3 CHAPITRE 2

Nous terminons cette section sur les crit`eres de s´eparation d’exposants de Lyapou- nov par une remarque quant `a l’int´erˆet de prouver qu’un exposant de Lyapounov est strictement positif. Lorsqu’un exposant de Lyapounov γi est strictement positif, le com-

portement asymptotique de la suite (||(Aω

n₋₁. . . Aω0)w||) pour w dans l’espace associ´e `a

γi par le th´eor`eme d’Oseledets (voir [Ose68]) est de type exponentiel. Si γi est nul, on ne

peut rien dire sur le comportement asymptotique de cette mˆeme suite de normes, si ce n’est qu’il n’est pas exponentiel. D’ailleurs, pour pouvoir utiliser le th´eor`eme d’Osele- dets, qui d´ecrit la dynamique associ´ee `a la suite des produits (Aω

n−1. . . Aω0), on a besoin

d’avoir des exposants de Lyapounov distincts, ce qui donne une premi`ere justification `a cette recherche de s´eparation des exposants de Lyapounov

Nous allons maintenant voir un autre int´erˆet `a prouver que des exposants de Lya- pounov sont non nuls. En effet dans la prochaine section nous allons voir dans quelle mesure on peut associer `a un op´erateur des exposants de Lyapounov et comment ceux-ci caract´erisent le spectre absolument continu de l’op´erateur en question.