Critère des aires égales

Le critère des aires égales (CAE) est une méthode graphique qui a été développée à la fin des années 30. Le CAE est utilisé pour l’évaluation de la stabilité transitoire grâce à sa simplicité et à sa facilité d’implantation. De manière générale, pour déterminer si un réseau est stable ou pas après qu’une contingence survienne, on trace les courbes d’oscillations des machines puis on les analyse (Edward Wilson et Kimbark, 1995). Toutefois, le CAE présente

l’avantage de sauver un long temps de simulation en modélisant le réseau avec un modèle simplifié en tenant compte d’hypothèses simples. Les hypothèses sont les suivantes (Pavella, Ernst et Ruiz-Vega, 2000) :

• les machines synchrones sont représentées par une source de tension constante avec leur réactance transitoire ;

• les machines synchrones ont une puissance mécanique constante et un amortissement négligeable ;

• les charges sont représentées par une impédance à caractéristiques constantes.

Il faut noter aussi que ces hypothèses sont surtout importantes quand on s’intéresse aux oscillations autres que la première. Le CAE s’appuie essentiellement sur le concept de l’énergie. C’est un outil très adapté pour l’évaluation des limites de la stabilité et de la marge de stabilité. Le CAE permet aussi de comprendre l’influence de tous les paramètres du réseau sur la stabilité.

On considère une machine connectée à un jeu de barre infini comme indiqué à la figure 3.5 et on recourt aux équations (3.23) et (3.24). On introduit une nouvelle constante nommée coefficient d’inertie de la machine et égale à 2 / . On a alors la nouvelle équation :

= − = (3.69)

et

= − = (3.70)

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= (3.71)

alors :

2 =

(3.72)

En multipliant les deux membre de (3.72) par , on a :

2 =

(3.73)

On fait une intégration de l’équation (3.73) entre un angle avant défaut à l’état d’équilibre et un angle pendant ou après défaut. On aboutit à :

2 =

(3.74)

En combinant les équations (3.23) et (3.74), on trouve :

− = 2

(3.75)

L’équation (3.75) exprime la vitesse relative de la machine par rapport au jeu de barres infini. Si le système est stable lors de la première oscillation alors sa vitesse doit retourner à zéro lorsque la puissance d’accélération est soit nulle soit du signe opposé à la vitesse du rotor. Une augmentation de l’angle du rotor veut dire que − > 0. L’angle n’augmente plus si et seulement si − = 0 pour une valeur maximale de l’angle du rotor notée .

Par contre, ceci se produit quand une puissance d’accélération négative amortit la vitesse d’une valeur positive à une valeur nulle. Les équations (3.76) et (3.77) traduisent adéquatement ce cas de figure :

> 0 < < (3.76)

et

= 0 ( ) ≤ 0 (3.77)

On peut tracer la puissance d’accélération en fonction de l’angle comme montré à la figure 3.17. On distingue deux aires, l’aire d’accélération notée qui est positive et l’aire de décélération notée qui elle est négative. Ces deux aires sont égales quand = avec ( ) ≤ 0. La limite de stabilité est atteinte quand = et ( ) = 0. D’après le CAE, le réseau est dit stable critique et se traduit par l’équation (3.78). L’angle va osciller entre et pour trouver un nouveau point de fonctionnement jusqu’à ce que la machine se stabilise à sa fréquence naturelle. Par contre, s’il s’agit d’un cas instable, l’angle va continuer à croître à une valeur supérieure à jusqu’à ce qu’il atteigne un angle de non- retour noté . Ceci s’explique bien par le fait que le couple mécanique est plus élevé que le couple électrique en cas d’accélération de la machine.

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Figure 3.17 Critère d'aires égales (CAE) Adaptée de Xue et al. (1992, p. 401)

Pour le système mono-machine, on s’intéresse aux trois périodes avant, pendant et après défaut. Comme on peut le remarquer sur la figure 3.18, l’angle correspond à l’angle d’instabilité et l’angle est l’angle critique correspondant à la limite de stabilité. Il faut aussi noter qu’à cet angle critique correspond un temps critique pour lequel le système ne perd pas son synchronisme mais le dépassant le système devient instable.

En effet, en se référant à la figure 3.18, initialement, le point est en ( ) où les couples moteur et résistant sont égaux. Avec l’apparition d’une contingence, l’inertie du groupe fait en sorte que la vitesse ne puisse varier instantanément. Fort de ce constat, le nouveau point d’opération est au point b. Le couple résistant est donc inférieur au couple moteur. Il en découle une accélération traduite par l’équation (3.79) qui amène au point c. L’aire de décélération est donnée par l’équation (3.80). En définitive, durant la période après défaut, le système est stable si l’aire de décélération est supérieure à l’aire d’accélération et instable dans le cas contraire.

= ( − ) (3.79)

= ( − ) (3.80)

Figure 3.18 Caractéristiques = ( ) avant, pendant et après défaut Adaptée de Gherbi, François et Belkacemi (2006, p. 6)

3.8 Conclusion

La stabilité transitoire consiste essentiellement au maintien du synchronisme entre les générateurs d’un réseau électrique suite à une contingence brusque. L’équation (3.21) dite équation d’oscillation joue un rôle important dans l’étude de la stabilité transitoire car elle exprime la dynamique du rotor. Le comportement dynamique d’un réseau électrique est régi par deux types d’équation : les équations différentielles et les équations algébriques. Qu’il s’agisse du modèle classique ou du modèle détaillé deux axes, il est important de déterminer ces équations pour pouvoir les résoudre à l’aide d’une méthode de résolution implicite ou

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explicite. Le CAE qui est un outil mathématique très intéressant et facile d’implantation a été décrit. Il permet d’analyser graphiquement la stabilité d’un réseau.