4.2.1 D´ecomposition modale de la solution temporelle
Il existe plusieurs possibilit´es pour d´ecomposer l’´evolution temporelle du probl`eme. Le tra- vail de [Verdon, 2007] pr´esente diff´erentes m´ethodes, appliqu´ees `a la m´ecanique des fluides. Nous nous attarderons ici sur la d´ecomposition de Karhunen-Lo`eve et sur une variante incr´e- mentale de celle-ci, permettant de traiter plus ais´ement un grand nombre de donn´ees.
Pr´ecisons encore que ce n’est pas l’´etat final de la pi`ece qui est d´ecompos´e mais toute l’´evolution subie par celle-ci au cours du traitement thermique. Enfin, la description des deux
m´ethodes r´ealis´ees ici utilise toutes les variables d’´etat du probl`eme (d´eplacements, temp´e- rature, etc.). Nous n’utiliserons cependant par apr`es que la solution en d´eplacements, plus facile `a mesurer. Rien n’empˆeche d’appliquer cette m´ethodologie `a d’autres valeurs comme les proportions de phases par exemple. Cette piste est d’ailleurs d´ej`a suivie et appliqu´ee `a des cas industriels pour le contrˆole de traitement de surface par laser (voir [H¨omberg et Kern, 2008]).
4.2.2 D´ecomposition de Karhunen-Lo`eve
La d´ecomposition de Karhunen-Lo`eve est une m´ethode propos´ee ind´ependamment par Karhunen en 1946 et par Lo`eve en 1955. Il s’agit d’une m´ethode permettant de passer d’un tr`es grand nombre de donn´ees al´eatoires `a une repr´esentation d´eterministe d’ordre r´eduit, caract´eris´ee par des modes obtenus par un probl`eme de maximisation.
Dans notre cas, les r´esultats de la simulation num´erique sont stock´es dans une matrice g´en´erale Q, chaque colonne correspondant `a un pas de temps. La d´ecomposition se fait sur cette matrice. On obtient au final un nombre restreint de modes empiriques, qui permettent de retrouver tous les r´esultats `a chaque pas de temps utilis´es pr´ec´edemment. A noter cepen- dant que les modes peu repr´esentatifs ne sont pas pris en compte.
La solution du probl`eme discr´etis´e `a un pas de temps donn´e est not´ee qu pour les d´e- placements, qT pour la temp´erature et qY pour les variables internes (d´eformation ´elastique, proportion des phases, etc.). Ces solutions `a chaque pas de temps sont stock´ees dans une matrice d’´etat Qα (α = u, T ou Y ). Une colonne de ces matrices est donc le r´esultat d’un
incr´ement de calcul. Notre probl`eme consiste `a trouver la d´ecomposition aux valeurs singu- li`eres telle que :
Qα= Ψα.Λα.ΦTα
avec
ΨTα.Ψα= I
ΦTα.Φα= I
o`u Λα est une matrice diagonale ayant sur sa diagonale des valeurs non nulles, Ψα et Φα des
matrices ´eventuellement rectangulaires.
On recherche tout d’abord la matrice de covariance Cα :
Cα= Qα.QTα (4.1)
Ce produit est une somme de produits des colonnes de Qα, c’est donc une somme de valeurs
d´efinies en un mˆeme instant. Si cette somme ´etait pond´er´ee par la taille du pas de temps dt, elle correspondrait exactement `a une int´egrale num´erique sur l’intervalle de temps. On peut consid´erer que c’est une int´egrale pond´er´ee par un poids en dt1.
Les valeurs propres (matrice Dα) et vecteurs propres (matrice Vα) de cette matrice
(|µk| > µmaxj(µj), µ valant g´en´eralement 10−8) sont ´elimin´es.
La base r´eduite Ψα est ensuite calcul´ee :
Ψα = Vα (4.2)
Les colonnes de Ψα sont ensuite norm´ees.
Les matrices d’´etat Φα des variables r´eduites sont trouv´es en minimisant kΨα.Φα− Qαk, ce
qui donne
Φα= ΨTα.Ψα
−1
ΨTα.Qα
= ΨTα.Qα
puisque ΨTα.Ψα = I. Ces matrices sont comparables `a des coefficients multiplicateurs des
modes de Ψα.
