taux de déformation sur la limite élastique lorsque le chargement est appliqué dans deux directions. Bien que le comportement de l’acier dans le domaine élastique soit bien décrit par la loi de Hooke généralisée, on mettra ici l’accent sur les équations constitutives dans le domaine plastique. Dans la section2.2, on a déjà présenté une revue bibliographique sur des équations permettant de quantifier l’augmentation de la limite élastique en fonction du taux de déformation. Dans ce chapitre, les fondements mathématiques et une descrip- tion phénoménologique de la théorie de la viscoplasticité régissant le comportement de l’acier traité comme un milieu continu sont présentés. Le modèle mathématique vise par- ticulièrement à implémenter la dépendance de la limite élastique au taux de déformation dans un outil de modélisation numérique qui servira de référence dans l’étude numérique au chapitre 5. Il est généralement reconnu qu’une description complète d’un modèle de plasticité comporte trois caractéristiques principales [Leroy, 1984; Green, 1996] :
- un critère d’écoulement plastique initial définissant le domaine élastique d’un ma- tériau dans un état multiaxial de contraintes. Lorsqu’un solide est sollicité sous un état planaire de contraintes, le critère d’écoulement plastique définit donc la surface d’écoulement plastique ;
- une relation incrémentale permettant de faire le lien entre l’incrément de déforma- tion plastique et l’incrément de contrainte auquel est assujetti le matériau. À partir de cette relation, différentes situations de chargement associées à un incrément de contrainte peuvent être déterminées ;
- une formulation d’écrouissage caractérisant l’évolution de la surface d’écoulement au cours de la déformation plastique, ce qui contrôle la façon dont la résistance à l’écoulement plastique agit. Cette évolution décrit la forme, la taille et la position de la surface d’écoulement au fur et à mesure que la déformation plastique se produit.
3.2
Critère d’écoulement plastique
La théorie de plasticité classique repose sur l’existence d’un critère permettant de définir le seuil de plasticité au-delà duquel la déformation est irréversible. Dans l’espace des contraintes, ce critère marque la limite élastique et le début d’un écoulement plastique d’un matériau en fonction de différentes configurations de chargement possibles. Le critère d’écoulement plastique est donc une généralisation de la limite d’élasticité en chargement uniaxial qui représente un état de contrainte axial. Dans un état planaire de contraintes, le critère d’écoulement plastique définit une surface initiale de limite élastique. En effet, il n’existe pas de déformation plastique lorsque les chargements créent une combinaison
de contrainte qui se trouve à l’intérieur de cette surface. En général, la limite d’élasticité est en fonction des tenseurs de contrainte, σij et donc la surface d’écoulement peut être exprimée par une fonction mathématique correspondant à l’équation 3.1.
f (σij, κ) = 0 (3.1)
où κ représente le paramètre associé à l’écoulement plastique. S’il s’agit de la surface d’écoulement plastique initiale, κ est la limite élastique. Au-delà de la limite élastique, l’équation3.1 doit être toujours satisfaite. Cette dernière définit les surfaces subséquentes d’écoulement plastique. Par conséquent, κ doit être la contrainte qui est fonction de la déformation plastique.
Les deux principaux critères d’écoulement les plus connus pour les matériaux métalliques ductiles susceptibles de manifester un comportement isotrope sont le critère de Tresca et celui de Von Mises. Il est à souligner que le critère d’écoulement peut être isotrope ou ani- sotrope. Dans le cadre de ce projet, nous nous limitons à présenter seulement les critères isotropes.
Critère de Tresca
En 1864, Tresca [Tresca,1864] a formulé un critère d’écoulement simple encore utlisé pour les métaux. D’après ce critère, l’écoulement plastique se produit lorsque la contrainte de cisaillement maximale atteint une valeur critique κ en cisaillement pur. Le critère de Tresca s’exprime par l’équation 3.2.
f (σij, κ) = ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ σ1− σ2 2 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐− κ 2 = ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ σ1− σ2 2 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐− Fy 2 = 0 (3.2)
où σi et Fy sont respectivement des contraintes principales et la limite élastique en traction uniaxiale
Critère de Von Mises
Le critère de Von Mises établi en 1913 est sans doute le critère le plus couramment utilisé pour décrire le comportement plastique des matériaux isotropes [Von Mises, 1913]. La surface d’écoulement plastique de Von Mises peut être écrite en fonction de la limite
3.2. CRITÈRE D’ÉCOULEMENT PLASTIQUE 37
élastique en traction uniaxiale Fy comme dans l’équation 3.3.
f (σij, κ) = 3 2SijSij − κ 2 = 3 2SijSij− Fy 2 = 0 (3.3)
Sij représente les tenseurs de contrainte déviatorique suivant :
Sij = σij− 1
3σkkδij (3.4)
où δij est le delta de Kronecker :
δij = ⎧ ⎨ ⎩ 1 Si i = j 0 Si i ̸= j
Selon ce critère, il est pratique de définir une contrainte équivalente de Von Mises qui s’exprime par l’équation3.5. Cette contrainte équivalente est une combinaison des tenseurs de contrainte Sij.
σe=
√
3
2SijSij (3.5)
À partir des équations 3.3 et 3.5, on peut conclure que l’écoulement plastique débute au moment où la contrainte effective de Von Mises atteint la limite élastique en traction uniaxiale Fy. La surface d’écoulement initiale de Von Mises présentée dans l’équation 3.3 peut être réécrite comme suit :
f (σij, κ) = σe− κ = σe− Fy = 0 (3.6)
La figure3.3illustre la représentation graphique des surfaces limitant le domaine élastique selon les critères de Tresca et de Von Mises dans le plan des contraintes principales σ1 et
σ2. L’utilisation du critère de Tresca engendre fréquemment des problèmes de calcul en
pratique à cause des discontinuités dans les coins. Cependant, il n’y a pas de discontinuité pour le critère de Von Mises, ce qui le rend avantageux d’un point de vue stabilité numé- rique. Selon la littérature, le critère de Von Mises semble être le plus apte à représenter la surface d’écoulement de l’acier [Leroy, 1984]. Ce critère est couramment implémenté dans les codes de calcul par éléments finis. Le logiciel ADINA qui est utilisé dans ce projet utilise ce critère. Pour des fins d’identification des paramètres dans ces deux lois d’écoulement, un seul essai de traction uniaxial est nécessaire pour déterminer Fy.
Figure 3.3 Critères d’écoulement plastique de Von Mises et de Tresca dans le plan des contraintes principales (σ1, σ2)