1.1 Généralisation de certains critères au cas des graphes pondérés
1.1.1 Critère de Zahn
Le premier article dans lequel est formellement posé le problème du calcul de la distance entre deux relations binaires symétriques est celui de Zahn [45]. Dans cet article, Zahn cherche à approcher une relation symétrique binaire quelconque par une relation d’équivalence. Plus précisément, soit V un ensemble fini d’éléments, tel que |V | = n. Par commodité, on notera V = {1, ..., n}.
On note R la relation binaire symétrique croisant V – id est R est un opérateur qui met en relation un élément de V et un autre élément de V – que l’on cherche à approcher. En fait, on a très simplement R ⊂ V × V . Naturellement, il nous vient à l’esprit plusieurs façons d’envisager R : sous la forme d’un ensemble, comme Zahn la définit, mais aussi sous la forme d’un graphe simple et donc sous forme matricielle, via sa matrice d’adjacence. Un exemple de ces trois représentations pour V = {1, ..., 5} et R = {(1, 1), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5)} est illustré en Figure 1.2.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) V × V 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0
1
4
5
2
3
Figure 1.2 : A gauche, ensemble V × V , avec, surlignés en jaune, les éléments de R ⊂ V × V. R étant une relation symétrique, on pourrait ne la représenter qu’avec la moitié de ce dessin. Au centre, la matrice symétrique représentant R, constituée de 0 et de 1. A droite, le graphe simple représentant R
R ∈ V × V :
X ∈ V × V :
a b c d e e d c b a a b c d e e d c b ab
a
c
d
e
(
R = (R ∩ X) ∪ (R ∩ X)
X = (X ∩ R) ∪ (X ∩ R)
Figure 1.3 : La distance de Zahn définie entre deux relations se base sur la représentation ensembliste des-dites relations.
Pour ce faire, Zahn se place dans un contexte ensembliste pour définir une distance entre ces deux relations. Un exemple pour montrer comment Zahn construit sa distance est donné Figure 1.3. Dans cette figure sont affichées une relation binaire symétrique R et une relation d’équivalence X , définies sur un ensemble V × V où V = {a, b, c, d, e}. La représentation ensembliste est à gauche de la figure, et la représentation via les graphes et les partitionnements est donnée au centre de la figure. On montre à droite de cette figure que chacune de ces relations peut être écrite comme la réunion de son intersection avec l’autre relation – carreaux affichés en clair à gauche de la figure – et de son intersection avec le complémentaire de l’autre relation – carreaux affichés en foncé. Ainsi, Zahn définit sa distance comme le nombre d’éléments qui sont dans l’intersection d’une relation et du complémentaire de l’autre, id est :
dZ(R, X ) = |X ∩ R| + |R ∩ X |.
Ainsi, Zahn cherche à résoudre :
(P ) : ( min X ⊂V ×VdZ(R, X ) = |X ∩ R| + |R ∩ X | X ∈ Eq(n) (1.1)
R de terme général (ai,j), on obtient les relations suivantes :
R ∩ X = {(i, j) ∈ V × V : ai,j(1 − xi,j) 6= 0}
X ∩ R = {(i, j) ∈ V × V : xi,j(1 − ai,j) 6= 0}
On note X = J − X = (xi,j)ni,j=1 et A = J − A = (ai,j)ni,j=1 les matrices complémentaires de X et A. On peut alors ré-écrire la distance de Zahn en utilisant ces représentations matricielles : dZ(A, X) = 1 2 X i,j
(ai,jxi,j+ xi,jai,j) (1.2)
où le facteur 1/2 dénote simplement le fait que les deux matrices sont symétriques. Ainsi, si (i, j) est dans R – respectivement X – alors ai,j = aj,i= 1 – de même pour xi,j.
Maintenant, comment peut-on généraliser ce raisonnement, dans le cas où nous n’avons plus une relation symétrique binaire, mais une relation symétrique pondérée, c’est-à-dire un graphe non orienté pondéré ?
Dans ce cas, on ne peut plus se contenter de compter les éléments : il faut prendre en compte les poids. En effet, il est naturel de considérer que plus la liaison entre deux éléments est grande, plus ces éléments ont une propriété en commun. Dans ce cas, le fait de ne pas comptabiliser (i, j) ∈ R doit être d’autant plus pénalisant que ai,j est grand.
