Chapitre 1 : Endommagement et critères d’instabilités : état de l’art
A.4 Modélisation de l’endommagement par des approches micromécaniques
A.4.4 Critère de plasticité macroscopique de Gurson-Tvergaard
La modélisation par éléments finis des milieux hétérogènes à l’échelle microscopique a permis de guider l’avancée des modèles analytiques développés depuis la fin des années 1960 (Tvergaard, 1981), (Tvergaard, 1982), (Koplik & Needleman, 1988), (Tvergaard, 2011). Plusieurs améliorations ont été apportées au critère de (Gurson, 1977) à partir de calculs micromécaniques par E.F. que ce soit de manière heuristique (Tvergaard, 1981), (Tvergaard & Needleman, 1984), (Brocks et al., 1995), (Faleskog et al., 1998), (Kim et al., 2004), (Gao & Kim, 2006), (Tvergaard, 2011) ou bien, en améliorant les modèles existants par des approches théoriques (Fleck & Hutchinson, 1986), (Perrin & Leblond, 1990), (Leblond & Perrin, 1999), (Gologanu et al., 2001), (Tekoglu et al., 2012). Les modifications heuristiques apportées au modèle de Gurson introduisent généralement des paramètres additionnels afin de prendre en compte des mécanismes d’endommagement (Tvergaard, 1982), (Tvergaard & Needleman, 1984), (Nahshon & Hutchinson, 2008), (Xue & Wierzbicki, 2009), (Xue et al., 2010). Les paramètres ainsi introduits n’ont pas toujours une signification physique précise et la modélisation par E.F. permet d’identifier ces nouveaux paramètres. En outre, la modélisation par E.F. permet une compréhension approfondie de certains mécanismes d’endommagement, difficiles à étudier d’un point de vue expérimental. Citons par exemple les travaux de (Gologanu et al., 1997) sur la mise en évidence ’numérique’ du mode de coalescence en chapelet, en plus des deux mécanismes fondamentaux discutés notamment dans ((Cox & Low, 1974), (van Stone et al., 1985) (c.-à-d. coalescence en bande cisaillée inclinée et striction interne du ligament (voir Figure 1.3)). La coalescence en chapelet a été observée plus tard dans (Benzerga et al., 2004) en analysant la rupture de barres entaillées en acier, soumises à un chargement en traction uniaxiale.
Nous avons vu précédemment que l’amorçage des cavités dépend fortement de la taille des inclusions à partir desquelles elles prennent naissance et que les critères énergétiques sont capables de prendre en compte cet effet de taille. Spécifiquement, on a évoqué le fait que les cavités tendent à s’amorcer de manière plus précoce à partir des inclusions les plus grosses. Par conséquent, on s’attend à ce que la taille des cavités qui s’amorcent au cours du chargement possède au moins deux échelle, à savoir de grosses cavités entourées de cavités beaucoup plus petites. La coalescence en bande cisaillée inclinée montre la présence d’une telle situation (voir Figure 1.3.b). En effet, l’interaction entre les cavités de petite taille provoque une perte d’homogénéité des champs de déformation de façon plus précoce que
38
dans le cas où la matrice est dense. Ce mécanisme d’endommagement se termine généralement par l’apparition d’une bande de cisaillement à l’intérieur du ligament qui sépare les grosses cavités, suivie d’une rupture du ligament. Ainsi, l’interaction entre les cavités voisines se manifeste généralement lorsque le ligament (ou la matrice) qui sépare les cavités voisines est lui-même poreux et contient des cavités de petite taille. Or, les deux V.E.R considérés par (Gurson, 1977) ne contiennent qu’une seule cavité, ce qui manifestement ne permet pas de prendre en compte de tels effets. Dans (Tvergaard, 1981), (Tvergaard, 1982), des calculs par éléments finis ont été effectués sur un matériau périodiquement poreux, constitué de cavités cylindriques (modélisation en déformation planes) ou sphériques (modèle axisymétrique) entourées