L’inconv´enient de la d´ecomposition classique de Karhunen-Lo`eve est que la taille du pro- bl`eme aux valeurs propres est fonction du nombre de variables d’´etat et est donc reli´ee aux nombres de noeuds du probl`eme. D`es que le syst`eme devient important, cette augmenta- tion du nombre de variables d’´etat devient vite r´edhibitoire. Une variante de cette m´ethode appel´ee snapshot POD est introduite par [Sirovich, 1987]. Elle consiste `a utiliser seulement certains pas de temps – les clich´es – pour cr´eer la matrice Qα. Dans ce cas, les ´equations 4.1
et 4.2 sont alors remplac´ees par les suivantes :
Cα = QTα.Qα
Ψα = Qα.Vα
4.2.3 D´ecomposition incr´ementale
Un inconv´enient suppl´ementaire des deux m´ethodes pr´ec´edentes est que le fait d’ajouter des cas par apr`es implique de r´ealiser de nouveau la d´ecomposition sur l’enti`eret´e des donn´ees. C’est pourquoi une m´ethode incr´ementale [Ryckelynck et al., 2006] peut ˆetre adopt´ee.
Les r´esultats du probl`eme ´el´ements finis sont de nouveau enregistr´es dans une matrice Qα
(voir section 4.2.2). L’approche incr´ementale de la d´ecomposition aux valeurs singuli`eres de Qαrevient `a consid´erer les colonnes de cette matrice les unes apr`es les autres en commen¸cant
par la premi`ere afin de construire it´erativement les matrices Ψ(n)α , Φ(n)α et Λ(n)α , o`u n est le
num´ero de l’´etape de d´ecomposition. L’avantage de cette m´ethode est de pouvoir adapter une base r´eduite connue en tenant compte de nouveaux r´esultats de simulation. L’algorithme est pr´esent´e ci-dessous.
On note q
αi la i
`eme colonne de Q
α. La premi`ere version de la d´ecomposition (l’initialisa-
tion) est construite avec le r´esultat du premier incr´ement qα 1.
Initialisation Ψ(0)α = qα 1 qα1 Φ(0)α = h qα1 i Λ(0)α = 1 It´eration
• Estimation en base r´eduite de qα
i avec la version n de la d´ecomposition, trouver ξ (n) αi minimisant : qαi− Ψ (n) α .ξ(n)αi • Evaluation du r´esidu Rα : Rα = qα i− Ψ (n) α .ξ(n)αi • Adaptation de la base si kRαk > α qαi
(α´etant l’erreur sur les r´esidus, g´en´eralement 10−4) : – Extension de la base : Ψ(n+1/2)α = Ψ(n)α , Rα kRαk Φ(n+1/2)α = " Φ(n)α ξ(n)α i 0 kRαk # Λ(n+1/2)α = " Λ(n)α 0 0 1 #
– S´election des ´ev`enements significatifs. On cherche les vecteurs propres associ´es aux valeurs propres significatives (µk > µmaxj(µj), µ valant g´en´eralement 10−8) de
Φ(n+1/2)α .Φ(n+1/2)Tα . On obtient la matrice des vecteurs propres de norme unit´e V(n+1/2).
Ψ(n+1)α = Ψ(n+1/2)α .V(n+1/2) Φ(n+1)α = V(n+1/2)T.Φ(n+1/2)α Λ(n+1)α = Im
o`u Im est la matrice identit´e dont la dimension correspond au nombre de colonnes
de V(n+1/2).
• S’il n’y a pas d’adaptation n´ecessaire : Φ(n)α =
h
Φ(n)α , ξ(n)α i
i
A la fin du traitement incr´emental les colonnes de Ψ(n)α sont norm´ees `a 1 et la valeur de
leur norme est plac´ee sur la diagonale de Λ(n)α .
Les colonnes de Qα peuvent donc ˆetre repr´esent´ees par une combinaison des colonnes de
Ψα. Cette combinaison est donn´ee par le produit Λ(n)α .ΨTα.
Comme nous l’avons d´ej`a pr´ecis´e, cette m´ethode permet de traiter un nombre d’informa- tions important mais surtout de fonctionner de mani`ere it´erative et donc d’ˆetre ´evolutive. En effet, dans le cas o`u une nouvelle d´erive serait identifi´ee, il suffit d’ajouter les donn´ees correspondantes `a la matrice existante pour calculer la nouvelle d´ecomposition, en utilisant la pr´ec´edente, ce qui permet d’ˆetre beaucoup plus efficace au niveau temps calcul.