Dans l’article de Romain Campigottoet al. [53], on trouve une généralisation pour le critère de Zahn, qui revient à considérer A = amaxJ − A, avec amax= max
i,j (ai,j), comme
la matrice complémentaire de A. Le reste est inchangé. Ainsi, le critère de Zahn tel que généralisé dans cet article est
dpond1 Z (A, X) = 1 2 X i,j
(ai,j(1 − xi,j) + xi,j(amax− ai,j)) (1.3)
Cependant, le fait de définir ainsi la matrice complémentaire de A dans le cas pondéré amène à l’exemple donné en Figure 1.4. Sur cette figure, deux partitionnements sont proposés pour un même graphe. Bien que les éléments de la première composante connexe soient moins liés que ceux de la deuxième, nous souhaiterions tout de même obtenir deux classes : en effet, les deux classes sont disjointes, et dans chacun des deux graphes connexes, les éléments sont tous liés de la même façon. Or le partitionnement proposant une classe par noeud dans le graphe connexe le moins lié donne une valeur plus faible au critère de Zahn tel que généralisé par Romain Campigottoet al.
Plus généralement, ce qui nous pose problème avec le critère dpond1
1
2
3
4
5
6
1/3 1/3 1/3 1 1 1Figure 1.4 : Graphe non orienté pondéré, contenant deux sous-graphes connexes. En rouge et en cyan, on a respectivement les classes de Xr et Xc, deux propositions de partition-
nement. On a dpond1 Z (A, Xr) = 5 > d pond1 Z (A, Xc) = 4 en prenant d pond1 Z comme définie à
l’équation (1.3). En prenant dpond2
Z comme définie à l’équation (1.4), d pond2 Z (A, Xr) = −2 et dpond2 Z (A, Xc) ≈ −0.7, d’où d pond2 Z (A, Xr) < d pond2 Z (A, Xc) c’est :
— qu’il décompte tous les éléments de X ∩ R au poids amax, ce qui rend la prise en
compte d’un élément de cet ensemble aussi pénalisante que la pire prise en compte d’un élément de R ∩ X pour toutes les configurations de X possibles.
— le fait que tous les éléments de l’intersection X ∩ R soient pénalisants, sauf si leur valeur dans R est égale à amax.
Nous proposons donc une autre généralisation du critère de Zahn, s’appuyant cette fois sur la moyenne des éléments :
dpond2 Z (A, X) = 1 2 X i,j
(ai,j(1 − xi,j) + xi,j(amean− ai,j)) (1.4)
avec amean= 1 n2
X
i,j
ai,j. Ce qui signifie que la matrice complémentaire de A devient
A = ameanJ − A dans le cas pondéré. On remarque qu’elle n’est alors plus non-négative.
Par rapport aux deux problèmes évoqués relativement au critère de Zahn généralisé aux graphes pondérés, tel qu’il était proposé équation (1.3), la matrice complémentaire définie ci-dessus est une meilleure alternative. En effet :
— chaque élément de R ∩ X pénalise le critère de Zahn de la valeur de l’élément moyen amean,
— les éléments de l’intersection X ∩ R pénalisent le critère dans le cas où leur valeur dans R est inférieure à la valeur moyenne amean. Sinon, au contraire, ils vont
apporter une contribution négative à ce critère, que l’on cherche à minimiser. On peut par ailleurs noter que cette généralisation convient mieux que la précédente dans l’exemple donné Figure 1.4, où l’on observe que le critère de Zahn ainsi généralisé a une valeur plus faible pour le découpage du graphe en deux communautés que pour le découpage ayant une communauté par sommet pour la première composante connexe. Remarque 3. Il est évidemment possible d’envisager d’autres façons de généraliser le critère de Zahn en définissant autrement la matrice complémentaire de A. Dans le cas des matrices creuses par exemple, on peut considérer que ai,j = 0 n’est pas une
valeur de pondération au même titre que toute autre, et que les indices { (i, j) : ai,j =
0 } ont un statut particulier, relatif à la structure de R. En ce sens, on peut définir amean différemment, par exemple en choisissant amean =
1 nnz
X
i,j
ai,j, nnz étant le
nombre d’éléments non nuls dans A. En prenant cette généralisation, dans l’exemple de la Figure 1.4, les partitionnements en rouge et en cyan deviennent équivalents.