CRITÈRES DE SÉLECTION D’UNE DENSITÉ 53

En conclusion, on a vu que les approches combinant les modèles moléculaire et phé-noménologique, telle que décrite par l’équation (1.94), présentaient généralement des difficultés de prédiction pour les essais multiaxiaux comme la traction équibiaxiale [15, 22, 23, 49, 64, 93, 138]. Pour améliorer cette situation, Kroon [90] a récemment pro-posé l’ajout d’une densité supplémentaire W_na représentant l’énergie liée à la contrainte des chaînes ayant des déformations non-affines :

W= Wph+ Wc+ Wna (1.127)

Le chapitre suivant est consacré au développement d’un nouveau modèle hyperélastique isotrope élaboré sur la base de l’équation (1.127). La densité Wna proposée combinera une formulation Gaussienne avec une expression intégrale. Il s’agit d’une contribution originale. Le modèle obtenu sera validé à partir des cinq critères proposés dans le para-graphe 1.4 de ce chapitre ainsi qu’avec des confrontations avec des mesures expérimen-tales.

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CONSTRUCTION DU MODÈLE HYBRIDE

Ce chapitre focalise sur la construction d’une nouvelle densité d’énergie de déformation isotrope et incompressible qui combinera de manière hybride plusieurs contributions afin de tirer le meilleur partie des différentes approches disponibles dans la littérature. Les modèles hyperélastiques sont généralement déterminés à partir de la statistique des chaînes macromoléculaires ou bien alors de manière phénoménologique. Les modèles fondés sur l’approche moléculaire apportent des explications sur les phénomènes entrant en jeu lors de la déformation du réseau de chaînes macromoléculaires. Ces modèles sont basés sur la mécanique statistique Gaussienne (énergie de déformation de neo-Hooke déduite de la loi de probabilité Gaussienne [78, 79, 80, 161]) ou alors sur des approches non-Gaussienne permettant d’expliquer le phénomène de raidissement final et de limite d’extensibilité des chaînes macromoléculaires [5, 38, 63, 90, 91, 106, 144, 156].

Dans le cadre des approches non-Gaussienne, l’énergie de déformation des chaînes ma-cromoléculaires est déduite de la loi de probabilité de Langevin [91]. Flory et Erman [48], Ball et al. [6], Van Der Waals [84] et Heinrich et al. [65] ont pour leur part développé des énergies de déformations en prenant en considération les contraintes d’entrelacements des chaînes macromoléculaires du matériau. Ainsi l’énergie de déformation peut s’écrire en deux partie [49] :

• la partie liée au raidissement final des chaînes macromoléculaires encore appelée "phantom part" en anglais ;

• la partie liée aux contraintes d’entrelacements des chaînes de macromolécules. Récemment, pour compléter la forme de l’énergie proposée par Flory et Erman, Kroon [90] a stipulé l’existence d’une disparité de degré d’étirement des chaînes

laires. Il définit ainsi une troisième partie de l’énergie de déformation, liée aux contraintes des chaînes ayant des étirements différents à celles soumises au raidissement final. De manière concomitante, des modèles phénoménologiques ont été développés sur la base de l’observation du comportement macroscopique [1, 3, 11, 13, 15, 20, 29, 55, 83, 92, 114, 117, 130, 165, 167].

Dans ce contexte, nous proposons un nouveau modèle de déformation des matériaux caoutchouteux en tirant partie à la fois de l’approche moléculaire et de l’approche phéno-ménologique. Ce modèle original se base sur le modèle 8-chaînes d’Arruda et Boyce [5] pour modéliser le raidissement final et associe :

• l’énergie de la contrainte des chaînes ayant un étirement non-affine modélisée par une fonction de forme Gaussienne avec une formulation intégrale ;

• l’énergie de la contrainte d’entrelacement des chaînes modélisée par une fonction logarithmique.

Ce nouveau modèle original peut être considéré comme hybride puisqu’il relève des deux approches (moléculaire et phénoménologique). Il comporte six paramètres rhéologiques. Ces paramètres sont identifiés à partir d’un calcul de minimisation entre des résultats théoriques issus de la loi de comportement et des données expérimentales.

Ce chapitre est structuré en trois sections.

Dans la section 2.1, nous discutons du choix entre l’énergie des contraintes d’entrelace-ments de Gent et Thomas [55] (énergie phénoménologique) et celle proposée par Flory et Erman [49] (énergie moléculaire).

La section 2.2 est consacrée à la mise au point d’un modèle hyperélastique isotrope ori-ginal constitué par la superposition de trois densités d’énergie. La première est la densité d’énergie phénoménologique de Gent et Thomas présentée dans la section 2.1 précé-dente. La deuxième densité d’énergie est le modèle moléculaire 8-chaînes proposé par Arruda-Boyce [5] qui permet de représenter les contraintes de raidissement final des chaînes moléculaires avec une disposition des chaînes allant du centre d’un cube vers les 8 sommets de ce cube. Ce modèle 8-chaînes incluant dans sa formulation l’inverse de la fonction de Langevin, le paragraphe 2.2.2 est consacré à l’introduction d’une nouvelle approximation de cette fonction, ce qui a fait l’objet d’une publication dans une revue inter-nationale [113]. La troisième densité d’énergie est phénoménologique en ce sens qu’elle

2.1. CHOIX DE L’ÉNERGIE D’ENTRELACEMENT. 57

a été établie sur la base de l’observation de courbes expérimentales macroscopiques. Elle a été conçue pour corriger le résidu résultant de l’utilisation des deux précédentes densités dans un cas de traction-compression uniaxiale [166]. On montre en particulier que cette troisième densité conduit à des contraintes de forme Gaussienne (paragraphe 2.2.3), que les paramètres matériaux qui lui sont associés peuvent être identifiés et qu’en-fin il est possible de la généraliser par une forme intégrale à partir de l’essai de traction-compression uniaxiale particulier qui a permis de la construire (paragraphe 2.2.5). Il est à noter que, pour les applications numériques, une quatrième densité d’énergie sera rajoutée ultérieurement (troisième chapitre de ce mémoire) afin de tenir compte de la contrainte d’incompressibilité.

La section 2.3 est quant à elle consacrée à la validation du nouveau modèle hybride que nous proposons. Cette validation est effectuée à l’aune des cinq critères de sélection développés à la section 1.4 du chapitre 1 précédent. Les résultats analytiques provenant du modèle hybride sont ensuite comparés avec succès à des données expérimentales en traction uniaxiale et équibiaxiale, en cisaillement pur, en compression uniaxiale et en glissement simple [5, 115, 148, 166].