d’une matrice isotrope dont le comportement est décrit par le critère de plasticité de (Gurson, 1977). La modélisation par éléments finis réalisée dans (Tvergaard, 1981) et (Tvergaard, 1982) montre que le modèle de comportement qui découle du critère de plasticité de (Gurson, 1977), tend à surestimer la ductilité des matériaux à faibles taux de triaxialité. Une modification purement heuristique du critère de (Gurson, 1977) a été proposée dans (Tvergaard, 1981) qui consiste à introduire un paramètre ajustable noté q dans les critères (1.48) et (1.49). Ainsi, le critère de plasticité macroscopique de Gurson-Tvergaard s’écrit dans le cas d’une cavité sphérique sous la forme :
(
)
(
( )
2)
2 3 : : , , 2 cosh 1 2 2 GT M M M f q f q f σ σ σ ′ ′ = + − + ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ 1 Σ Σ Σ Σ F (1.50)(Tvergaard, 1981) propose de prendre la valeur de q égale à 1,5 dans le cas où l’écrouissage de la matrice est décrit par une loi puissance dont l’exposant est égal à 0,1. En outre, lorsque
1
q= , le critère (1.50) se réduit au critère de Gurson. Une autre forme du critère (1.50) a été proposée dans (Tvergaard, 1982) en introduisant cette fois trois paramètres q1, q2 et q3. Le critère proposé s’écrit sous la forme :
(
)
(
2)
1 2 3 2 3 : : , , 2 cosh 1 2 2 GT M M M f q f q q f σ σ σ ′ ′ = + − + ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ 1 Σ Σ Σ Σ F (1.51)Un second « prototype numérique » qui est plus répandu que celui de Tvergaard a été proposé dans (Koplik & Needleman, 1988) en considérant un V.E.R dont le comportement de la matrice est décrit par le critère de plasticité de von Mises. (Koplik & Needleman, 1988) suggèrent de prendre une valeur du paramètre q égale à 1,25, en considérant que les écarts entre les résultats obtenus par éléments finis et ceux obtenus à partir du critère de plasticité de (Gurson, 1977), sont liés au changement de forme du V.E.R Ce dernier étant constitué d’un cylindre à base hexagonale contenant une cavité sphérique en son centre (voir Figure 1.6). Bien que le V.E.R proposé par (Koplik & Needleman, 1988) soit plus réaliste que celui de Gurson, il n’existe pas de solution analytique permettant de formuler un critère de plasticité macroscopique pour ce type de V.E.R.
39
Figure 1.6 : Principe de la modélisation micromécanique par éléments finis d’un milieu périodiquement poreux suivant l’approche de (Koplik & Needleman, 1988). Figure reprise de
(Kim et al., 2004).
Enfin, une étude théorique basée sur un schéma auto-cohérent a été proposée dans (Perrin & Leblond, 1990), en reprenant l’analyse de (Gurson, 1977). Les auteurs considèrent un V.E.R constitué d’une cavité centrale entourée d’une matrice poreuse contenant des cavités diluées de petite taille (c.-à-d. uniformément réparties, contrairement aux travaux de (Gurson, 1977), où la matrice est supposée dense), soumise à un chargement hydrostatique au bord. Ainsi, par une démarche théorique, (Leblond & Perrin, 1999) arrivent à justifier l’introduction du paramètre d’interaction des cavités, et trouvent une valeur de q égale à 4 e=1, 472.... Cette valeur est par ailleurs très proche de celle proposée initialement par (Tvergaard, 1981), (Tvergaard, 1982), c’est à dire q=1,5 sur la base de simulations par éléments finis. Toutefois, l’analyse théorique proposée dans (Perrin & Leblond, 1990) se limite au cas d’une matrice rigide-parfaitement plastique, et ne permet pas de donner une appréciation sur un éventuel couplage entre l’interaction des cavités et l’écrouissage de la matrice. Or, les études numériques réalisées dans (Faleskog et al., 1998), (Kim et al., 2004), (Vadillo & Fernández- Sáez, 2009) montrent que le paramètre q dépend fortement de la triaxialité des contraintes ainsi que de l’exposant d’écrouissage.